2023-2024学年重庆中学数学九上期末学业水平测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
2．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁
3．若关于的一元二次方程有实数根，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A． B． C． D．
6．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（ ）
A．10° B．30° C．40° D．70°
7．已知二次函数y=（a≠0）的图像如图所示，对称轴为x= -1，则下列式子正确的个数是（ ）
（1）abc＞0
（2）2a+b=0
（3）4a+2b+c＜0
（4）b2-4ac＜0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线的顶点为，与轴交于点，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
10．将两个圆形纸片（半径都为1）如图重叠水平放置，向该区域随机投掷骰子，则骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为（ ）
A． B． C． D．
11．一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（ ）
A．6 个 B．7个 C．8个 D．9 个
12．把函数y＝﹣3x2的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（ ）
A．y＝﹣3x2﹣2 B．y＝﹣3（x﹣2）2 C．y＝﹣3x2+2 D．y＝﹣3（x+2）2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．足球从地面踢出后，在空中飞行时离地面的高度与运动时间的关系可近似地表示为，则该足球在空中飞行的时间为__________．
14．如图，已知中，，D是线段AC上一点（不与A,C重合）,连接BD，将沿AB翻折，使点D落在点E处，延长BD与EA的延长线交于点F，若是直角三角形，则AF的长为_________.
15．已知函数的图象如图所示，若矩形的面积为，则__________．
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为___________．
17．一个圆锥的母线长为10，高为6，则这个圆锥的侧面积是_______．
18．函数沿直线翻折所得函数解析式为_____________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？
（3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少？
20．（8分）已知二次函数y＝(x－m)(x＋m＋4)，其中m为常数．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
（2）若A(－1，a)和B(n，b)是该二次函数图像上的两个点，请判断a、b的大小关系．
21．（8分）某市某幼儿园“六一”期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏．主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c．
（1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少（直接写出答案）
（2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少．（画出树状图或列表）
22．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD＝8，AC＝9，sinC＝，求⊙O的半径．
23．（10分）如图①是图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：取1.73)．
24．（10分）某公司开发一种新的节能产品，工作人员对销售情况进行了调查，图中折线表示月销售量(件)与销售时间(天)之间的函数关系，已知线段表示函数关系中，时间每增加天，月销售量减少件，求与间的函数表达式．
25．（12分）已知正比例函数y=kx与比例函数的图象都过点A（m,1）.求：
（1）正比例函数的表达式；
（2）正比例函数图象与反比例数图象的另一个交点的坐标.
26．如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，即AQ是⊙O的切线，若∠QAP＝α，地球半径为R，
求：(1)航天飞机距地球表面的最近距离AP的长；
(2)P、Q两点间的地面距离，即的长．(注：本题最后结果均用含α，R的代数式表示)
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.
【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
故选D．
2、C
【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定．
【详解】∵甲中的三角形的三边分别是：，2，；
乙中的三角形的三边分别是：，，；
丙中的三角形的三边分别是：，，；
丁中的三角形的三边分别是：，，；
只有甲与丙中的三角形的三边成比例：，
∴甲与丙相似．
故选：C．
本题主要考查了相似三角形的判定方法、勾股定理等，熟记定理的内容是解题的关键．
3、D
【分析】根据△=b2-4ac≥0，一元二次方程有实数根，列出不等式，求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴
解得：．
故选：D．
本题考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
4、A
【解析】解：将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成B选项的影子；
将矩形木框与地面平行放置时，形成C选项影子；
将木框倾斜放置形成D选项影子；
根据同一时刻物高与影长成比例，又因矩形对边相等，因此投影不可能是A选项中的梯形，因为梯形两底不相等．
故选A．
5、D
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选D.
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
6、D
【分析】由旋转的性质可得旋转角为∠AOC＝70°．
【详解】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝70°，
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴旋转角为∠AOC＝70°，
故选：D．
本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是熟练掌握旋转的意义和性质，能够有旋转的性质得到相等的角.
7、B
【详解】由图像可知，抛物线开口向下，a＜0，图像与y轴交于正半轴，c＞0，对称轴为直线x=-1＜0，即-＜0， 因为a＜0，所以b＜0，所以abc＞0，故（1）正确；
由-=-1得，b=2a，即2a-b=0，故（2）错误；
由图像可知当x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0 ， 故（3）正确；
该图像与x轴有两个交点，即b2-4ac＞0，故（4）错误，
本题正确的有两个，故选B．
8、B
【解析】分析: 先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解.
详解: 列表如下：
，
共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，
所以小亮恰好站在中间的概率=．
故选B.
点睛：本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率.
9、A
【分析】设出抛物线顶点式，然后将点代入求解即可.
【详解】解：设抛物线解析式为，
将点代入得：，
解得：a=1，
故该抛物线的解析式为：，
故选：A.
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
10、B
【解析】连接AO1，AO2，O1O2，BO1，推出△AO1O2是等边三角形，求得∠AO1B=120°，得到阴影部分的面积=-，得到空白部分的面积=+，于是得到结论．
【详解】
解：连接AO1，AO2，O1O2，BO1，则O1O2垂直平分AB
∴AO1=AO2=O1O2=BO1=1，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2=60°，AB=2AO1sin60°=
∴∠AO1B=120°，∴阴影部分的面积=2×（）=-，
∴空白部分和阴影部分的面积和=2π-（-）=+，
∴骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为≈，
故选B．
此题考查了几何概率，扇形的面积，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．
11、C
【解析】观察图形，两个断开的水平菱形之间最小有2个竖的菱形，之后在此基础上每增加一个也可完整，即可以是2、5、8、11……
故选C.
点睛：探索规律的题型最关键的是找准规律.
12、B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【详解】二次函数y＝﹣3x1的图象向右平移1个单位，
得：y＝﹣3（x﹣1）1．
故选：B．
本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、9.8
【分析】求当t=0时函数值，即与x轴的两个交点，两个交点之间的距离即足球在空中飞行的时间.
【详解】解：当t=0时，
解得：
∴足球在空中的飞行时间为9.8s
故答案为：9.8
本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想球解题，求抛物线与x轴的交点是本题的解题关键
14、或
【分析】分别讨论∠E=90°，∠EBF=90°两种情况：①当∠E=90°时，由折叠性质和等腰三角形的性质可推出△BDC为等腰直角三角形，再求出∠ABD=∠ABE=22.5°，进而得到∠F=45°，推出△ADF为等腰直角三角形即可求出斜边AF的长度；②当∠EBF=90°时，先证△ABD∽△ACB，利用对应边成比例求出AD和CD的长，再证△ADF∽△CDB，利用对应边成比例求出AF.
【详解】①当∠E=90°时，由折叠性质可知∠ADB=∠E=90°，如图所示，
在△ABC中，CA=CB=4，∠C=45°
∴∠ABC=∠BAC==67.5°
∵∠BDC=90°，∠C=45°
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴CD=BC=，∠DBC=45°
∴∠EBA=∠DBA=∠ABC-∠DBC=67.5°-45°=22.5°
∴∠EBF=45°
∴∠F=90°-45°=45°
∴△ADF为等腰直角三角形
∴AF=
②当∠EBF=90°时，如图所示，
由折叠的性质可知∠ABE=∠ABD=45°，
∵∠BAD=∠CAB
∴△ABD∽△ACB
∴
由情况①中的AD=，BD=，
可得AB=
∴AD=
∴CD=
∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=22.8°
∵∠E=∠ADB=∠C+∠DBC=67.5°
∴∠F=22.5°=∠DBC
∴EF∥BC
∴△ADF∽△CDB
∴
∴
∵∠E=∠BDA=∠C+∠DBC=45°+67.5°-∠ABD=112.5°-∠ABD，∠EBF=2∠ABD
∴∠E+∠EBF=112.5°+∠ABD＞90°
∴∠F不可能为直角
综上所述，AF的长为或.
故答案为：或.
本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠前后对应角相等，分类讨论利用相似三角形的性质求边长是解题的关键.
15、-6
【分析】根据题意设AC=a，AB=b 解析式为y=
A点的横坐标为-a，纵坐标为b，因为AB*AC=6，k=xy=- AB*AC=-6
【详解】解：由题意得设AC=a，AB=b 解析式为y=
∴AB*AC=ab=6
A（-a，b）
b=
∴ k=-ab=-6
此题主要考查了反比例函数与几何图形的结合，注意A点的横坐标的符号.
16、.
【解析】⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，；因为OB、OC是⊙O的半径，所以OB=OC，所以=，在中，若⊙O的半径OC为2，OB=OC=2，在中，BC="2"=
本题考查圆周角与圆心角、弦心距，要求考生熟悉圆周角与圆心角的关系，会求弦心距和弦长
17、80π
【分析】首先根据勾股定理求得圆锥的底面半径，从而得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：圆锥的底面半径是：=8，
圆锥的底面周长是：2×8π=16π，
则×16π×10=80π．
故答案为：80π.
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
18、
【解析】函数沿直线翻折所得函数图像开口向下，只要根据轴对称的性质求出对称后的顶点坐标即可.
【详解】∵=(x-1)2+3，
∴其顶点坐标是（1,3），
∵（1,3）关于直线的点的坐标是（1，-1），
∴所得函数解析式为(x-1)2-1.
故答案为：.
本题考查了二次函数的轴对称变换，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数，顶点位置改变，只要根据轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式.
三、解答题（共78分）
19、（1）y=5x+30；（2）第24天；（3）W=﹣5（x﹣30）2+6480，第30天的利润最大，最大利润是6480元．
【解析】试题分析：（1）原来每天销售30件，根据每降1元，每天销售量增加5件，则可得第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量y件与x的关系式；
（2）根据每件利润×销量=6300，列方程进行求解即可得；
（3）根据利润=每件利润×销量，列出函数关系式，利用函数的性质即可求得.
试题解析：（1）由题意可知y=5x+30；
（2）根据题意可得（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）=6300，
解得：x=24或x=36（舍），
答：在这30天内，第24天的利润是6300元;
（3）根据题意可得：w=（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）=﹣5x2+300x+1980=﹣5（x﹣30）2+6480，
∵a=﹣5＜0，
∴函数有最大值，
∴当x=30时，w有最大值为6480元，
答：第30天的利润最大，最大利润是6480元．
20、（1）见解析；（2） ①当n＝－3时，a＝b；②当－3＜n＜－1时，a＞b ；③当n＜－3或n＞－1时，a＜b
【分析】（1）方法一：当y=0时，（x-m）（x-m-1）=0，解得x1=m，x2=-m-1，即可得到结论；方法二：化简得y＝x2＋1x－m2－1m，令y＝0，可得b2－1ac≥0，即可证明；
（2）得出函数图象的对称轴，根据开口方向和函数的增减性分三种情况讨论，判断a与b 的大小.
【详解】（1）方法一：
令y＝0，(x－m)(x＋m＋1)=0，解得x1＝m；x2＝－m－1．
当m＝－m－1，即m＝－2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x轴有一个公共点；
当m≠－m－1，即m≠－2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x轴有两个公共点．
综上不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
方法二：
化简得y＝x2＋1x－m2－1m．
令y＝0，b2－1ac＝1m2＋16m＋16＝1(m＋2)2≥0，方程有两个实数根．
∴不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
（2）由题意知，函数的图像的对称轴为直线x＝－2
①当n＝－3时，a＝b；
②当－3＜n＜－1时，a＞b
③当n＜－3或n＞－1时，a＜b
本题考查了二次函数的性质以及与方程的关系，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，并且注意分情况讨论.
21、；
【分析】根据概率的计算法则得出概率，首先根据题意列出表格，然后求出概率．
【详解】（1）P（恰好是A，a）的概率是=
（2）依题意列表如下：
共有9种情形，每种发生可能性相等，其中恰好是两对家庭成员有（AB，ab），（ AC，ac），（ BC，bc）3种，
故恰好是两对家庭成员的概率是P=
考点：概率的计算．
22、⊙O的半径为．
【解析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2＝OB2，构建方程即可解决问题。
【详解】解：如图，连接OA．交BC于H．
∵点A为的中点，
∴OA⊥BD，BH＝DH＝4，
∴∠AHC＝∠BHO＝90°，
∵，AC＝9，
∴AH＝3，
设⊙O的半径为r，
在Rt△BOH中，∵BH2+OH2＝OB2，
∴42+(r﹣3)2＝r2，
∴r＝，
∴⊙O的半径为．
本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
23、此时台灯光线是最佳
【解析】如图，作于，于，于．解直角三角形求出即可判断．
【详解】解：如图，作于，于，于．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，∵，
∴，
∴
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴此时台灯光线为最佳．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
24、．
【分析】由时间每增加1天日销售量减少5件结合第18天的日销售量为360件，即可求出第19天的日销售量，再根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线OD、DE的函数关系式，即可找出y与x之间的函数关系式；
【详解】当时，
设直线OD的解析式为
将代入得，
∴，
∴直线OD的解析式为：，
当时，
根据题意“时间每增加天，月销售量减少件”，则第19天的日销售量为：360-5=355，
设直线DE的解析式为，
将，代入得，
解得：，
∴直线DE的解析式为，
∴与间的函数表达式为：
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：根据数量间的关系列式计算；根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式．
25、（-3，-1）
【解析】把A的坐标分别代入函数的表达式求解，解由它们组成的方程组即可得解.
解：（1）因为y=kx与都过点A（m,1）所以解得所以正正函数表达式为 （2）由得所以它们的另一个交点坐标为（-3，-1）.
26、（1）AP＝﹣R；（2）
【分析】(1)连接OQ，根据题意可得：AQ是⊙O的切线，然后由切线的性质，可得OQ⊥AQ，又由∠QAP＝α，地球半径为R，即可求得OA的长，继而求得航天飞船距离地球表面的最近距离AP的值；
(2)在直角△OAQ中，可求出∠O的度数，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：
(1)由题意，从A处观测到地球上的最远点Q，
∴AQ是⊙O的切线，切点为Q，
连接OQ，则OQ垂直于AQ，如图，
则在直角△OAQ中有＝sinα，
即AP＝﹣R；
(2)在直角△OAQ中，
则∠O＝90°﹣α，
由弧长公式得的长＝．
本题主要考查了切线的性质与解直角三角形的应用，掌握切线的性质，解直角三角形是解题的关键.
