2.分解质因数的巧用
一、认真审题，填一填。（每小题4分，共20分）
1.将30分解质因数是（ ）。
2.已知3a＝b（a，b都是不等于0的自然数），a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
3.如果相邻两个自然数的最小公倍数是110，这两个数是（ ）和（ ）。
4.9和11的最大公因数是（ ），24和36的最小公倍数是（ ）。
5.三个质数的最小公倍数是42，这三个质数分别是（ ）。
二、仔细推敲，选一选。（每小题3分，共12分）
1.两个数的最大公因数是5，最小公倍数是15，这两个数是（ ）。
A.5和3 B.5和15 C.10和15
2.焰火晚会上每8秒出现一次星星图案的礼花，每14秒出现一次花朵图案的礼花。在同时看到两种图案的礼花后，至少过（ ）秒才能再次同时看到两种图案的礼花。
A.48 B.56 C.112
3.下列几组数中，（ ）的最大公因数一定是1。
A.两个不同的质数
B.两个不同的奇数
C.一个质数和一个合数
D.一个奇数和一个偶数
4.既有公因数2，又有公因数3的一组数是（ ）。
A.15和16
B.16和30
C.12和18
D.20和21
三、动手操作。（12分）
【新情境】在乐清市非遗文化“细纹刻纸”进校园的活动中，德老师把一张长15 cm、宽9 cm的长方形纸（如图）裁成同样大的正方形。如果要求纸没有剩余，裁出的正方形的边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？（在图中画一画）
四、按要求完成各题。（共18分）
1.【新题型】对和两个分数进行通分，三个小朋友的通分过程如下。（6分）
华华：＝＝ ＝＝ 典典：＝＝ ＝＝ 聪聪：＝＝ ＝＝
这些通分过程都正确吗？你最喜欢谁的方法？为什么？
2.求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。（12分）
20和30 7和11 15和35
五、聪明的你，答一答。（共38分）
1.每年的6月5日是世界环境日，松林小学五（2）班48名同学和五（4）班36名同学去参加环保宣传活动，按班分组，如果两个班每组的人数必须相同，每组最多有多少名同学？（10分）
2.蓝蓝和梦梦都是博物馆的“义务讲解员”。蓝蓝每8天去讲解一次，梦梦每12天去讲解一次。8月1日她们一起去讲解，下一次她们同时去讲解是哪一天？（10分）
3.五年级学生参加“近视防控”宣讲活动。
（1）若6人一组或8人一组都正好分完，参加“近视防控”宣讲活动的学生至少有多少人？（10分）
（2）五年级参加“近视防控”宣讲活动的人数在90～110之间，若6人一组或8人一组都正好分完，参加“近视防控”宣讲活动的学生有多少人？（8分）
答案
一、1.30＝2×3×5
2.a b 【点拨】由题意可知，b是a的倍数，那么较大数b就是这两个数的最小公倍数，较小数a就是这两个数的最大公因数。
3.10 11 【点拨】相邻的两个自然数互质，所以相邻的两个自然数的最小公倍数是它们的乘积。110＝10×11，所以这两个数是10和11。
4.1 72 【点拨】9和11是互质数，它们的最大公因数是1；因为24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3，所以24和36的最小公倍数是2×2×3×2×3＝72。
5.2，3，7 【点拨】将42分解质因数：42＝2×3×7，所以这三个质数分别是2，3和7。
二、1.B 【点拨】15是5的倍数，它们的最大公因数是5，最小公倍数是15，这两个数是5和15。
2.B 【点拨】求8和14的最小公倍数即可。
3.A 【点拨】A选项，两个不同的质数的最大公因数是1；B选项，两个不同的奇数，如5和15，最大公因数是5；C选项，一个质数和一个合数，如3和15，最大公因数是3；D选项，一个奇数和一个偶数，如5和20，最大公因数是5。
4.C 【点拨】15和16是互质数，20和21是互质数，都只有公因数1；16和30有公因数2；12和18既有公因数2，又有公因数3。
三、15和9的最大公因数是3。
15×9÷（3×3）＝15（个）
答：裁出的正方形的边长最大是3 cm，一共可以裁出15个这样的正方形。
【点拨】要想裁成同样大的正方形且没有剩余，先求出15和9的最大公因数为3，则正方形的边长最大是3 cm，再用长方形的面积÷正方形的面积即为正方形的个数。
四、1.这些通分过程都正确。我最喜欢典典的方法。因为用两个分母的最小公倍数作公分母，通分过程比较简便。（表述合理即可）
2. 20和30的最大公因数是
2×5＝10，最小公倍数是
2×5×2×3＝60。
7和11是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积7×11＝77。
15和35的最大公因数是5，
最小公倍数是5×7×3＝105。
五、1.48和36的最大公因数是12。
答：每组最多有12名同学。
【点拨】每组的人数相同，说明每组的人数是48和36的公因数；要求每组最多有多少名同学，就是求48和36的最大公因数。
2.8和12的最小公倍数是24。 24＋1＝25
答：下一次她们同时去讲解是8月25日。
【点拨】蓝蓝和梦梦下一次同时去博物馆讲解经过的天数既是8的倍数，又是12的倍数，所以求出8和12的最小公倍数，再加上1日，就是下一次她们同时去讲解的日期。
3.（1）6和8的最小公倍数是24。
答：参加“近视防控”宣讲活动的学生至少有24人。
（2）6和8的最小公倍数是24。
24×4＝96（人） 90＜96＜110
答：参加“近视防控”宣讲活动的学生有96人。
【点拨】（1）6人一组或8人一组都正好分完，说明学生人数至少是6和8的最小公倍数。（2）已知6和8的最小公倍数是24，再求出24的4倍在90和110之间，即为参加“近视防控”宣讲活动的学生人数。
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