2023-2024学年第一学期山东省枣庄市市中区九年级期末数学模拟训练试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A．36° B．54° C．18° D．28°
在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，
发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线，
则原抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
5． 已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
6 .如图，在6×4的正方形网格中，△ABC的顶点均为格点，则sin∠ACB=（ ）
A． B．2 C． D．
7. 如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是（ ）
A. B. C. ∠ABC=∠BDC D. ∠A=∠CBD
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y＝（k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9 .如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，
若米，则点到直线距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分．
11 . 已知．则＝ ．
12. 已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则m=__________．
在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿
及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，
根据这些数据计算出旗杆的高度为 m．
如图，，，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，
当，时，则阴影部分的面积为 ．
15 . 某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，
假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，
两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为 米．（结果保留根号）
如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，
将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．
在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、解答题：（本题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
17.（1）解方程：2x2+4x﹣3＝0；
（2）计算：sin245°+tan60° cos30°．
18．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，∠1＝∠B，AD＝4，AC＝6，求AB的长．
某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，
为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：
．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．
为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，
并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角______度；
（2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；
(3)学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
20 . 如图，AB是⊙O的直径，点F是AB上方半圆上的一动点（F不与A，B重合），
弦AD平分∠BAF，DE是⊙O的切线，交射线AF于点E．
求证：DE⊥AF；
(2) 若AE＝8，AB＝10，求AD长．
21 .某文具商店销售进价为元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒元的价格销售，
平均每天销售盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，
设每盒彩色铅笔的销售价为x（）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为 W 元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：_______．
（2）求W与x之间的函数关系式
（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，
当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
22. 已知反比例函数上的图象与一次函数的图象交于点和点．
（1）求的函数关系式；
（2）观察图象，直接写出使得成立的自变量x的取值范围；
（3）如果点C与点A关于x轴对称，求的面积．
如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，
与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．
是否存在点P，使四边形为菱形？
若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？
求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
24. （1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，
求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．
点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
2023-2024学年第一学期山东省枣庄市市中区九年级期末数学模拟训练试卷 解析
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】据简单几何体的三视图的画法可得答案．
【详解】解：根据简单几何体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，
因此选项的图形比较符合题意．
故选：．
2. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A．36° B．54° C．18° D．28°
【答案】A
【分析】由圆周角定理即可求出.
【详解】根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°，则∠ACB=36°，故选A．
3 .在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，
发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
【答案】C
【分析】根据摸到白球的频率约为30%，用6除以30%得到总球数，再计算求解即可．
【详解】解：∵摸到白球的频率约为30%，
∴不透明的袋子中一共有球为：6÷30%=20（个），
黑球有20-6=14（个），
故选：C．
4 .将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线，
则原抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可．
【详解】解：∵将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线，
∴原抛物线解析式为，即，
故选A．
5．已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象上点的特征分别求出y1、y2、y3，然后比较大小即可．
【详解】解：∵点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝﹣＝6，y2＝＝2，y3＝﹣6×2＝﹣12，
∵﹣12＜2＜6，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
6 .如图，在6×4的正方形网格中，△ABC的顶点均为格点，则sin∠ACB=（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】如图，由图可知BD=2、CD=1、BC=，根据sin∠BCA=可得答案．
【详解】解：如图所示，
∵BD=2、CD=1，
∴BC===，
则sin∠BCA===，
故选C．
7. 如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是（ ）
A. B. C. ∠ABC=∠BDC D. ∠A=∠CBD
【答案】B
【解析】
【分析】由相似三角形的判定方法依次进行判断，即可得到答案．
【详解】解：∵BC2=AC CD，
∴，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，故选A不合题意，
∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，故选C不合题意，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，故选D不合题意，
故选：B．
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y＝（k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，对选项一一分析符合题意者即为正确答案．
【详解】解：①当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y＝过一、三象限；
②当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象限；y＝过二、四象限，
A．由反比例函数知k<0，一次函数y＝kx+k应过二、三、四象限，故该选项不正确；
B．由反比例函数知k<0，一次函数y＝kx+k中k0，故该选项不正确；
C．由反比例函数知k0，一次函数y＝kx+k应过一、二、三象限，故该选项不正确；
D．由反比例函数知k0，一次函数y＝kx+k应过一、二、三象限，故该选项正确．
故选：D．
9 .如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，
若米，则点到直线距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，
根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：设点到直线距离为米，
在中，，
在中，，
由题意得，，
解得，（米，
故选：．
10 .二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，即可判断①；根据当x=-1时，y大于0即可判断②；根据抛物线对称轴为直线x=1即可得到代入中得，即可判断③；由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确；
②当时，，
∴，故②正确
把代入中得，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上
∴时，函数的最小值为，
∴，
即，故④正确．
故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分．
11 . 已知．则＝ ．
【答案】
【分析】根据比例的性质求解即可，设，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵
设，
∴
故答案为：
12. 已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则m=__________．
【答案】2
【解析】
【详解】试题分析：
∵关于x方程的一个根是1，
∴1﹣3×1+m=0，解得，m=2，故答案为2
13 . 在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿
及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，
根据这些数据计算出旗杆的高度为 m．
【答案】12
【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案.
【详解】设旗杆的高度为x m,
∵
∴
故答案为12
14 . 如图，，，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，
当，时，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理和三角形的面积、圆的面积．根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案．能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解题的关键．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
15 . 某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，
假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，
两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为 米．（结果保留根号）
【答案】
【分析】先证明AD=BD=20米，在利用正弦函数解Rt△BDC即可求出BC．
【详解】解：∵∠BDC=60°，∠A=30°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD=20米，
∵∠C=90°，
∴BC=米．
故答案为：
16 .如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，
将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．
在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②④．
【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12-x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，
则△GED不是等腰三角形，
△GDE与△BEF不相似， ③错误；
S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确.
故答案为：①②④
三、解答题：（本题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
17.（1）解方程：2x2+4x﹣3＝0；
（2）计算：sin245°+tan60° cos30°．
【答案】（1），；（2）2.
【解析】
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可求解；
（2）先根据特殊三角函数值逐个求解，再根据有理数的加法法则计算即可.
【详解】解：（1）解方程：2x2+4x﹣3＝0，
因为a=2，b=4，c=-3，
所以 ，
所以，
所以，；
（2）计算：sin245°+tan60° cos30°，
解：原式=，
=，
=2.
18．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，∠1＝∠B，AD＝4，AC＝6，求AB的长．
【答案】9
【分析】由条件可证明△ACD∽△ABC，于是可得，再代入已知数据即可求出AB的长．
【详解】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
∴AB＝9
故AB的长为9．
19. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，
为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：
．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．
为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，
并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角______度；
若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；
(3) 学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】(1)①400；②图见解析③54
(2)参加组（阅读）的学生人数为980人
(3)恰好抽中甲、乙两人的概率为
【分析】（1）①利用参加体育活动小组的人数除以所占的百分比求出总人数；②先求出参加小组的人数，再补全条形图即可；③用小组人数所占的百分比求出圆心角度数即可；
（2）用总人数乘以参加组在样本中所占的百分比，进行求解即可；
（3）利用列表法求出概率即可．
【详解】（1）解：①（人）；
故答案为：；
②参加组的学生人数为：（人）；
参加组的学生人数为：（人）；
补全条形图如下：
③；
故答案为：54；
（2）解：（人）；
答：参加组（阅读）的学生人数为980人．
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁
乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁
丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁
丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙
共有12种等可能的结果，其中抽到甲、乙两人的情况有2种，
∴；
答：恰好抽中甲、乙两人的概率为．
20 . 如图，AB是⊙O的直径，点F是AB上方半圆上的一动点（F不与A，B重合），
弦AD平分∠BAF，DE是⊙O的切线，交射线AF于点E．
求证：DE⊥AF；
(2) 若AE＝8，AB＝10，求AD长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，则∠ODE＝90°，再证明OD∥AF，得∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，
从而得到DE⊥AF；
（2）连接BD，由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°，可证明△AED∽△ADB，求出AD的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OD·
∵DE与⊙O相切于点D，
∴DE⊥OD
∴∠ODE＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD
∵AD平分∠BAF，
∴∠OAD＝∠DAF，
∴∠ODA＝∠DAF
∴OD∥AF，
∴∠AED＝180°－∠ODE＝90°，
∴DE⊥AF
（2）如图，连接BD
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∴∠AED＝∠ADB，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB
∴，
∵AE＝8，AB＝10，
∴·
21 .某文具商店销售进价为元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒元的价格销售，
平均每天销售盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，
设每盒彩色铅笔的销售价为x（）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为 W 元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：_______．
（2）求W与x之间的函数关系式
（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，
当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）
（3）当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】（1）直接利用题意用含x的式子表示y即可；
（2）将每盒利润乘以销量即可表示W，
（3）利用二次函数的图象与性质即可求解．
【小问1详解】
解：价格每提高1元，平均每天少销售2盒，
∴价格提高元，每天少销售盒，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵，
故W与x之间的函数关系式为．
【小问3详解】
∵，
∵物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，且当时，w随x的增大而增大，
∴当时，，
∴当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元．
22. 已知反比例函数上的图象与一次函数的图象交于点和点．
（1）求的函数关系式；
（2）观察图象，直接写出使得成立的自变量x的取值范围；
（3）如果点C与点A关于x轴对称，求的面积．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B的坐标，然后把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）利用图象法求解即可；
（3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点C的坐标，进而求出，再根据进行求解即可．
【小问1详解】
解：把点代入反比例函数中得：，，
∴，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴，
把，代入中得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由函数图象可知，当或时，；
【小问3详解】
解：∵点C与点A关于x轴对称，
∴点C的坐标为，
∴，
∴．
23 . 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，
与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．
是否存在点P，使四边形为菱形？
若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？
求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【答案】（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(， )，四边形ABPC的面积的最大值为．
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】（1）将B、C两点的坐标代入，得
， 解得．
∴二次函数的解析式为．
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；．
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E．
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；．
连接PP′，则PE⊥CO于E，
．
∵C（0，-3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=．
∴y= ；
∴x2-2x-3= ，
解得（不合题意，舍去）．
∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）．
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得： ．
∴直线BC的解析式为y=x-3，
则Q点的坐标为（x，x-3）；
当0=x2-2x-3，
解得：x1=-1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ．
=AB OC+QP BF+QP OF．
=×4×3+ ( x2+3x)×3．
= (x )2+．
当x＝时，四边形ABPC的面积最大．
此时P点的坐标为(， )，四边形ABPC的面积的最大值为．
24. （1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，
求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．
点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又
即
解得．
