2023-2024 学年度十堰市六县市区一中教联体 12 月联考
高二数学试卷
考试时间：2023 年 12 月 26 日下午 15：00—17：00 试卷满分：150 分
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要
求的）
1．直线 x 3y 2 0的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知向量 a 0,2,1 ，b 1,1,m ，若 a，b分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则 m=（ ）
A． 1 B．1 C． 2 D．2
3 2．已知两条直线 l1 : x m y 6 0， l2 : (m 2)x 3my 2m 0，若 l1与 l2平行，则 m＝（ ）
A．-1或 3 B．-1或 0或 3 C．0 D．-1或 0
4.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目，请给出答案：把
1
100个面包分给 5个人，使每人所得个数成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之
7
和，则最小的一份为（ ）
5 10 5 11
A. B. 3 C. 6 D.3 6
5．如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，N为 A1C1与 B1D1的交点，
M为 DD1的中点，若 AB=a， AD b，AA c，则MN （ ）1
1 1 1 1 1 1
A. a b c B. a b c
2 2 2 2 2 2
1 1 1
C. a b c 1 a 1 b 1D. c
2 2 2 2 2 2
6．已知木盒中有围棋棋子 15枚（形状大小完全相同，其中黑色 10枚，白色 5枚），小明有放
回地从盒中取两次，每次取出 1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是（ ）
4 5 2 2
A. B. C. D.
9 9 9 3
7．已知抛物线 y2 16x的焦点为 F，P点在抛物线上，Q点在园C : (x 6)2 (y 2)2 4上，则
PQ PF 的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．4 D．6
高二数学试题 4-1
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#}
8．若直线 y x b与曲线 y 4 x2 有两个公共点，则实数b的取值范围为（ ）
A．[ 2,2 2] B．[ 2 2, 2 2] C． (0,2 2] D．[2,2 2)
二、多选题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
9．已知向量 a m, 1 ,b 2,1 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若m 1，则 a b 13
B．若 a b，则m 2
C．“m 1
”是“a与b的夹角为钝角”的充要条件
2
D．若m 1，则b在a上的投影向量的坐标为 1 1 ,
2 2
10．下列叙述正确的是（ ）
A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．从装有 2个红球和 2个黑球的口袋内任取 2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是
两个互斥而不对立的事件
C．甲 乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 1，甲获胜的概率是 1，则甲不输的概率为 5
2 3 6
D．在 5件产品中，有 3件一等品和 2件二等品，从中任取 2件，那么事件“至多一件一等
品”的概率为 7
10
2
11．已知动点 P在左、右焦点为 F1、F2的双曲线C : x2 y 1上，下列结论正确的是（ ）
3
PF1 1
A．双曲线 C的离心率为2 B．当点 P在双曲线左支时， 2 的最大值为PF2 4
C．点 P到两渐近线距离之积为定值 D 3．双曲线 C的渐近线方程为 y x
3
2 2
12．已知椭圆C : x y 1的左、右焦点分别为 F1、F2，上顶点为 B，直线 l : y kx(k 0)与椭
4 2
圆 C交于M，N两点，点T (3 2,4)，则（ ）
1 1
A． MF MF 的最小值为 9 B．四边形MF1NF2的周长为 81 2
C 1．直线 BM，BN的斜率之积为
2
D．若点 P为椭圆 C上的一个动点，则 PT PF1的最小值为 2 6 4
高二数学试题 4-2
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#}
三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．求经过（2，2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
14．记 Sn是公差不为 0的等差数列{an}的前 n项和，若 a3＝S5，a1a4＝a5，则 an＝________．
15．如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，
点 E，F分别是棱 AB，CC1的中点，一只蚂蚁从点 E出发，绕过三棱柱
ABC-A1B1C1的一条棱爬到点 F处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是 ．
x2 y 216．已知 F1，F2分别为双曲线
2 2 1的左 右焦点，P为双曲线右支上a b
一点，满足 | PF | | F F |，直线 PF 与圆 x2 2 22 1 2 1 y a 有公共点，则双曲线的
离心率的最大值是 .
四、解答题
17.（本大题满分 10分）在等差数列{an}中，已知a1 a2 a3 18且a4 a5 a6 54 ．
（1）求{an}的通项公式；
b 4（2）设 n a a ，求数列{bn}的前 n项和 Sn．n n 1
18.（本大题满分 12分）如图，四棱锥 P-ABCD的底面是矩形，
PD⊥底面 ABCD，PD=DC=1，BC 2，M为 BC的中点．
（1）求证： PB AM ；
（2）求平面 PAM 与平面 PDC所成的角的余弦值．
19.（本大题满分 12分）第 19届亚运会于 2023年 9月 23日至 10月 8日在杭州举办，为做好本
次亚运会的服务工作，从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的 100名学生进行综合素质考核，
根据学生考核成绩分为 A、B、C、D四个等级，最终的考核情况如下表：
等级 A B C D
人数 10 40 40 10
高二数学试题 4-3
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#}
（1）将频率视为概率，从报名的 100名学生中随机抽取 1名，求其成绩等级为C或D的概率；
（2）已知 A，B等级视为成绩合格，从成绩合格的学生中，根据考核情况利用比例分配的
分层随机抽样法抽取 5名学生，再从这 5 名学生中选取 2 人进行座谈会，求这 2人中有 A等级
的概率．
20.（本大题满分 12分）在直角坐标系 xOy中，直线 l : x 3y 4 0交 x轴于 M，以 O为圆心的
圆与直线 l相切.
（1）求圆 O的方程；
（2）是否存在定点 S，对于经过点 S的直线 L，当 L与圆 O交于 A，B时，恒有 AMO BMO？
若存在，求点 S的坐标；若不存在，说明理由.
1
21.（本大题满分 12分）如图，在四棱锥P ABCD中， PA AD， AD BC 3， PC 5，
2
AD//BC， AB AC， BAD 150 ， PDA 30o．
（1）证明：平面 PAB 平面 ABCD；
（2）在线段 PD上是否存在一点 F ，使直线CF与平面PBC
1
所成角的正弦值等于 ？
4
22.（本大题满分 12分）已知 C为圆 (x 1)2 y 2 12 的圆心，P是圆 C上的动点，点M (1,0)，
若线段 MP的中垂线与 CP相交于 Q点.
（1）当点 P在圆上运动时，求点的轨迹 N的方程；
（2）过点（1，0）的直线 l与点 Q的轨迹 N分别相交于 A，B两点，且与圆 O：x2 +y2 =2
相交于 E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围.
高二数学试题 4-4
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#}2023-2024 学年度十堰市六县市区一中教联体 12 月联考
高二数学答案
1．D
【分析】
求出直线 AB 的斜率，再根据倾斜角的范围结合特殊角的三角函数值求解即得.
3 3 3
【详解】直线的斜率为 kAB ， 设该直线的倾斜角为 ，则 tan ，又0 180 ， 1 2 3 3
所以 150 .
故选：D
2．．C
【分析】
转化为 a b 0，利用空间向量数量积的坐标运算，即得解
【详解】
由题可知， a b，则 a b 2 m 0，即m 2 .
故选：C
3．D
【分析】
解方程1 3m m2 (m 2) 0，再检验即得解.
【详解】
因为 l1与 l2平行，
所以1 3m m2 (m 2) 0，
m(m2 2m 3）=0 ,
所以m(m 3)(m 1)=0
m 0或m 1或m 3
当m 3时，两直线重合为 x+9y+6＝0，与已知不符，所以舍去，
当m 0或 1时，符合题意.
故选：D
4.A
5．【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为 N 为 A1C1与 BiD1的交点，
1 1 1 1 D N 1
1
所以 1 D1A1 D1C1 AD AB b a，2 2 2 2 2 2
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#} 试卷第 1页，共 4页
1 1 1 1 1 1 1
故MN D1N D1M D1N D1D b a c a b c .2 2 2 2 2 2 2
故选：B
6【答案】A
【解析】
【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.
2
【详解】从盒中随机取出 1枚棋子，“是黑棋子”记为事件A，“是白棋子”记为事件 B，则 P A ，
3
P B 1 ，
3
两枚棋子恰好不同色包含：
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子，这两个事件是互斥事件．
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互独立，概率为 P AB P A P B 2 ；
9
2
第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互独立，概率为 P BA P B P A ．
9
4
所以这两枚棋子恰好不同色的概率是 P AB P BA ．
9
故选：A．
7.A
8．D
【分析】
由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出b的取值范围.
【详解】
画家曲线 y 4 x 2 得 x2 y2 4( y 0)，画出图像如图：
b
当直线 l1与半圆 O 相切时，直线与半圆 O 有一个公共点，此时， d 2，所以 b 2 2 ，由图可知，2
此时b 0，所以b 2 2 .
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#} 试卷第 2页，共 4页
当直线 l2如图过点 A、B 时，直线与半圆 O 刚好有两个公共点，此时b y x 2 .
由图可知，当直线介于 l1与 l2之间时，直线与曲线有两个公共点，所以 2 b 2 2 .
故选：D.
【点睛】
方法点睛：圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则 l 2 r2 d 2 ；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： AB 1 k 2 x1 x2 .
9．AD
10．ACD
【详解】对于A 选项： 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，
对立事件是必有一个发生的互斥事件，A 正确；
对于B 选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的
两个球这一基本事件，即它们不互斥，B 错误；
对于C 选项： 甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和， 它们互斥，
则甲不输的概率为 + ＝，C 正确；
对于D 选项：5 件产品中任取两件有 10 个基本事件，它们等可能，
其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有 3 个基本事件，
从而所求概率为 1 = ，D 正确.
故选： ACD.
11．AC
12．BCD
【详解】对于A，由于M，N关于原点对称， 故|NF1 | = |MF2 |，
所以 + = ( + )(|MF1| + |MF2 |)
= 1 (5 + MF2 + |MF |) ≥ 1 (5 + 2√MF2 |MF |) = 9
4 MF1 MF2 4 MF1 MF
，
2 4
MF |MF | 4 8
当且仅当 2 = ，结合|MF1 | + |MF2 | = 2a = 4，即|MF1 | = , |MF2 | = 时等号成立，AMF1 MF2 3 3
错误；
对于B，由题意知对于椭圆 C: + = 1，a = 2, b = √2, c = √4 2 = √2，
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#} 试卷第 3页，共 4页
l: y = kx(k ≠ 0)与椭圆 C交于M，N两点，
则M，N关于原点对称， 且|MF1| + |MF2| = 2a = 4，|NF1| + |NF2| = 2a = 4,
故四边形MF1NF2 的周长为|MF1| + |MF2| + |NF1 | + |NF2 | = 4a = 8，B 正确；
对于 C，设 M(x1, y1)，则 N( x1, y1)，而 B(0, √2)，
故 kBM kBN = = ，
而M(x1, y1)在椭圆 C: + = 1上，即 + = 1，
即 x21 = 4 (1 = 2(2 y21)，故 kBM kBN = = ，C 正确；
对于D，由于点 P为椭圆 C上的一个动点，故|PF1 | + |PF2 | = 2a = 4,
则|PF1| = 4 |PF2|，故|PT| |PF1 | = |PT| + |PF2 | 4 ≥ |TF2| 4，
当且仅当 T, P, F2共线时，且P 在 T, F2之间时等号成立，
而 F2(√2, 0)，|TF2 | = √(3√2 √2)2 +42 = 2√ 6，
故|PT| |PF1 |的最小值为 2√6 4，D 正确，
故选：BCD
13 ．y = x或 x + y = 4
【详解】当直线过原点时，方程为 y = x，
当直线不过原点时， 设直线方程为 + = 1，
则有 + = 1，解得 a = 4，
故直线方程为 + = 1，即 x + y = 4，
综上所述，所求直线方程为 y = x或 x + y = 4.
故答案为： y = x或 x + y = 4
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#} 试卷第 4页，共 4页
14． an 3 n
13
15．答案：
2
解析：若将底面 ABC沿 AC展开使其与侧面 ACC1A1在同一个平面，连接 EF，因为∠BAC
＝120°，所以 EF与棱不相交，所以不合题意，
若将底面 ABC沿 BC展开和侧面 BCC1B1在同一个平面，连接 EF，则 EF与棱 BC相交，
符合题意，此时 EF为这只蚂蚁爬行的最短路线，如图所示，
过 E作 BB1的平行线，过 F作 B1C1的平行线，交于点 G，EG交 BC于 H，
因为 AA1＝2，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，点 E，F分别是棱 AB，CC1的中点，
所以 BE 1＝ ，CF＝HG＝1，∠ABC＝30°，
2
BC＝ AB2＋AC2－2AB·AC cos 120° ＝ 3 ，
所以 EH 1＝ ，BH 3＝ ，
4 4
FG 3 3 3 3 1 5所以 ＝ － ＝ ，EG＝1＋ ＝ ，
4 4 4 4
所以 EF＝ FG2＋EG2 27 25 52 13＝ ＋ ＝ ＝ .
16 16 16 2
16．已知 ， 分别为双曲线 的左 右焦点， 为双曲线右支上一点，
满足 ，直线 与圆 有公共点，则双曲线的离心率的最大
值是 .
【答案】
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】【解答】过点 作 于 ，过点 作 于 ，因为
，
试卷第 5页，共 9页
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#}
所 以 ， 又 因 为 ， 所 以 ， 故
，又因为 ，且 ，所以
，因此 ，所以 ，又因为直线 与
圆 有 公 共 点 ， 所 以 ， 故 ， 即
，则 ，所以 ，又因为双曲线的离心
率 ，所以 ，故离心率的最大值为 ，
故答案为： .
17．【答案】(1) an 4n 2
n
(2) Sn 2n 1
【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解；
（2）由裂项相消求和法即可求解.
【详解】（1）解：由题意，设等差数列{an}的公差为d ，则3a1 3d 18 ,3a1 12d 54， 解
试卷第 6页，共 9页
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#}
得 a1 2 , d 4
an 2 4(n 1) 4n 2, n N*； 5 分
4 4 1 1 1 1
（2）解： bn an an 1 4n 2 4n 2 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
，
S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn
1
2 3
.
3 5 5 7 2 n 1 2 n 1 2 2 n 1 2 n 1
5 分
18．（1
14
）证明见解析；（2） ．
7
【分析】
（1）以点 D 为原点，依次以 DA，DC，DP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求
出 PB AM 0，利用数量积即可证明.
（2）求出两平面 PAM 与平面 PDC 的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．
【详解】
解：（1）依题意，棱 DA，DC，DP 两两互相垂直.
以点 D为原点，依次以 DA，DC，DP所在直线为 x，y，z 轴，
如图，建立空间直角坐标系. 1分
试卷第 7页，共 9页
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#}
2
则 B( 2,1,0)，P(0,0,1)， A( 2,0,0)，M ,1,02 . 2 分
2
可得 PB ( 2,1, 1)， AM ,1,0 . 3 分
2
2
所以 PB AM 2 1 0 0， 4 分
2
所以 PB AM 5 分
2
（2）由（1）得到 A( 2,0,0)，M ,1,02
，
2
因此可得 AM ,1,0 ， AP ( 2,0,1) . 6 分
2
设平面 PAM 的一个法向量为 n1 (x, y, z)，则由
2 n x y 0,
1
A M 0, 得
n AP
2
1 0,
2x z 0,
令 z 2 2，解得 n1 (2, 2,2 2) . 8 分
同理，可求平面 PDC 的一个法向量 n2 (1,0,0) . 9 分
所以，平面 PAM 与平面 PDC 所成的锐二面角 满足：
cos n1 n 2 14 2
14 1 7 . 11n n 分1 2
即平面 PAM 与平面 PDC
14
所成的锐二面角的余弦值为 12 分
7
1
19．【答案】（1） 2
2
（2）
5
【解析】
【分析】（1）根据等可能事件概率计算公式求解即可；（2）取的 5名学生中成绩为 A,B等
级的人数分别为 1，4，从这 5名学生中选取 2 人，列举出所有结果，根据古典概型概率计
算公式计算即可.
【小问 1 详解】
试卷第 8页，共 9页
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#}
由题知，任意抽取 1人，抽到的学生成绩等级为C或D的概率为
40 10 1
． 5 分
100 2
【小问 2 详解】
由题知，抽取的 5名学生中成绩为 A,B等级的人数分别为 1，4， 6 分
记这 5人分别为 A,B1,B2 ,B3,B4 ，从中抽取 2人的样本空间为
A,B1 , A,B2 , A,B3 , A,B4 , B1,B2 , B1 ,B3 , B1,B4 , B2 ,B3 , B2 ,B4 , B3 ,B4
，共 10个样本点， 8 分
其中有A等级的样本点有 A,B1 , A,B2 , A,B3 , A,B4 ，共 4个， 10 分
4 2
所以这 2人中有A等级的概率为 ． 12 分
10 5
20．（1） x2 y2 4；（2）存在， S (1,0) .
【分析】
（1）利用直线与圆相切及点线距离公式求圆 O 的半径，写出圆的方程即可.
（2）讨论直线 AB斜率存在或不存在两种情况，斜率存在时设 AB : y kx m且 A(x1, y1)，
B(x2 , y2 )，联立圆的方程并应用韦达定理求 x1 x2、x1x2、y1 y2 ，由题设易知 kAM kBM 0
即可求m,k的关系，进而可判断 AB是否过定点.
【详解】
| 4 |
（1）若圆 O 的半径为 r，则 r 22 ， 2 分1 ( 3)2
∴圆 O 的方程为 x2 y2 4 . 4 分
（2）由 AMO BMO，由（1）知：M (4,0)且直线 l与圆 O 的切点坐标为C(1, 3)，
如下图：
试卷第 9页，共 9页
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#}
若直线 AB斜率存在时，设 AB : y kx m且 A(x1, y1)， B(x2 , y2 )， 5 分
联立直线 AB与圆 O，整理可得： (1 k 2 )x2 2kmx m2 4 0，且
4k 2m2 4(1 k 2)(m2 4) 4k 2 m2 4 0 7 分
2km m2 4
∴ x1 x2 2 ， x1x2 ，则 y1 y2 k(x1 x ) 2m
2m
， 8 分
1 k 1 k 2 2 1 k 2
k y k 1 y2又 AM BM 0x 4 x 4 ，
y1 kx1 m， y2 kx2 m，
1 2
∴ 2kx1x2 m(x1 x2 ) 4(y1 y2 ) 0，可得m k符合题设， 9 分
∴直线 AB : y k(x 1)过 (1,0) . 10 分
若直线 AB斜率不存在时，易知当直线 AB为 x 1时也过定点 (1,0)； 11 分
综上，直线 L 必过定点 S (1,0) . 12 分
21．【答案】(1)证明见解析
(2)存在
【分析】（1）证明 PA 平面 ABCD，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出 AD CD，以点A为坐标原点，DC、 AD、 AP的方向分别为 x、 y、 z轴的
方向建立空间直角坐标系，设 PF PD，其中 0≤ ≤1，利用空间向量法可得出关于 的
方程，结合 的取值范围可求得 的值，即可得出结论.
【详解】（1）证明：在Rt△PAD中， AD 3， PDA 30o， PA AD tan PDA 1，
AD//BC， BAD 150 ，所以 ABC 30 ， 1分
又 AB AC， ACB 30 ， BAC 120 ，
试卷第 10页，共 9页
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#}
BC AC
在 ABC BC sin 30中，由正弦定理得
sin120
， AC 2， 2 分
sin 30 sin120
PC 5，所以， PA2 AC 2 PC 2， PA AC， 3 分
PA AD， AC AD A， PA 平面 ABCD， 5分
PA 平面 PAD，所以，平面 PAB 平面 ABCD . 6 分
（2）解：因为 AD 3， AC 2， CAD BAD BAC 30 ，
在 ACD中，由余弦定理可得CD AC2 AD2 2AC ADcos30 1，
AD2 CD2 AC 2，则 AD CD，
因为 PA 平面 ABCD，以点A为坐标原点，DC、 AD、 AP的方向分别为 x、 y、 z轴的
方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 7 分
则 B 1, 3,0 、C 1, 3,0 、D 0, 3,0 、 P 0,0,1 ，
设平面 PBC的法向量为 n x, y, z ， BC 0,2 3,0 ， BP 1, 3,1 ，
n BC 2 3 y 0
则 ，取 x 1可得 n 1,0,1 ， 8 分
n BP x 3 y z 0
设 PF PD 0, 3 , ，其中 0≤ ≤1，
则CF CP PF 1, 3,1 0, 3 , 1, 3 3,1 ，
n CF 1
由已知可得 cos n,CF 4， 10 分n CF 2 1 4 1 2
1
整理可得 4 2 8 5 0，因为 0≤ ≤1，解得 ， 11 分
2
1
因此，当点 F 为线段 PD的中点时，直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于 . 12 分
4
试卷第 11页，共 9页
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#}
x2 y2 16 3
22．（1） 1；（2） ,16 3 .
3 2 3
【分析】
（1）利用几何关系，转化为椭圆的定义，即可求得椭圆方程；
（2）分两种情况：当直线 l的斜率不存在时，求得A、B、E、F 的坐标，即可求出 | AB | | EF |2
的值；当直线 l的斜率存在时，设直线方程为 y k(x 1)，与椭圆方程联立，利用弦长公式求
得 | AB |，再结合相交弦公式求得 | EF |2，进而可求得 | AB | | EF |2的取值范围．
【详解】
解：（1）由题意知MQ是线段 AP的垂直平分线，
所以 |CP | |QC | |QP | |QC | |QA | 2 3 |CA | 2， 2 分
所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为 2，长轴长为2 3的椭圆，
x2 y2
所以 a 3，c 1，b a2 c2 2，所以椭圆C的标准方程为 1. 4 分
3 2
（2）由（1）可知，椭圆的右焦点为 (1,0)，
①若直线 l的斜率不存在，直线 l的方程为 x 1，
2 3 2 3
则 A 1, ，B 1, ， E(1,1)， F (1, 1)
3 3
所以 | AB | 4 3 ， | EF |2 4， | AB | | EF |2 16 3 . 6 分
3 3
②若直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 y k(x 1)， A x1, y1 ，B x2 , y2 .
x2 y2
1 2 2 2 2
联立 3 2 ，可得 2 3k x 6k x 3k 6 0，
y k (x 1)
2 2
则 x 6k1 x2 2 ， x x
3k 6
2 3k 1 2
， 8 分
2 3k 2
2
| AB | 1 k2 x x 2 1 k2 6k
2 3k 2 6 4 3 k 2 1
所以 1 2 2 3k 2
4 .
2 3k
2 2
2 3k
| k |
因为圆心O(0,0)到直线 l的距离 d ， 9 分
k 2 1
k 2 4 k 2 2
所以 | EF |2 4 2 2 2 ，
k 1 k 1
试卷第 12页，共 9页
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#}
4
4 3 k 2 1 4 k 2 2 16 3 k 2 2 2
所以 | AB |
16 3 k 2 16 3
| EF |2 3
2 3k 2 k 2
1 .
1 2 3k 2 3 k 2 2 3 k 2 2
3 3
10 分
2 2 16 3 因为 k [0, )，所以 | AB | | EF | ,16 3 . 11 分
3
| AB | | EF |2
16 3
综上， ,16 3 12 分
3
试卷第 13页，共 9页
{#{QQABTYKEogigAAAAABgCUQWqCkMQkACAAIoORAAEsAABAQNABAA=}#}
