靖远县2023-2024学年高二上学期期末模拟卷（一）数学试题
（120分钟 150分）
考试范围：选择性必修第一册
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，则（ ）
A.0 B.15 C.21 D.18
3.抛物线上一点到焦点的最小距离为（ ）
A.1 B. C. D.
4.甲 乙两人从3门课程中各选修1门，则甲 乙所选的课程不相同的选法共有（ ）
A.6种 B.12种 C.3种 D.9种
5.在的展开式中，的系数是（ ）
A.-56 B.56 C.8 D.-32
6.已知正项等比数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左 右焦点分别为为椭圆上第一象限的点，直线与轴相交于点，若（为坐标原点），则（ ）
A. B. C. D.
8.踢球时甲 乙 丙三人互相传递，由甲开始传球，经过3次传递后，球又被传回到甲，则不同的传递方式共有（ ）
A.6种 B.8种 C.2种 D.4种
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知直线，直线，则（ ）
A.直线可以与轴平行 B.直线可以与轴平行
C.当时， D.当时，
10.设数列的前项和为，下列命题正确的是（ ）
A.若为等差数列，则仍为等差数列
B.若为等比数列，则仍为等比数列
C.若为等差数列，则为等差数列
D.若为等比数列，则为等差数列
11.四位同学各在周六 周日两天中任选一天参加社区公益活动，则（ ）
A.四位同学选在同一天参加公益活动的概率为
B.周六两位同学，周日两位同学参加公益活动的概率为
C.周六 周日都有同学参加公益活动的概率为
D.周六一位同学，周日三位同学参加公益活动的概率为
12.已知椭圆且与双曲线的焦点重合，分别为椭圆，双曲线的离心率，则（ ）
A. B.
C. D.当时，
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知圆与圆内切，则__________.
14.的展开式中有理项的个数为__________.
15.如图，3根绳子上共挂有6只气球，绳子上的球数依次为，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法种数是__________.
16.已知点分别为双曲线的左 右焦点，若双曲线上一点满足，则__________，双曲线的标准方程为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知圆和直线相切于点.
（1）求圆的标准方程及直线的一般式方程；
（2）已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
18.（12分）
已知数列的前项和为，数列为等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.
19.（12分）
（1）求除以15的余数；
（2）证明：能被96整除.
20.（12分）
现有10个运动员名额，作如下分配方案.
（1）平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？
（2）分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？
21.（12分）
已知数列的通项公式为，在公差为整数的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
22.（12分）
已知椭圆的焦距与短轴长相等，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知圆的切线与椭圆相交于两点，证明：以为直径的圆必经过原点.
参考答案
靖远县2023-2024学年高二上学期期末模拟卷（一）数学试题
1.D 的方程可化为，设直线的倾斜角为..
2.A .
3.C 假设是抛物线上任意一点，为抛物线焦点，根据抛物线的定义，则有，因为，所以抛物线上一点到焦点的最小距离为.
4.A 甲 乙两人从3门课程中各选修1门，由乘法原理可得甲 乙所选的课程不相同的选法有（种）.
5.A 因为展开式的第项为，所以，所以，故的系数是.
6.B 由，可知，则，化为，解得，因为，所以.
7.C 因为，所以轴，所以.因为，所以，所以.
8.C 经过3次传到甲，必定经过2次传到乙或丙，且经过2次传到乙或丙的方式种数相等，经过2次传到乙有“甲一丙一乙”1种方式，故经过3次传到甲共有2种传递方式.
9.ABC 当时，直线，此时直线与轴平行，项正确；若，则直线，此时直线与轴平行，A项正确；若，则，解得，C项正确；若，则，解得，D项错误.
10.AC 设等差数列的公差为，则，
，
同理可得，
所以，
所以仍为等差数列，故A项正确；
取数列为，当为0时，不能成等比数列，故B项不正确；
设等差数列的公差为，则，
于是，
所以为等差数列，故C项正确；
若，则无意义，此时为等差数列是不正确的，故D项不正确.
11.ABD 四位同学各在周六 周日任选一天参加公益活动共有种结果，都在同一天即周六或者周日参加共有2种结果，故其概率为；周六和周日各有两位同学参加的概率为；不都在同一天即周六 周日都有同学参加的概率为；周六一位同学，周日三位同学参加的概率为.故仅有项不正确.
12.BC 因为椭圆，双曲线的焦点相同，所以，所以，所以，当时，，故选项错误，选项C正确.因为，所以，选项B正确.
13.8 因为，圆的半径为3，圆的半径为，
所以，因为圆与圆内切，所以.
14.3 展开式的通项为，
要为有理项，则为整数，故可取，共有3项有理项.
15.60 将这6个气球进行编号，下面的气球号小于上面的气球号，则排列方法种数就是打破气球的方法种数，故不同的打破气球的方法种数有种.
16. 因为，所以，
即，则，所以，
则.设与的夹角为，所以.
由余弦定理知，解得.
因为，所以，即双曲线的方程为.
17.解：（1）把点代入圆的方程，可得，解得圆的方程为，即.
圆心为直线的方程为，
即.
（2）由（1）可知，圆的直径为，故直线经过圆心，且直线的方程为，即.
18.解：（1）数列为等差数列，公差，
.
当时，，
又适合上式，.
（2）证明：由（1）可知，
，
，
.
19.解：（1）
，
除以15的余数为4.
（2）证明：
，
原式能被96整除.
20.解：（1）根据平均分配规律，则平均分配5个组共有种方案.
（2）10名运动员排成一排，中间形成9个空隙，选6个位置插入隔板，则分成7组，故分配方案共有种.
21.解：（1）因为，所以，即，因为成等比数列，所以
，设数列的公差为，所以，解得或（舍去），所以，所以.
（2）①，
②，
由①-②得，
求得，即.
22.解：（1）由题意可知，即，把点的坐标代入椭圆方程得，
椭圆方程为.
（2）证明：①当直线的斜率不存在时，
直线与圆相切，直线方程为或.
I.联立与，可得，
以为直径的圆的方程为；
II.联立与，可得，
以为直径的圆的方程为.
综合I，II可知，两圆过定点.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立与，
消去得，设，
由韦达定理知直线与圆相切，圆心到直线的距离，即，从而，显然以为直径的圆经过原点.综合①②可知，以为直径的圆必经过原点.
