2023学年第二学期九年级调研测试
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）如果“亏损5%”记作﹣5%，那么+3%表示（ ）
A．多赚3% B．盈利﹣3% C．盈利3% D．亏损3%
2．（3分）中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（ ）
A．极差是15 B．平均数是80
C．众数是80 D．中位数是75
5．（3分）已知a3＝3，b5＝4，则a和b的大小关系为（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法判断
6．（3分）不等式x＜1﹣的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＜ D．x＜﹣
7．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠ACD＝33°，则∠BAD的度数为（ ）
A．33° B．47° C．57° D．66°
9．（3分）如图， ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠A＝60°，动点P沿A﹣B﹣C﹣D匀速运动，运动速度为2cm/s，同时动点Q从点A向点D匀速运动，运动速度为1cm/s，点Q到点D时两点同时停止运动，设点Q走过的路程为x（s），△APQ的面积为y（cm2），能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝θ，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径是r，则GE+FH的最大值是（ ）
A．r（2﹣sinθ） B．r（2+sinθ） C．r（2﹣cosθ） D．r（2+cosθ）
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：2x3﹣8x＝ ．
12．（4分）为减少安全隐患，某学校将一批方角型书桌更换为圆角型书桌．已知此书桌桌角所在圆的半径为5cm，所对的圆心角为90°，则一个桌角的弧长为 cm．
13．（4分）若一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0有两个实数根x1，x2，则的值是 ．
14．（4分）如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝BC．则∠BEC的度数为 ．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，，BC＝6，点E在BC上，且CE＝AE，将△ABC沿对角线AC翻折到△AFC，连接EF．则sin∠CEF＝ ．
16．（4分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为 ．
17．（4分）若三个边长为1的正方形按如图的方式放在Rt△ABC内，其中∠C为Rt△，D，E两点都是正方形的顶点，点D在AB边上，点E在线段CD上，则斜边AB的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：（）0﹣6sin30°+（）﹣2+|1﹣|．
19．（6分）先化简，再求值：÷（﹣a+1），其中a＝﹣2．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在AC两侧分别交于P，Q两点，作直线PQ交BC边于点D，交AC于点E，AB＝5，BC＝13，求BD的长．
21．（8分）为了解本校九年级学生期末数学考试情况，胡老师随机抽取了九年级一个班部分学生的期末数学成绩为样本，分为A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，其中表示A等级的扇形的圆心角为90°，请你根据统计图解答以下问题：
（1）这次随机抽取的学生共有 人； 成绩为A等级的有 人；成绩为B等级的有 人；成绩为D等级的有 人；
（2）已知A等级学生中只有3名女生，D等级中只有一名女生，学校准备在成绩为A等级和D等级的学生中随机各选取1名学生组成两人互助小组，请用列表法或树状图的方法求选出的两人恰好是性别相同的概率．
22．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）结合图象，直接写出不等式＜kx+b的解集；
（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，直接写出点E的坐标．
23．（8分）今年4月23日是第26个世界读书日．八（1）班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的图书鲁迅文集（套）和四大名著（套）．
（1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价的贵25元．花费1000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费1500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？
（2）若购买鲁迅文集和四大名著共10套（两类图书都要买），总费用不超过570元，问该班有哪几种购买方案？
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，
过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：∵“亏损5%”记作﹣5%，
∴+3%表示表示盈利3%．
故选：C．
2． 解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013．
故选：B．
3． 解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4． 解：A、极差是：90﹣75＝15，故本选项不符合题意；
B、平均数是（80+90+75+75+80+80）÷6＝80，故本选项不符合题意；
C、因为80出现了3次，出现的次数最多，所以众数是80，故本选项不符合题意；
D、把这些从小到大排列为75，75，80，80，80，90，中位数是＝80，故本选项符合题意；
故选：D．
5． 解：∵a3＝3，
∴（a3）5＝a15＝35＝243
∵b5＝4，
∴（b5）3＝b15＝43＝64，
则243＞64，
∴a＞b．
故选：A．
6． 解：去分母，得：3x＜6﹣（x﹣2），
去括号，得：3x＜6﹣x+2，
移项，得：3x+x＜6+2，
合并同类项，得：4x＜8，
系数化为1，得：x＜2，
故选：A．
7． 解：∵一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球，
∴从中任意摸出1个球，一共有9种可能性，其中摸到红球的可能性有2种，
∴从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是，
故选：A．
8． 解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣33°＝57°，
又∵∠BAD与∠BCD所对同一段弧，
∴∠BAD＝∠BCD＝57°．
故选：C．
9． 解：当0≤x≤2时，
y＝x ＝，
∴0≤x≤2时，y随着x的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项A，B、C错误．
故选：D．
10． 解：作直径AP，连接BP，
∴∠ABP＝90°，
∵∠P＝∠C＝θ，PA＝2r，
∴sinP＝sinθ＝，
∴AB＝2rsinθ，
∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝rsinθ，
∵GE+FH＝GH﹣EF，
∴当GH长最大时，GE+FH有最大值，
∴当GH是圆直径时，GH最大．
∴GE+FH最大值是2r﹣rsinθ＝r（2﹣sinθ）．
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11． 解：2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2x（x+2）（x﹣2）．
12． 解：l＝＝π（cm）．
故答案为：π．
13． 解：∵x2﹣2x﹣2＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣2，
∴
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝22﹣2×（﹣2）
＝4+4
＝8．
故答案为：8．
14． 解：∵四边形ABCD是正方形．
∴BC＝CD，∠DBC＝45°，
∵BE＝CD，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
故答案为：67.5°
15． 解：过F作FH⊥BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵，BC＝6，
∴，，
∴∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，
∵CE＝AE，
∴∠ACB＝∠CAE＝30°，
∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，
∴，
∴CE＝6﹣2＝4，
∵△ABC沿对角线AC翻折到△AFC，
∴∠ACB＝∠ACF＝30°，CF＝CB＝6，
∴∠FCH＝30°+30°＝60°，
∵FH⊥BC，
∴∠FHE＝∠FHC＝90°，
∴，CH＝FCcos∠FCH＝6×cos60°＝3，
∴EH＝BC﹣BE﹣CH＝6﹣2﹣3＝1，
∴，
∴，
故答案为：．
16． 解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD＝OB，
设A（x，y），则OB＝x，AB＝y，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴x y＝2＝OB AB，
∴S△ABC＝AB CD＝AB OB＝xy＝1，
故答案为：1．
17． 解：∵∠AGF＝∠GFP＝∠FHP＝90°，
∴∠A+∠AFG＝∠AFG+∠HFP＝90°，
∴∠A＝∠HFP，
在△AFG与△FPH中，
，
∴△AFG≌△FPH（AAS），
∴AF＝FP＝2，AG＝FH，
∴AG＝FH＝＝＝，AF＝FG，
∴∠A＝30°，
∴∠FPH＝∠B＝60°，
∴∠DPE＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∵PD＝PE，
∴∠PDE＝∠PED＝30°，
∵PE∥AC，
∴∠ACD＝∠PED＝30°，
∴CI＝，
∴AC＝AF+FH+HI+CI＝3+2，
∴AB＝4+2
故答案为：4+2．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18． 解：原式＝1﹣6×+4+﹣1
＝1﹣3+4+﹣1
＝1+．
19． 解：÷（﹣a+1）
＝
＝
＝
＝﹣，
当a＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．
20． 解：如图，连接AD，
由作图知，AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠ADB＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠ADB，
∴AB＝AD＝CD＝5，
∵BC＝13，
∴BD＝BC﹣CD＝8．
21． 解：（1）这次随机抽取的学生总人数为4÷20%＝20（人）；
成绩为A等级的人数＝×20＝5（人），
成绩为B等级的人数为20×40%＝8（人）；
成绩为D等级的人数为20﹣5﹣8﹣4＝3（人）；
故答案为20、5、8、3．
（2）画树状图为：
共有15种等可能的结果数，其中选出的两人恰好是性别相同的结果数为7，
所以选出的两人恰好是性别相同的概率＝．
22． 解：（1）把A（2，6）代入y＝，得m＝2×6＝12，
∴反比例函数解析式为y＝，
把B（n，1）代入y＝得n＝12，则B（12，1），
把A（2，6），B（12，1）代入y＝kx+b得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+7；
（2）由图象可知，不等式＜kx+b的解集为x＜0或2＜x＜12；
（3）设直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7），
∴PE＝|m﹣7|，
∵S△AEB＝S△PEB﹣S△PEA＝5，
∴×|m﹣7|×12﹣×|m﹣7|×2＝5．
∴×|m﹣7|×（12﹣2）＝5，
∴|m﹣7|＝1．
∴m1＝6，m2＝8，
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．
23． 解：（1）设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是（x+25）元，
由题意得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是方程的解，且符合题意，
∴x+25＝50+25＝75，
答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元；
（2）设购买鲁迅文集a套，
由题意得：50a+75（10﹣a）≤570，
解得：a≥7.2，
∵a＜10且a为正整数，
∴a＝8或9，
则该班有两种购买方案，①鲁迅文集8套，四大名著2套；②鲁迅文集9套，四大名著1套．
24． （1）证明：连接OD，如图1所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠CBD＝∠ODB，
∴OD∥BC，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，如图2所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵EF⊥BC，
∴∠F＝90°，
∴∠FDB+∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠FDB，
∴tan∠BAD＝tan∠FDB＝2，
∴＝2，＝2，
∴AD＝BD＝2，BF＝2DF，
∴AB＝＝＝10，BD＝＝DF＝4，
∴OD＝OA＝OB＝AB＝5，DF＝4，BF＝8，
由（1）得：OD∥BC，
∴△ODE∽△BFE，
∴＝，
即＝，
解得：AE＝．
25． 解：（1）把A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2+4x﹣1；
（2）过P作PQ∥y轴交AB于Q，如图：
由A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）得直线AB解析式为y＝x﹣1，
设P（t，t2+4t﹣1），其中﹣3＜t＜0，则Q（t，t﹣1）
∴PQ＝t﹣1﹣（t2+4t﹣1）＝﹣t2﹣3t，
∴S△PAB＝（﹣t2﹣3t）×3＝﹣t2﹣t＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，S△PAB取最大值，
∴△PAB面积的最大值为；
（3）抛物线上存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
∴抛物线y＝x2+4x﹣1的对称轴为直线x＝﹣2，
设M（﹣2，m），N（n，n2+4n﹣1），
又A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1），
①当MN，AB为对角线时，MN，AB的中点重合，
∴，
解得，
∴N（﹣1，﹣4）；
②当MA，NB为对角线时，
，
解得，
∴N（﹣5，4）；
③当MB，NA为对角线时，
，
解得，
∴N（1，4）；
综上所述，N的坐标为（﹣1，﹣4）或（﹣5，4）或（1，4）．
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