第十四章 一次函数
14.6 一次函数的性质
基础过关全练
知识点1 两条直线y=k1x+b1(k1≠0)与y=k2x+b2(k2≠0)的位置关系
1.【平移法】(2023北京首师大附中期中)如图,将函数y1=3x的图象平移至图中虚线位置,则平移后得到的函数图象y2的解析式为( )
A.y2=3x+2 B.y2=3x-2
C.y2=3(x+2) D.y2=3(x-2)
2.已知两个一次函数y1=k1x+b1(k1≠0)与y2=k2x+b2(k2≠0)的图象互相平行,它们的部分自变量与相应的函数值如下表:
x -3 6
y1 -3 9
y2 -7 m
则表中m的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
知识点2 一次函数的增减性
3.【新独家原创】【新考向·新定义型试题】定义新运算:a&b=-ab+b,则对于函数y=x&2,下列结论正确的有( )
①若点A(1,y1),B(4,y2)在函数图象上,则y1>y2;②该函数图象经过点(-2,-4);③函数y=x&2的图象可由y=-2x-1的图象通过平移得到;④图象与坐标轴围成的三角形的面积为1.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4.【一题多变】(2022北京海淀师达中学模拟)如果函数y=(2k-6)x+5是关于x的一次函数,且y随x的增大而增大,那么k的取值范围是( )
A.k≠0 B.k<3
C.k≠3 D.k>3
[变式1]已知一次函数y=(4-2m)x+2中,函数值y随着自变量x的增大而减小,那么常数m的取值范围是 .
[变式2]已知一次函数y=(k+3)x+2中,y随x的增大而增大,则k的取值范围是 .
5.【教材变式·P26例1】一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上有两个点P1(-2,y1),P2(1,y2),且y1>y2,请写出一个满足条件的函数解析式: .
知识点3 一次函数图象的位置与k,b符号的关系
6.(2023北京十二中期中)一次函数y=2x-1的图象不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.(2023安徽合肥三十八中三模)直线l1:y=kx+b和直线l2:y=bx-k在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A B
C D
8.【新考向·开放型试题】(2023北京石景山期末)请写出一个图象平行于直线y=-5x,且过第一、二、四象限的一次函数的表达式: .
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9.(2023山东临沂中考,11,★☆☆)对于某个一次函数y=kx+b(k≠0),根据两位同学的对话得出的结论,错误的是( )
A.k>0 B.kb<0
C.k+b>0 D.k=-b
10.(2023北京二中朝阳学校期中,4,★☆☆)关于一次函数y=-2x+4,下列说法不正确的是( )
A.图象不经过第三象限
B.y随x的增大而减小
C.图象与x轴交于(-2,0)
D.图象与y轴交于(0,4)
11.【分类讨论思想】(2023北京海淀清华附中上地学校期中,7,★★☆)已知一次函数y=kx+1,当自变量的取值范围是k≤x≤3时,相应的函数值的取值范围是a≤y≤7,则a= .
12.(2023北京十一学校期中,8,★★☆)已知一次函数y=kx-2k+1(k≠0),当系数k取不同的值时,会得到不同的直线,这些直线都经过一个定点C,此定点C的坐标为 ;如图,若直角坐标系中有两点A(-3,-1),B(-1,2),一次函数y=kx-2k+1(k≠0)的图象与线段AB有交点,则k的取值范围是 .
13.(2023北京二中期末,25,★☆☆)已知一次函数y=kx+b(k,b为常数且k≠0)的图象经过点A(2,0)和y轴上一点B,且与直线y=-x平行.
(1)求一次函数的表达式,并在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象;
(2)在一次函数y=kx+b中,当-2
14.(2023重庆中考A卷,23,★★☆)如图,△ABC是边长为4的等边三角形,动点E,F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发,点E沿折线A→B→C方向运动,点F沿折线A→C→B方向运动,当两者相遇时停止运动.设运动时间为t秒,点E,F的距离为y.
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质;
(3)结合函数图象,写出点E,F相距3个单位长度时t的值.
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15.【推理能力】【新考向·新定义型试题】(2023北京十三中分校期中)我们规定:在平面直角坐标系xOy中,如果点P到原点O的距离为a,点M到点P的距离是a的k(k为整数)倍,那么点M就是点P的k倍关联点.当点P1的坐标为(-1.5,0)时,
(1)如果点P1的2倍关联点M在x轴上,求出点M的坐标;
(2)如果点M(x,y)是点P1的k倍关联点,且满足x=-1.5,-3≤y≤5,求出k的最大值.
第十四章 一次函数
14.6 一次函数的性质
答案全解全析
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1.A 由题意知,直线y2∥y1,∴y2=3x+2.故选A.
方法解读 一次函数的图象可以通过图象的平移得到,平移原则:上加下减变常数b,左加右减变自变量x.如一次函数y=kx+b的图象向左平移a个单位,再向下平移h个单位得到的函数表达式为y=k·(x+a)+b-h.
2.B 将点(-3,-3)、(6,9)代入y1=k1x+b1,得解得∵一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象互相平行,∴k2=k1=,故y2=x+b2,把(-3,-7)代入y2=x+b2,得b2=-3,故y2=x-3,当x=6时,m=×6-3=5.故选B.
3.C ∵a&b=-ab+b,∴y=x&2=-2x+2,∵k=-2<0,
∴y随x的增大而减小,∵1<4,∴y1>y2,①正确;y=-2x+2的图象可由y=-2x-1的图象通过平移得到,③正确;当x=-2时,y=6,∴图象不经过点(-2,-4),②错误;y=-2x+2的图象与x轴的交点为(1,0),与y轴的交点为(0,2),∴图象与坐标轴围成的三角形的面积为1,④正确,故选C.
4.D ∵函数y=(2k-6)x+5是关于x的一次函数,且y随x的增大而增大,∴2k-6>0,解得k>3,故选D.
[变式1] 答案 m>2
解析 ∵一次函数y=(4-2m)x+2中,函数值y随着自变量x的增大而减小,∴4-2m<0,所以m>2.
[变式2] 答案 k>-3
解析 根据y随x的增大而增大,可得k+3>0,解得k>-3.
5. 答案 y=-x+1(答案不唯一)
解析 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上有两个点P1(-2,y1),P2(1,y2),∵-2<1且y1>y2,∴函数y=kx+b(k≠0)中的k满足k<0.∴y=-x+1符合题意(答案不唯一).
6.B 在一次函数y=2x-1中,k=2>0,b=-1<0,
∴一次函数y=2x-1的图象经过第一、三、四象限,
∴图象一定不经过第二象限.故选B.
7.A 当k>0,b>0时,l1经过第一、二、三象限,l2经过第一、三、四象限,故A选项正确,B选项错误;当k<0,b>0时,l1经过第一、二、四象限,l2经过第一、二、三象限,故C、D选项错误.故选A.
8. 答案 y=-5x+3(答案不唯一)
解析 设一次函数的表达式为y=kx+b,∵图象平行于直线y=-5x,∴k=-5,∵图象经过第一、二、四象限,∴b>0,∴一次函数的表达式可以为y=-5x+3(答案不唯一).
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9.C ∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象不经过第二象限,∴b≤0,又∵函数图象经过点(2,0),
∴图象经过第一、三、四象限,∴k>0,k=-b,∴kb<0,k+b=b<0,∴C选项结论错误.故选C.
10.C ∵y=-2x+4,k=-2<0,b=4>0,
∴图象经过第一、二、四象限,y随x的增大而减小,故A,B不符合题意;当y=0时,-2x+4=0,解得x=2,∴图象与x轴交于(2,0),C选项错误,故C符合题意;当x=0时,y=4,∴图象与y轴交于(0,4),故D不符合题意.故选C.
11. 答案 5或1-3
解析 ①当k>0时,y随x的增大而增大,
∴x=3时,y=kx+1=7,∴3k+1=7,解得k=2,
∴一次函数为y=2x+1,当x=2时,y=2×2+1=5,
∴a=5;
②当k<0时,y随x的增大而减小,∴x=3时,y=3k+1=a,x=k时,y=k2+1=7,∴k=-或(舍去),
∴a=1-3.综上,a=5或1-3.
12. 答案 (2,1);-≤k≤且k≠0
解析 y=kx-2k+1=(x-2)k+1,
当x=2时,y=1,∴无论k取何值,该函数的图象总经过定点C(2,1).把A(-3,-1)代入y=kx-2k+1得-3k-2k+1=-1,解得k=,
把B(-1,2)代入y=kx-2k+1得-k-2k+1=2,解得k=-,∵函数y=kx-2k+1的图象总经过定点C(2,1),∴一次函数y=kx-2k+1(k≠0)的图象与线段AB有交点时,k的取值范围为-≤k≤且k≠0.
13. 解析 (1)∵一次函数y=kx+b(k,b为常数且k≠0)的图象与直线y=-x平行,
∴k=-,∴y=-x+b,
∵图象经过点A(2,0),∴0=-×2+b,∴b=1,
∴一次函数的表达式为y=-x+1.画出该函数的图象如图所示.
(2)当x=-2时,y=-×(-2)+1=2;当x=4时,y=-×4+1=-1,
∴当-2
把x=1代入y=-x+1得,y=-×1+1=,
∴D,
∵△ABP的面积等于,
∴PD·1+PD·1=,∴PD=,
∵点P在直线x=1上,D,
∴点P的坐标为(1,2)或(1,-1).
14. 解析 (1)y=
(2)函数图象如图.
根据函数图象可知,函数的性质为(写出其中一条即可):
①当0≤t≤4时,y随t的增大而增大;
当4
当t=4时,函数取得最大值4;
当t=0或t=6时,函数取得最小值0.
(3)当t=3或t=4.5时,点E,F相距3个单位长度.
提示:结合图象和(1)中所求表达式可知,当0≤t≤4时,若y=3,则t=3;当4
15. 解析 (1)设M(m,0),根据题意可得|m+1.5|=2×1.5,
解得m=1.5或m=-4.5,
∴M(1.5,0)或(-4.5,0).
(2)∵P1的坐标为(-1.5,0)且M的横坐标为-1.5,
∴M和P1在直线x=-1.5上,∵-3≤y≤5且k为整数,
∴当y=4.5时,k的值最大,∴4.5=1.5k,解得k=3.
