第19章 矩形、菱形与正方形
19.3 正方形
基础过关全练
知识点1 正方形的定义及性质
1.(2022福建泉州七中期中)平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是( )
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.对角形互相垂直平分
2.(2023宁夏吴忠三中期中)如图,正方形ABCD内的△BEC为正三角形,则∠DEA的度数为( )
A.130° B.120° C.135° D.150°
3.(2023黑龙江齐齐哈尔模拟)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连结AE,BF,请添加一个条件: ,使△ABE≌△BCF.
4.(2023湖南怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线AB的距离为 .
5.【教材变式·P121习题T1】(2022福建莆田八中期末)如图,已知正方形ABCD中,点E在边BC上,点F在CD的延长线上,且DF=BE.求证:AF⊥AE.
6.(2023湖南长沙实验中学教育集团期中)如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连结EB,ED.
(1)求证:△BEC≌△DEC;
(2)延长BE,交AD于点F,若∠BED=120°,求∠DFE的度数.
知识点2 正方形的判定
7.(2022湖南衡阳中考)下列命题为假命题的是( )
A.对角线相等的平行四边形是矩形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D.有一组邻边相等的矩形是正方形
8.如图,将正方形ABCD的各边AB,BC,CD,DA顺次延长至E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH,则四边形EFGH是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
9.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件: ,使矩形ABCD是正方形.
10.(2022湖南邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证:四边形CFDE是正方形.
12.【新独家原创】如图,在三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于D,AE平分∠CAF,CE⊥AE于点E,点F,A,B在一条直线上.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)连结ED交AC于点O,若∠AOE=2∠B,求证:四边形ADCE是正方形.
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13.(2023山东滨州阳信期中,9,★☆☆)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.E、F分别为AC、BD上的点,且OE=OF,连结AF,BE,EF.若∠AFE=25°,则∠CBE的度数为( )
A.50° B.55° C.65° D.70°
14.【教材变式·P125T11】(2023广东东莞期中,10,★★☆)如图,在正方形ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,过点O作射线OM,ON分别交BC,CD于点E,F,且∠EOF=90°,OC,EF交于点G.有下列结论:①△DOF≌△COE;②CF=BE;③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的;④OF2+OE2=EF2.其中正确的是( )
A.③④ B.①②③
C.①②④ D.①②③④
15.【半角模型】(2023重庆中考A卷,9,★★☆)如图,在正方形 ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连结AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC一定等于( )
A.2α B.90°-2α C.45°-α D.90°-α
16.(2022湖北恩施州中考,18,★☆☆)如图,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证:DF=BE+EF.
17.(2023湖南怀化通道期中,23,★☆☆)分别以△ABC的边AB、AC为边,在△ABC的外部作正方形ABDG和正方形ACHK,连结GC,BK,求证:
(1)GC=BK;
(2)GC⊥BK.
18.(2022河南南阳卧龙期中,19,★★☆)如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,过点P分别作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,若正方形的面积为9,求四边形PEBF的周长.
19.(2023浙江绍兴中考,22,★★☆)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连结EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
20.(2023山东青岛一模,23,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分∠HEF.
(1)求证:△AEH≌△CGF;
(2)若∠EFG=90°.求证:四边形EFGH是正方形.
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21.【推理能力】(2022安徽宣城六中月考)我们给出如下定义:顺次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图①,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,中点四边形EFGH是 ;
(2)如图②,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;
(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明).
22.【推理能力】(2022四川遂宁安居期末)四边形ABCD是正方形,G是直线BC上任意一点,BE⊥AG于点E,DF⊥AG于点F.当点G在BC边上时(如图1),易证DF-BE=EF.
(1)当点G在BC延长线上时,在图2中补全图形,写出DF、BE、EF的数量关系,并给出理由;
(2)当点G在CB延长线上时,在图3中补全图形,写出DF、BE、EF的数量关系,不用给出理由.
图1
图2
图3
答案全解全析
1.A 矩形、菱形、正方形、平行四边形都具有对角线互相平分的性质,故选A.
2.D ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,∵△BEC是正三角形,∴BE=BC=EC,∠EBC=∠BEC=∠ECB=60°,∴BA=BE,即△BAE是等腰三角形,∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°,∴∠BAE=∠BEA==75°,∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=90°-75°=15°,同理,∠EDA=15°,∴∠DEA=180°-∠EAD-∠EDA=180°-15°-15°=150°.故选D.
3.答案 BE=CF(答案不唯一)
解析 添加BE=CF,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,在△ABE与△BCF中,∴△ABE≌△BCF.(答案不唯一)
4.答案 3
解析 如图,过点P作PF⊥AB于点F,∵四边形ABCD为正方形,∴AC平分∠BAD,又∵PE⊥AD,PF⊥AB,∴PE=PF=3,∴点P到直线AB的距离为3.
5.证明 ∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠ADF=∠BAD=90°,
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(S.A.S.),∴∠BAE=∠FAD,
∵∠BAE+∠EAD=90°,∴∠FAD+∠EAD=90°,
即∠EAF=90°,∴AF⊥AE.
6.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴CB=CD,∠ECB=∠ECD=45°,
在△BEC和△DEC中,
∴△BEC≌DEC(S.A.S.).
(2)∵△BEC≌DEC,∴∠CEB=∠CED,
∵∠BED=120°,∴∠CEB=60°,
∴∠EBC=180°-∠ECB-∠BEC=75°,
∵DF∥BC,∴∠DFE+∠EBC=180°,
∴∠DFE=105°.
7.C 有一个内角是直角的平行四边形是矩形,不一定是正方形,故原命题是假命题,故选C.
8.D ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,∴∠FBE=∠GCF=∠HDG=∠EAH=90°,∵BE=CF=DG=AH,∴AB+BE=BC+CF=CD+DG=DA+AH,即AE=BF=CG=DH,在△FBE和△GCF中,
∴△FBE≌△GCF(S.A.S.),
∴EF=FG,∠BFE=∠CGF,
∵∠GCF=90°,∴∠CGF+∠GFC=90°,∴∠BFE+∠GFC=90°,即∠EFG=90°,同理可得△GCF≌△HDG,△HDG≌△EAH,△EAH≌△FBE,
∴FG=GH,GH=HE,HE=EF,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形,又∠EFG=90°,∴四边形EFGH是正方形.故选D.
9.答案 AB=AD(答案不唯一)
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴添加AB=AD时,四边形ABCD是正方形.答案不唯一.
10.证明 ∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF,
∴四边形AECF是菱形.
∵OE=OA,∴EF=AC,∴四边形AECF是正方形.
11.证明 ∵∠ACB=90°,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴四边形CFDE是矩形.
又∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,∴DE=DF.
∴四边形CFDE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
12.证明 (1)AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∵AD平分∠BAC,AE平分∠FAC,
∴∠DAC+∠CAE=90°,∴∠DAE=90°,
∵CE⊥AE,∴∠AEC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
(2)如图,
∵四边形ADCE为矩形,
∴AC=DE,OE=OD,OA=OC,
∴OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=∠ODC,
∵∠AOE=∠COD=2∠B,
∴2∠B+∠OCD+∠ODC=180°,
∴4∠B=180°,∴∠B=45°,
∴∠ACB=45°,∴∠CAB=90°,
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠ACD=45°,
∴AD=CD,
又∵四边形ADCE为矩形,
∴四边形ADCE是正方形.
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13.C ∵四边形ABCD是正方形,∴∠AOB=∠AOD=90°,OA=OB=OD=OC.∵OE=OF,∴△OEF为等腰直角三角形,∴∠OEF=∠OFE=45°,∵∠AFE=25°,
∴∠AFO=∠AFE+∠OFE=70°,∴∠FAO=20°.
在△AOF和△BOE中,
∴△AOF≌△BOE(S.A.S.).∴∠FAO=EBO=20°,
∵OB=OC,∴△OBC是等腰直角三角形,
∴∠OBC=∠OCB=45°,∴∠CBE=∠EBO+∠OBC=65°.故选C.
14.D ①在正方形ABCD中,OC=OD,∠COD=90°,∠ODC=∠OCB=45°,∵∠EOF=90°,∴∠COE+∠COF=90°,∵∠COF+∠DOF=90°,∴∠COE=∠DOF,在△COE和△DOF中,
∴△COE≌△DOF(A.S.A.),故①正确;
②∵△COE≌△DOF,∴CE=DF,
∵四边形ABCD为正方形,∴BC=CD,∴BE=CF,故②正确;
③由①可得四边形CEOF的面积与△OCD的面积相等,∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的,故③正确;
④在Rt△EOF中,∠EOF=90°,根据勾股定理,得OE2+OF2=EF2,故④正确.
综上所述,正确的是①②③④,故选D.
15.A 在正方形ABCD中,AD=AB,∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABG,如图所示.则AF=AG,∠DAF=∠BAG,∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠GAE=∠FAE=45°,在△GAE和△FAE中,
∴△GAE≌△FAE(S.A.S.),
∴∠AEF=∠AEG,∵∠BAE=α,∴∠AEB=90°-α,∴∠AEF=∠AEB=90°-α,∴∠FEC=180°-∠AEF-∠AEB=180°-2×(90°-α)=2α,故选A.
16.证明 ∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°,
∵CE⊥BG,DF⊥CE,∴∠BEC=∠DFC=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF,
∴∠CBE=∠DCF,
在△CBE和△DCF中,
∴△CBE≌△DCF(A.A.S.),∴BE=CF,CE=DF,
∵CE=CF+EF,∴DF=BE+EF.
17.证明 (1)∵四边形ABDG和四边形ACHK均是正方形,∴AG=AB,AC=AK,∠GAB=∠CAK=90°,
∴∠GAC=∠BAK,∴△GAC≌△BAK(S.A.S.),
∴CG=BK.
(2)如图,记CG,BK的交点为T,AC,BK的交点为N,
∵△GAC≌△BAK,∴∠ACG=∠AKB,∵∠ANK=∠TNC,∠CAK=90°,∴∠CTN=∠CAK=90°,∴GC⊥BK.
18.解析 ∵正方形的面积为9,
∴AB=BC=3,∠ACB=∠BAC=45°,
∵PE⊥AB,PF⊥BC,∴∠AEP=∠PFC=90°,
∴△APE和△PCF都是等腰直角三角形,
∴AE=PE,PF=CF,
∴四边形PEBF的周长=BE+PE+BF+PF=BE+AE+BF+CF=AB+BC=3+3=6.
19.解析 (1)证明:在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,∴∠ADE=∠GEC=90°,∴AD∥GE,
∴∠DAG=∠EGH.
(2)AH⊥EF,理由如下:
连结GC交EF于点O,如图,
∵BD为正方形ABCD的对角线,
∴∠ADG=∠CDG=45°,
又∵DG=DG,AD=CD,
∴△ADG≌△CDG(S.A.S.),
∴∠DAG=∠DCG.
在正方形ABCD中,∠ECF=90°,
又∵GE⊥CD,GF⊥BC,
∴四边形FCEG为矩形,∴OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC,
由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,
∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.
20.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C.
在△AEH与△CGF中,
∴△AEH≌△CGF(S.A.S.).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠D.
∵AE=CG,AH=CF,∴EB=DG,BF=HD.
∴△BEF≌△DGH(S.A.S.),∴EF=HG.
又∵△AEH≌△CGF,∴EH=GF.
∴四边形EFGH为平行四边形.
∴EH∥FG,∴∠HEG=∠FGE.
∵EG平分∠HEF,
∴∠HEG=∠FEG,∴∠FGE=∠FEG,∴EF=GF,
∴平行四边形EFGH是菱形,
又∵∠EFG=90°,∴四边形EFGH是正方形.
素养探究全练
21.解析 (1)如图①,连结BD,
∵点E,H分别为边AB,DA的中点,
∴EH∥BD,EH=BD,
∵点F,G分别为边BC,CD的中点,
∴FG∥BD,FG=BD,∴EH∥FG,EH=GF,
∴中点四边形EFGH是平行四边形,故答案为平行四边形.
图①
图②
(2)猜想:四边形EFGH是菱形.
理由:如图②,连结AC,BD.
∵∠APB=∠CPD,∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,
即∠BPD=∠APC,
在△APC和△BPD中,
∴△APC≌△BPD(S.A.S.),∴AC=BD,
∵点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点,
∴EF=AC,FG=BD,∴EF=FG,
∴平行四边形EFGH是菱形.
(3)正方形.
22.解析 (1)补全图形,如图所示,DF、BE、EF的数量关系是BE=DF+EF.
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,AB⊥AD.
∵BE⊥AG,DF⊥AG,
∴∠AEB=∠DFA=90°,
又∵∠BAE+∠DAF=90°,∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠DAF,
在△ABE和△DAF中,
∴△ABE≌△DAF(A.A.S.),∴AF=BE,DF=AE,
∴BE=AF=AE+EF=DF+EF.
(2)补全图形,如图所示,DF、BE、EF的数量关系是EF=DF+BE.
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,AB⊥AD.
∵BE⊥AG,DF⊥AG,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
∵∠BAE+∠DAF=90°,
∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠DAF,
在△ABE和△DAF中,
∴△ABE≌△DAF(A.A.S.),∴BE=AF,AE=DF,
∴EF=AE+AF=DF+BE.
