第二十四章 投影、视图与展开图
单元大概念素养目标
单元大概念素养目标 对应新课标内容
通过实例,了解中心投影和平行投影的概念.会识别中心投影和平行投影,能画出简单图形在投影面的中心投影或平行投影 通过丰富的实例,了解中心投影和平行投影的概念【P69】
会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图,能判断简单物体的视图,并会根据视图描述简单的几何体.了解视图在现实生活中的应用 会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图,能判断简单物体的视图,并会根据视图描述简单的几何体【P69】
了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图想象和制作模型;了解展开图在现实生活中的应用 了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图想象和制作模型;【P69】通过实例,了解上述视图与展开图在现实生活中的应用【P69】
24.1 中心投影与平行投影
基础过关全练
知识点1 中心投影
1.(2023福建宁德期末)下列各种现象属于中心投影的是( )
A.晚上人走在路灯下的影子
B.中午用来乘凉的树影
C.上午人走在路上的影子
D.早上升旗时地面上旗杆的影子
2.(2023江苏徐州期末)如图,树AB在路灯O的照射下形成投影AC,已知路灯高DO=4 m,树影AC=2 m,树AB与路灯O的水平距离AD=3 m,则树的高度AB是 m.
3.如图所示,甲、乙、丙三个物体在同一直线上,且都与地面垂直,在同一盏灯的照射下,甲物体的高为4米,影长为3米,乙物体的高为2米,影长为4米,甲、乙两物体相距5米.
(1)在图中画出灯的位置,并画出丙物体的影子;
(2)若灯杆与地面垂直并且与物体甲、乙、丙在同一直线上,试求出灯杆的高度.
知识点2 平行投影
4.下列光线:①太阳光线;②台灯的光线;③手电筒的光线;④路灯的光线.其中所形成的投影不是平行投影的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(2022北京朝阳二模)在太阳光的照射下,一个矩形木框在水平地面上形成的投影不可能是( )
6.(2023河北衡水模拟)下图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳移动情况的照片(上午8时至下午5时),这五张照片拍摄时间的先后顺序是( )
A.①②③④⑤ B.②④①③⑤
C.⑤④①③② D.⑤③①④②
7.【跨学科·地理】日晷是我国古代利用日影记时的仪器,晷针在晷面上所形成的投影属于 投影.(填“中心”或“平行”)
8.(2023山东枣庄期末)小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度.如图,某一时刻,她在地面上竖直放置了一个2米长的标杆CD,测得其影长DE=1.4米.
(1)请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF;
(2)如果BF=5.6米,求旗杆AB的高.
能力提升全练
9.(2020贵州安顺中考,6,)下列四幅图中,能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的是( )
A B C D
10.(2022北京东城月考,5,)如图,阳光从教室的窗户射入室内,窗户框AB在地面上的影长DE=1.8 m,窗户下沿到地面的距离BC=1 m,EC=1.2 m,那么窗户框AB的高为( )
A.1.5 m B.1.6 m C.1.86 m D.2.16 m
11.【中华优秀传统文化】(2023山西晋中期末,12,)宋代诗人释惠明在《手影戏》中写道:“三尺生绡作戏台,全凭十指逞诙谐.有时明月灯窗下,一笑还从掌握来.”手影戏是一种独特的艺术形式,它的表演全部靠手部动作投影的改变,幻化形成各种不同的形象.“手影戏”中的手影属于 .(填“平行投影”或“中心投影”)
12.(2021河北承德期末,23,)在阳光下,小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米,同时小强同学测量树的高度时,发现树的影子落在教学楼的第一级台阶(平行于水平地面的部分)上的长度为0.2米,落在地面上的影长为4.42米,每级台阶高0.3米,如图.小玲说:“要是没有台阶的话,树的影子长度应该是4.62米.”小强说:“要是没有台阶的话,树的影子长度肯定比4.62米长.”
(1)你认为谁的说法对 并说明理由.
(2)请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度.
素养探究全练
13.【应用意识】某数学兴趣小组利用树影测量树高,如图,已测出树AB的影长AC为12米,并测出此时太阳光线与地面成30°角.(≈1.41,≈1.73,≈2.45,结果精确到0.1米)
(1)求树AB的高;
(2)因水土流失,此时树AB沿太阳光线方向倒下,在倒下过程中,树影长度发生了变化,假设太阳光线与地面的夹角保持不变.
①求树与地面成45°角时的影长;
②求树的最大影长.
答案全解全析
基础过关全练
1.A 中心投影的光源是从一点发出的,在各选项中,只有A选项得到的投影为中心投影.
2.1.6
解析 ∵AB∥OD,∴△CAB∽△CDO,
∴,∴,∴AB=1.6(m),
即树的高度AB是1.6 m.
3.解析 (1)如图,点O为灯的位置,QF为丙物体的影子.
(2)如图,过O作OM⊥QH,垂足为M,则OM为灯杆,设OM=x米,BM=y米,
易知△GAB∽△GOM,∴,即①,
易知△CDH∽△OMH,∴,即②,
联立①②,解得x=4.8,y=0.6.
答:灯杆的高度为4.8米.
4.C 太阳光线下形成的投影是平行投影,②③④所形成的投影不是平行投影.
5.C 根据平行投影的特点,矩形木框在地面上形成的投影不可能是梯形.故选C.
6.B 一天中太阳位置的变化规律是从东到西.影子位置的变化规律是从西到东,影子长短的变化规律是长→短→长.根据影子变化的特点,按时间顺序给这五张照片排序是②④①③⑤.
7.平行
解析 因为太阳光属于平行光线,日晷利用日影记时,所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影.
8.解析 (1)如图,连接CE,过A点作AF∥CE交BD于F,则BF即为所求作.
(2)∵AF∥CE,∴∠AFB=∠CED,
又∵∠ABF=∠CDE=90°,∴△ABF∽△CDE,
∴,即,∴AB=8 m.
答:旗杆AB的高为8 m.
能力提升全练
9.C 根据平行投影的特点知,两棵树的影子的方向相同,故A、B错误;根据在同一时刻太阳光下,树高与影长成正比可知C正确,D错误.故选C.
10.A ∵BE∥AD,∴△BCE∽△ACD,∴,即,
∵BC=1m,DE=1.8m,EC=1.2 m,∴,∴AB=1.5 m.
11.中心投影
解析 “手影戏”中的投影是光由一点向外散射形成的投影,属于中心投影.
12.解析 (1)小强的说法对.理由如下:
设0.3米高的台阶落在水平地面上的影长为x米,
根据题意得,解得x=0.18,
∴如果没有台阶的话,树的影子长度为4.42+0.18+0.2=4.8(米),
∵4.8>4.62,∴小强的说法对.
(2)设树的高度为y米,
根据题意得,解得y=8.
∴树的高度为8米.
素养探究全练
13.解析 (1)AB=AC·tan 30°=12×≈4×1.73≈6.9(米).
故树AB的高约为6.9米.
(2)①如图,作B1N⊥AC1于N,
∴AN=B1N=AB1·sin 45°=4×(米),
∴NC1=(米),
∴AC1=AN+NC1=2≈2×2.45+6×1.41≈13.4(米).
故树与地面成45°角时的影长约为13.4米.
②如图,当树与光线垂直(即树在AB2的位置)时,影长最大,为AC2的长度.∵∠AC2B2=30°,AB2=4 米,
∴AC2=2AB2=8≈8×1.73≈13.8(米).故树的最大影长约为13.8米.
