大通县2024届高三第一学期期中考试
文科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．九九重阳节期间，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在初八、初九、初十这三天中随机选一天，乙同学在初八、初九这两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．记公差为2的等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．4 B．7 C．8 D．9
5．已知平面向量，，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知变量x，y满足，则的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．已知函数，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．设双曲线，M，N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，P为双曲线C上的一动点，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．5
10．将函数的图象向左平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则（ ）
A． B． C．1 D．2
11．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，则的中点M到C的准线l的距离的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
12．已知函数若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为______．
14．已知圆锥的侧面积为，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为______．
15．在中内角A，B，C所对的边分别为a，b、c，，，则面积的最大值为______．
16．已知函数（且）在上有一个极值点，则实数a的取值范围为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）已知数列前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
18．（12分）某马拉松兴趣小组组内举行了一场马拉松知识的有奖比赛，一共有25人参赛（包括20位新成员和5位老成员），其中20位新成员的得分情况如下表所示（满分30分）：
得分
人数 2 3 4 6 4 1
得分在20分以上（含20分）的成员获得奖品一份．
（1）请根据上述表格中的统计数据，将下面的新成员获奖情况的列联表补充完全，并通过计算判断在20位新成员中，是否有的把握认为“获奖”与性别有关？
没获奖 获奖 合计
男 4
女 7 8
合计
（2）若5名老成员的性别相同并全部获奖，且对所有参赛人员的独立性检验结果显示，有的把握认为“获奖”与性别有关，请判断这5名老成员的性别．
附：参考公式：，．
临界值表：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19．（12分）如图，四边形为正方形，E，F分别为和的中点，以为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且平面平面．
（1）证明：；
（2）若，求三棱锥的体积．
20．（12分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求四边形面积的最大值．
21．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）若恒成立，求a的取值集合．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）把的参数方程化为极坐标方程；
（2）求与交点的极坐标（，）．
23．[选修：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值为m，正实数a，b满足，求证：．
