第二十三章 图形的变换
单元大概念素养目标
单元大概念素养目标 对应新课标内容
通过具体实例认识平移,探索并掌握平移的性质,能按要求作出简单的平面图形平移后的图形 通过具体实例认识平移,探索它的基本性质: 一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等【P68】
在平面直角坐标系中,体会图形平移前后顶点坐标的变化,能用坐标表示平移 在平面直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标,知道对应顶点坐标之间的关系.【P70】 在平面直角坐标系中,探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化【P70】
通过具体实例认识旋转,探索并掌握旋转的性质,会根据旋转的性质作图.平面直角坐标系中,知道关于原点对称的点的坐标特征,并能据此在平面直角坐标系中作已知多边形关于原点对称的图形 通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质:一个图形和旋转得到的图形中,对应点到旋转中心距离相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等【P68】
理解轴对称的概念,认识轴对称图形;探索并掌握轴对称的基本性质;能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形 通过具体实例理解轴对称的概念,探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.【P68】 能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形.【P68】 认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形【P68】
平面直角坐标系中,知道关于坐标轴对称的点的坐标之间的关系 在平面直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,知道对应顶点坐标之间的关系【P70】
了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小;在平面直角坐标系中,了解以原点为位似中心,将一个多边形扩大或缩小时各对应点的坐标之间的关系 了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.【P69】 在平面直角坐标系中,探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的【P70】
23.1 平移变换
基础过关全练
知识点1 平移变换的概念
1.(2023北京一〇一中月考)在下列生活现象中,不是平移现象的是( )
A.列车在笔直的轨道上行驶
B.窗帘左右拉动
C.小亮荡秋千的运动
D.电梯升降
2.【中华优秀传统文化】(2023北京人大附中期中)皮影戏是中国民间古老的传统艺术,下图就是皮影戏中的一个人物形象,在下面的四个选项中,能由下图经过平移得到的图形是( )
知识点2 平移变换的性质
3.(2022北京交大附中期中)如图,将三角形ABC沿着XY方向平移一定的距离得到三角形MNL,则下列结论:①AM∥BN;②AM=BN;③BC=ML;④∠ACB=∠MNL.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.(2022北京海淀外国语实验学校期中)如图,将周长为8的△ABC沿BC方向平移1.5个单位得到△DEF,则四边形ABFD的周长为 .
5.【分类讨论思想】如图所示,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为 .
6.【转化思想】(2023北京人大附中朝阳学校期中)如图,在一块长为7米,宽为4米的长方形草地上,有一条弯曲的小路,小路的左边线向右平移1米就是它的右边线,则这块草地的绿地(阴影部分)面积是 平方米.
7.【教材变式·P9T1变式】如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,若△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半,BC=2,则△ABC平移的距离是 .
8.【教材变式·P7例3变式】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于O点,且AC=BD,AC⊥BD.若AD=3,BC=5,求AC的长.
知识点3 利用平移变换作图
9.【新独家原创】如图,在正方形网格中有一个四边形ABCD,画出先将四边形ABCD向右平移4格,再向上平移1格后得到的四边形EFGH.
10.【新独家原创】如图,在△ABC中,点A'是△ABC内一点.
(1)将△ABC平移,使点A的对应点为点A',点B的对应点为点B',点C的对应点为点C';
(2)在(1)所作的图中,A'B'与BC边相交于点E,A'C'与BC边相交于点F,若E是A'B'的中点,△A'EF的面积是3,求四边形EFC'B'的面积.
知识点4 用坐标表示平移
11.(2023浙江绍兴中考)在平面直角坐标系中,将点(m,n)先向右平移2个单位,再向上平移1个单位,最后所得点的坐标是( )
A.(m-2,n-1) B.(m-2,n+1)
C.(m+2,n-1) D.(m+2,n+1)
12.【一题多变·知一组对应点的坐标】(2023北京东城二模)在平面直角坐标系中,已知点A(3,2),B(5,2),将线段AB平移得到线段CD,若点A的对应点C的坐标是(-1,2),则点B的对应点D的坐标是( )
A.(1,2) B.(2,-1)
C.(9,2) D.(2,1)
[变式:已知两组对应点的不完整坐标](2022北京一六一中期末)如图,A,B的坐标为(2,0),(0,1).若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为 .
能力提升全练
13.(2023浙江杭州中考,5,)在直角坐标系中,把点A(m,2)先向右平移1个单位,再向上平移3个单位得到点B.若点B的横坐标和纵坐标相等,则m=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
14.【转化思想】(2022北京理工大学附中月考,5,)某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD,AB=140米,BC=90米,为方便游人观赏,公园特意修建了如图所示的小路(图中非阴影部分),若小路的宽度忽略不计,则小路的总长约为( )
A.230米 B.280米
C.320米 D.350米
15.【易错题】(2023湖北黄石模拟,8,)在平面直角坐标系xOy中,线段AB的两个端点分别为A(-1,-1),B(1,2),平移线段AB,平移后其中一个端点的坐标为(3,-1),则另一端点的坐标为( )
A.(1,4) B.(5,2)
C.(1,-4)或(5,2) D.(-5,2)或(1,-4)
16.(2023浙江金华二模,14,)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF,EF=8,BE=3,CB与DF交于点G,CG=3,则图中阴影部分的面积为 .
17.【阅读理解试题】(2023北京五十七中期中,26,)阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题,如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.
小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2).
参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,△ABC的三条中线分别为AD,BE,CF.
(1)在图3中利用平移变换画出并指明以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹,不写作法);
(2)若△ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于 .
素养探究全练
18.【抽象能力】(2020北京中考)在平面直角坐标系xOy中,☉O的半径为1,A,B为☉O外两点,AB=1.
给出如下定义:平移线段AB,得到☉O的弦A'B'(A',B'分别为点A,B的对应点),线段AA'长度的最小值称为线段AB到☉O的“平移距离”.
(1)如图,平移线段AB得到☉O的长度为1的弦P1P2和P3P4,则这两条弦的位置关系是 ;在点P1,P2,P3,P4中,连接点A与点 的线段的长度为线段AB到☉O的“平移距离”;
(2)若点A,B都在直线y=上,记线段AB到☉O的“平移距离”为d1,求d1的最小值;
(3)若点A的坐标为,记线段AB到☉O的“平移距离”为d2,直接写出d2的取值范围.
答案全解全析
基础过关全练
1.C 根据平移的概念判断,A、B、D是平移现象,只有C选项不是平移现象.
2.D 平移只改变图形的位置,图形的形状和大小不变,故选D.
3.B 由平移的性质可知,AM∥BN,AM=BN,BC=NL,∠ACB=∠MLN,故①②正确,③④错误,故选B.
4.11
解析 ∵将周长为8的△ABC沿BC方向平移1.5个单位得到△DEF,∴AD=CF=1.5,BF=BC+CF=BC+1.5,DF=AC,又∵AB+BC+AC=8,∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1.5+AB+BC+1.5+AC=11.
5.1或5
解析 当☉P位于y轴的左侧且与y轴相切时,平移的距离为1;当☉P位于y轴的右侧且与y轴相切时,平移的距离为5.综上,☉P与y轴相切时,平移的距离为1或5.
6.24
解析 由题意,得(7-1)×4=6×4=24(平方米),故这块草地的绿地面积为24平方米.
7.2-
解析 设AC与DE交于点G,∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置,∴AB∥EG,∴△GEC∽△ABC,∴,∴BC∶EC=∶1,∵BC=2,∴EC=,∴BE=2-,∴△ABC平移的距离为2-.
8.解析 如图,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.
∵AD∥BC,∴四边形ACED是平行四边形,
∴CE=AD=3,DE=AC.
∵BC=5,∴BE=BC+CE=5+3=8.
∵BD=AC,∴BD=DE.
∵AC⊥BD,DE∥AC,∴DE⊥BD,
∴∠DBE=∠DEB=45°,
∴AC=BD=×8=4.
9.解析 如图所示,四边形EFGH即为所求作.
10.解析 (1)如图,△A'B'C'即为所求作.
(2)由平移的性质可知,B'C'∥BC,
∴△A'EF∽△A'B'C',
∴,
∵S△A'EF=3,∴S△A'B'C'=12,
∴四边形EFC'B'的面积=S△A'B'C'-S△A'EF=12-3=9.
11.D 根据点的坐标的平移规律:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减求解.
12.A ∵点A(3,2)的对应点C的坐标为(-1,2),
∴平移规律为向左平移4个单位,
∴B(5,2)的对应点D的坐标为(1,2).
[变式] 2
解析 由平移的性质得a=0+(3-2)=1,b=0+(2-1)=1,∴a+b=2.
能力提升全练
13.C ∵把点A(m,2)先向右平移1个单位,再向上平移3个单位得到点B,∴点B(m+1,2+3),∵点B的横坐标和纵坐标相等,∴m+1=5,解得m=4.
14.C 小路的总长为横向长度与纵向长度的和,横向长度等于AB的长,纵向长度等于AD+BC的长,∵四边形ABCD是矩形,AB=140米,BC=90米,∴小路的总长约为140+90×2=320(米).
方法解读 本题利用平移的知识分别将小路的横向线段平移到AB上,纵向线段平移到BC或AD上,将未知线段转化为已知线段,从而达到求解的目的.
15.C 本题易因平移前后的对应点考虑不周而丢解.当A(-1,-1)的对应点的坐标为(3,-1)时,B(1,2)的对应点的坐标为(5,2);当B(1,2)的对应点的坐标为(3,-1)时,A(-1,-1)的对应点的坐标为(1,-4).
易错警示 如果题目中没有明确对应点,应分情况讨论,然后利用平移的规律求解.
16.
解析 ∵将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF,∴△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠E=90°,BC=EF=8,∴BG=BC-CG=8-3=5,
∵S阴影部分+S△DBG=S△DBG+,
∴S阴影部分=×(5+8)×3=.
方法解读 与平移有关的计算问题的求解策略:求解与平移有关的计算问题,先找出平移前后的两个图形,再找出对应边,对应角,然后灵活运用平移的性质和转化思想将未知线段转化为已知线段,将复杂的长度计算转化成求几条线段的和或差,将不规则图形转化为规则图形,从而求出面积或周长.
17.解析 (1)如图,以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP.
(2)如图,平移AF到PE,可得AF∥PE,AF=PE,
∴四边形AFEP为平行四边形,
∴AE与PF互相平分,即M为PF的中点,
又∵AP∥FN∥BC,F为AB的中点,
∴N为PC的中点,
∴E为△PFC各边中线的交点,
∴△PEC的面积为△PFC面积的,
连接DE,可知DE与PE在一条直线上且PE=DE,
∴△PEC的面积=△EDC的面积=△ABC面积的,∴△PFC的面积是1××3=,
∴以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于.
素养探究全练
18.解析 (1)平行;P3.
(2)如图1,由题意可得,AB∥A'B'且AB=A'B'=1,
则四边形AA'B'B为平行四边形.
图1
由题意可得,AA'=d1.分别取AB和A'B'的中点M和M',连接MM',可得MM'=AA'.
连接OM',则OM'⊥A'B',且OM'=.
设直线y=交x轴于点C,交y轴于点D,
则点C(-2,0),D(0,2).
延长OM'交直线CD于点N,则ON⊥CD.
在Rt△COD中,ON=.∴NM'=.
∵MM'≥NM',∴AA'≥.∴d1的最小值是(当AB的中点M与点N重合时取得).
(3)≤d2≤.
提示:当点A'在线段OA上时(如图2),AA'的值最小,易求得AO=2.5,所以AA'的最小值为2.5-1=1.5;当AA'=AA″时(如图3),AA'有最大值,OP=0.5,AO=2.5,A'P=,所以AA'= .
图2
图3
