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河南省部分重点中学2023-2024学年高二上学期12月质量检测
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.学校筹办元旦晚会需要从5名男生和3名女生中各选1人作为志愿者，则不同选法的种数是（ ）
A.8 B.28 C.20 D.15
2.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4.已知空间向量，若，则（ ）
A. B.3 C. D.2
5.已知四面体是的重心，若，则（ ）
A.4 B. C. D.
6.已知直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”，则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知抛物线为坐标原点，在抛物线上存在两点（异于原点），直线的斜率分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A.圆的圆心坐标为，半径为2
B.两圆外离
C.若分别为两圆上的点，则两点间的最大距离为
D.若为圆上的两个动点，且，则线段的中点的轨迹方程为
11.如图所示，四边形为正方形，平面平面为的中点，，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.直线到平面的距离为
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.直线与平面所成角的正弦值为
12.已知焦点在轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线的实轴长为，过双曲线的右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，点关于轴的对称点为，则（ ）
A.双曲线的标准方程为
B.若直线的斜率为2，则
C.若点依次从左到右排列，则存在直线使得为线段的中点
D.直线过定点
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.准线方程为的抛物线的标准方程为__________.
14.若空间向量共面，则实数__________.
15.已知直线方程，若这三个数作为的值，且的值互不相同，则可表示__________条不同的直线.
16.已知点是椭圆上异于上下顶点的任意一点，为坐标原点，过点作圆的切线，切点分别为，若存在点使得，则椭圆离心率的最小值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知点，直线.
（1）求经过点且与直线平行的直线方程；
（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.
18.（本小题满分12分）
已知正方体的棱长为分别为的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
19.（本小题满分12分）
已知点是双曲线上任意一点.
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）已知点，求的最小值.
20.（本小题满分12分）
已知圆经过三点.
（1）求圆的方程；
（2）已知斜率为的直线经过第三象限，且与圆交于点，求的面积的取值范围.
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面为侧棱上一点，平面与侧棱交于点，且与底面所成的角为.
（1）求证：为线段的中点；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在椭圆C上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线（直线的斜率不为0）与椭圆相交于两点，过焦点作与直线的倾斜角互补的直线，与椭圆相交于两点，求的值.
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数学
参考答案 提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C A B C D B
题号 9 10 11 12
答案 AC ACD ACD ABD
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
【解析】由题意可知不同选法有（种）.故选D.
2.【答案】C
【解析】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为.故选C.
3.【答案】C
【解析】由直线经过两点，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，有，又，所以.故选C.
4.【答案】A
【解析】由题意可得，因为，所以，解得.故选A.
5.【答案】B
【解析】取的中点，可得.故选B.
6.【答案】C
【解析】过点作，垂足为，由，可得，有，有，可得，有，可得.故选C.
7.【答案】D
【解析】由题可设点到椭圆两个焦点的距离分别为，所以，得到，又，所以，得到，故.故选D.
8.【答案】B
【解析】设点的坐标分别为，有
，由，有，可得，有.故选B.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】AC
【解析】，故A正确；
由上述可知，因此，故错误；
，故C正确；
由上述可知，故D错误.故选AC.
10.【答案】ACD
【解析】将圆的方程化为标准方程得，由此可知圆的圆心坐标为，半径为2，故选项正确；
将圆的方程化为，因此，因此两圆相交，故B选项错误；
根据圆的图象可知，故C选项正确；
不妨设中点为，则，圆的半径为3，由垂径定理可知，即，设点的坐标为，又点的坐标为，所以，故D选项正确.故选ACD.
11.【答案】ACD
【解析】，故A正确；
易知平面平面，所以平面，由，可知平面，所以直线到平面的距离为，即错误；
异面直线与所成角即与所成角，因此余弦值为，故正确；
易知平面，即，故与平面所成角的正弦值为，故正确.故选ACD.
12.【答案】ABD
【解析】设双曲线的标准方程为，由双曲线的实轴长为，可得，可知双曲线的标准方程为，故A选项正确；
由上知，设直线的方程为两点的坐标分别为，联立方程消去后整理为，有，可得，故B选项正确；
由，有，故不存在直线使得为线段的中点，故C选项错误；
设直线的方程为，联立方程消去后整理为，有，点坐标为，直线斜率为，直线斜率为，若直线过定点，则，即，经检验，上述等式恒成立，则直线过定点，故D选项正确.故选ABD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
【解析】由题意得该抛物线开口向左，且焦点坐标为，故抛物线的方程为.
14.【答案】1
【解析】由题可知，故，有，截得
15.【答案】6
【解析】当时，可表示2条不同的直线；当时，可表示2条不同的直线；当时，可表示2条不同的直线，由分类加法计数原理，知共可表示6条不同的直线.
16.【答案】
【解析】当时，由于为切点，则，又因为点在椭圆上，因此，即，解出.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.【答案】（1）（2）
【解析】（1）设经过点且与直线平行的直线方程为，
将代入得，
所以所求直线方程为；
（2）直线的斜率为，
与直线垂直的直线斜率为-2，
所以经过点且与直线垂直的直线方程为，
即.
18.【答案】（1）略（2）
【解析】（1）证明：取中点，连接，
由于为中点，且四边形为正方形，因此，
由于为中点，且是正方体，因此平面，
又平面，则，
因此平面，则平面，
又平面，因此；
（2）以为原点，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，
于是，
设平面的一个法向量为，
有令，则，
因此，
故直线与平面所成角的余弦值为.
19.【答案】（1）略（2）
【解析】（1）证明：由已知可得，所以双曲线的渐近线方程为，
点到直线，即直线的距离，
点到直线，即直线的距离，
所以点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为
，
又在双曲线上，所以，所以，所以是一个常数；
（2）因为，所以，解得或，
所以，
当时，的最小值为，所以的最小值为.
20.【答案】（1）（2）
【解析】（1）设圆的方程为，将三点坐标代入，
则解得
则圆的方程为；
（2）由题意可设直线方程：，
圆心到直线的距离为，
由于，且直线与圆交于两点，因此，即，
线段，因此的面积，
由于，则，因此，
所以的取值范围为.
21.【答案】（1）略（2）
【解析】（1）证明：因为平面平面，所以，
又因为，且，所以平面为与平面所成的角，
由，有，所以为中点，
因为平面平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，所以，
所以为线段的中点；
（2）由（1）可知两两垂直，如图所示，以分别为轴建立空间直角坐标系则，
所以，设平面的法向量为，
则
取，得到，
设平面的法向量为，由，
有取，可得，
所以，
所以平面与平面的夹角的正弦值为.
22.【答案】（1）（2）
【解析】（1）由，可得，
可得椭圆方程为，代入点的坐标有，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）由（1）知，点为（4，0），设点的坐标分别，直线的方程为，直线的方程为，
联立方程消去后整理为，
有，
联立方程消去后整理为，
有，
又由右焦点，有
，
对消元，可得到原式
故的值为.
