第十五章 四边形
二 平行四边形
15.2 平行四边形和特殊的平行四边形
知识点1 平行四边形的定义及表示方法
1.分别过一个三角形的3个顶点作对边的平行线,这些平行线两两相交,则构成的平行四边形的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2023北京一七一中期中)如图,平行四边形ABCD中,∠A=120°,则∠D的度数为( )
A.80° B.60° C.90° D.120°
3.如图, ABCD的顶点A,C分别在直线EF,GH上,且EF∥GH,∠FAD=26°,则∠BCG的度数为 ( )
A.34° B.24° C.30° D.26°
4.(2023宁夏中考)如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形BCDE是平行四边形.
知识点2 特殊的平行四边形的定义及表示方法
5.如图,一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形:
a.两组对边分别平行;
b.两组对角分别相等;
c.一组邻边相等;
d.一个角是直角.
顺次添加的条件:
①a→c→d;
②a→b→c;
③b→d→c.
则正确的添加顺序是( )
A.仅① B.①②
C.①③ D.②③
6.如图,根据四边形的不稳定性,当改变∠B的大小时,菱形ABCD的形状会发生改变,当∠B=60°时,如图①,AC=;当∠B=90°时,如图②,AC= ( )
A. B.2
C.2 D.
7.【数学文化】数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点出发作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证,下列说法不一定成立的是 ( )
A.S△ANF=S矩形NFGD B.S矩形NFGD=S矩形EFMB
C.S△AEF=S△ANF D.S△ABC=S△ADC
8.【新考法】如图,两个完全相同的菱形叠放在一起,若重叠部分是正八边形,则∠1的度数为 ( )
A.60° B.55°
C.45° D.30°
9.【新独家原创】如图,△ABC中,D为BC上一点,DE∥AB,DF∥AC.有下列两个条件:①点D在∠BAC的平分线上;②∠A=90°.增加条件 能判定四边形AFDE为矩形;增加条件 能判定四边形AFDE为菱形,并证明此时四边形AFDE为菱形.
10.(2021湖南益阳中考)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB=AD,②AC=BD,③∠ABC=∠ADC中选择一个作为条件,补充后使四边形ABCD成为菱形,则应选择 .(填序号)
11.如图所示的是小颖整理的四边形的知识结构图,则图中A代表 ;B代表 .
12.【新素材】(2022湖北十堰中考)“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜,一农村民居的侧面截图如图所示,屋坡AF,AG分别架在墙体的点B,C处,且AB=AC,侧面四边形BDEC为矩形.若测得∠FBD=55°,则∠A= °.
13.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点E、F分别在AD、BC上,连接BE、DF,若四边形BFDE是菱形,则S菱形BFDE= .
14.【新考向·尺规作图】如图,在矩形ABCD中,AC是对角线.
(1)实践与操作:利用尺规作线段AC的垂直平分线,垂足为点O,交边AD于点E,交边BC于点F(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母);
(2)猜想与证明:试猜想线段AE与CF的数量关系,并加以证明.
知识点3 平行四边形和特殊的平行四边形之间的关系
15.【新独家原创】【教材变式·P51T3】若四边形ABCD是(甲),则四边形ABCD一定是(乙),甲、乙两空可以填 ( )
A.平行四边形,矩形
B.矩形,菱形
C.菱形,正方形
D.正方形,平行四边形
能力提升全练
16.(2023湖北十堰中考,5,★☆☆)如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是 ( )
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
17.(2023广东深圳中考改编,5,★☆☆)如图,在平行四边形ABCD中,CD=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段FE,若四边形ECDF为菱形,则a的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第17题图
第18题图
18.(2021湖北荆门中考,7,★★☆)如图,将一副三角板在平行四边形ABCD中按如图所示的方式摆放,设∠1=30°,那么∠2= ( )
A.55° B.65° C.75° D.85°
19.(2022湖南邵阳中考,17,★☆☆)如图,在等腰△ABC中,∠A=120°,顶点B在 ODEF的边DE上,已知∠1=40°,则∠2= .
20.(2022山东烟台中考,18,★★☆)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
21.(2023北京丰台二中期中,24,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC=,BC=4,以AC为一边,在直线BC上方作正方形ACDE,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,连接AF,求AF的长.
素养探究全练
22.【推理能力】如图,已知∠AOB及∠AOB内任意一射线OC.小明在OC上取一点P,过P作PD∥OA交OB于D,取OP的中点E,连接DE并延长交OA于点F,连接PF.小明说四边形ODPF是平行四边形.
(1)小明为什么说四边形ODPF是平行四边形 请你给出证明.
(2)要使四边形ODPF是矩形,还需给出什么条件 并说明理由.
(3)要使四边形ODPF是菱形,还需给出什么条件 并说明理由.
第十五章 四边形
二 平行四边形
15.2 平行四边形和特殊的平行四边形
答案全解全析
基础过关全练
1.C 如图所示,有3个平行四边形,分别为 ACBD, ABCF, ABEC,故选C.
2.B ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠A+∠D=180°,∵∠A=120°,∴∠D=60°.故选B.
3.D 如图,连接AC,
∵EF∥GH,∴∠FAC=∠ACG,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,∴∠FAC-∠DAC=∠ACG-∠ACB,∴∠FAD=∠BCG=26°,故选D.
4. 证明 ∵EF∥AC,∴∠EDC+∠C=180°,
又∵∠EDC=∠CBE,∴∠CBE+∠C=180°,
∴EB∥DC,∵DE∥BC,BE∥CD,
∴四边形BCDE是平行四边形.
5.C ①a→c→d,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,一组邻边相等的平行四边形是菱形,有一个角是直角的菱形是正方形;②a→b→c,只能判定四边形是菱形,不能判定四边形是正方形;③b→d→c,由两组对角分别相等可证出四边形是平行四边形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形.故选C.
6.B 在题图①中,∵AB=BC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=,在题图②中,∵∠B=90°,AB=BC=,∴AC==2.故选B.
7.A ∵AD∥EG∥BC,MN∥AB∥CD,
∴四边形AEFN是平行四边形,四边形FMCG是平行四边形,四边形NFGD是平行四边形,
∴S△AEF=S△AFN,S△FMC=S△CGF,S△ABC=S△ACD,∴S矩形BEFM=S矩形NFGD,
∴选项B、C、D是成立的,∵∠D=90°,∴平行四边形NFGD为矩形,∴S△ANF=AN·NF,S矩形NFGD=NF·ND,若S△ANF=S矩形NFGD,则AN·NF=NF·ND,∴AN=2ND,∴当AN=2ND时,S△ANF=S矩形NFGD,∴选项A中的说法不一定成立,故选A.
8.C 如图,∵重叠部分是正八边形,
∴∠A==135°,
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∴∠1+∠A=180°,
∴∠1=45°,故选C.
9. 解析 ②;①.
证明:∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AFDE是平行四边形,如图,连接AD,
∴ S△ADE=S△ADF,
∵点D在∠BAC的平分线上,
∴点D到直线AE,AF的距离相等,设点D到直线AE的距离为h,
∴AF·h=AE·h
∴AF=AE,
∴平行四边形AFDE是菱形.
10. 答案 ①
解析 根据菱形的定义可知当AB=AD时,平行四边形ABCD是菱形.
11. 答案 一组邻边相等;有一个角是直角
解析 根据一组邻边相等的矩形是正方形,有一个角是直角的菱形是正方形可知A代表一组邻边相等,B代表有一个角是直角.
12. 答案 110
解析 ∵四边形BDEC为矩形,∴∠DBC=90°,
∵∠FBD=55°,∴∠ABC=180°-∠DBC-∠FBD=35°,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=35°,
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=110°.
13. 答案
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,
∵四边形BFDE是菱形,∴BE=DE,
设菱形的边长为x,则AE=AD-DE=4-x,
在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,即32+(4-x)2=x2,
解得x=,∴DE=,∴S菱形BFDE=DE·AB=.
14. 解析 (1)如图.
(2)AE=CF,
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO,
∵直线EF是线段AC的垂直平分线,∴AO=CO,
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(AAS),∴AE=CF.
15.D 选项D,若四边形ABCD是正方形,则四边形ABCD一定是平行四边形.故选D.
能力提升全练
16.C 向左扭动矩形框架ABCD,只改变四边形的形状,矩形变成平行四边形,A不符合题意;此时对角线BD的长度减小,对角线AC的长度增大,B不符合题意;BC边上的高减小,故面积变小,C符合题意;四边形的四条边的长度不变,故周长不变,D不符合题意.故选C.
17.B ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,CE∥FD,∵将线段AB水平向右平移得到线段FE,∴AB∥EF∥CD,∴四边形ECDF为平行四边形,当CD=CE=4时, ECDF为菱形,此时a=6-4=2.故选B.
18.C 如图,延长EH交AB于N,
∵△EFH是等腰直角三角形,
∴∠FHE=45°,∴∠NHB=∠FHE=45°,
∵∠1=30°,∴∠HNB=180°-∠1-∠NHB=105°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,
∴∠2+∠HNB=180°,∴∠2=75°,故选C.
19. 答案 110°
解析 ∵在等腰△ABC中,∠A=120°,∴∠ABC=30°,∵∠1=40°,∴∠ABE=∠1+∠ABC=70°,
∵四边形ODEF是平行四边形,∴OF∥DE,
∴∠2=180°-∠ABE=180°-70°=110°.
20. 解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠A+∠ADC=180°,∠AFD=∠CDF,
∵∠A=40°,∴∠ADC=140°,
∵DF平分∠ADC,∴∠CDF=∠ADC=70°,
∴∠AFD=∠CDF=70°,
∵DF∥BE,∴∠ABE=∠AFD=70°.
21. 解析 如图,过A作AM⊥BC于M点,
∵AB=AC=,BC=4,
∴MC=2,∴AM===1,
∵四边形ACDE为正方形,∴AC=CD,∠ACD=90°,
∴∠ACM+∠DCF=90°,
∵DF⊥BF,∴∠DCF+∠CDF=90°,
∴∠ACM=∠CDF,∴△ACM≌△CDF(AAS),
∴CF=AM=1,
在Rt△AFM中,AF===.
素养探究全练
22. 解析 (1)证明:∵E为OP的中点,∴OE=EP,
∵PD∥OA,∴∠PDE=∠OFE,
在△PDE和△OFE中,
∴△PDE≌△OFE(AAS),∴DE=EF,
在△OED和△PEF中,
∴△OED≌△PEF(SAS),∴∠DOE=∠FPE,∴OD∥PF,
又∵PD∥OA,∴四边形ODPF是平行四边形.
(2)(答案不唯一)∠AOB=90°.
理由:∵四边形ODPF是平行四边形,∠AOB=90°,
∴平行四边形ODPF是矩形.
(3)(答案不唯一)OD=OF.
理由:∵四边形ODPF是平行四边形,OD=OF,
∴平行四边形ODPF是菱形.
