第17章 函数及其图象
17.5 实践与探索
基础过关全练
知识点1 一次函数与二元一次方程(组)的关系
1.【转化思想】(2023广东东莞三模)已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中,直线l1:y=x+5与直线l2:y=-x-1的交点坐标为( )
A.(4,1) B.(1,-4) C.(-1,-4) D.(-4,1)
2.(2023山东威海期中)用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图),则所解的二元一次方程组是( )
A. B.
C. D.
3.(2023湖南娄底新化模拟)如图,直线y=kx+b与y=mx+n相交于点M,则关于x,y的方程组的解是 .
4.(2023贵州遵义模拟)如图,直线y=kx(k≠0)与y=ax+b(a≠0)在第二象限交于点A,直线y=ax+b交x轴于点B,且AB=AO.若关于x,y的方程组的解为则BO= .
5.(2023北京朝阳期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2相交于点A.
(1)观察图象,直接写出方程组的解;
(2)若直线l2:y=k2x+b2与y轴的交点坐标为(0,-4),求直线l2的函数解析式.
知识点2 一次函数与一元一次方程的关系
6.(2023广东广州海珠二模)已知一次函数y=ax+2的图象与x轴的交点坐标为(3,0),则关于x的一元一次方程ax+2=0的解为( )
A.x=3 B.x=0 C.x=2 D.x=a
7.(2023河南商丘永城期末)如图,直线y=x+4和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,关于x的方程x+4=ax+b的解是( )
A.x=16或x=20 B.x=20
C.x=16 D.x=-16
8.【新独家原创】已知一次函数y=ax+b(a、b为常数,a≠0)的x与y的部分对应值如下表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -2 0 2 4 6 …
(1)方程ax+b-4=0的解是 ;
(2)求方程ax+b=16的解.
知识点3 一次函数与一元一次不等式(组)的关系
9.(2023天津和平期末)如图,直线y1=kx+6与直线y2=mx-2相交于点P(-2,3),则关于x的不等式kx+6>mx-2的解集是( )
A.x>-2 B.x>3 C.x<3 D.x<-2
10.(2023陕西西安莲湖期末)如图,直线y=kx+b交坐标轴于A(-2,0),B(0,1)两点,则不等式-kx-b>0的解集为( )
A.x>-2 B.x<-2 C.x>2 D.x<2
11.(2021湖南娄底中考)如图,直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(-4,0),点B(2,0),则的解集为( )
A.-4
12.(2023江苏扬州邗江一模)如图,直线y=kx+b(k>0)经过点A(-4,1),当kx+b>-x时,x的取值范围为( )
A.x>- B.x<0 C.x<-4 D.x>-4
13.(2022江苏扬州中考)如图,函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P,则关于x的不等式kx+b>3的解集为 .
14.(2023山东青岛即墨期中)如图,一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4),则不等式kx+b>x+2>0的解集是 .
15.已知一次函数y=-2x+4,完成下面的问题.
(1)在如图所示的直角坐标系中画出此函数的图象;
(2)根据函数图象回答:方程-2x+4=0的解是 ;当x 时,y>2;当-4≤y≤0时,对应x的取值范围是 .
16.(2022湖南岳阳中考)如图,反比例函数y=(k≠0)的图象与正比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点A(-1,2)和点B,点C是点A关于y轴的对称点,连结AC,BC.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)求△ABC的面积;
(3)请结合函数图象,直接写出不等式
(1)求点A的坐标;
(2)一次函数y1=-x-2与y2=x-4的图象与x轴分别相交于点B、C,求△ABC的面积;
(3)结合图象,直接写出y1≥y2时x的取值范围.
知识点4 函数的实际应用
18.【跨学科·物理】(2023湖北荆州中考)已知蓄电池的电压U为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系.下列反映电流I与电阻R之间函数关系的大致图象是( )
A B C D
19.【教材变式·P64T6】药品研究所开发一种抗菌新药,经过多年的动物实验后,首次用于临床人体试验,测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药后时间x(h)之间的函数关系如图所示,则当1≤x≤6时,y的取值范围是 .
20.(2023吉林长春榆树八号镇一中期中)某学校拟为“学农”活动印刷一批《学生活动手册》,印刷厂提供了两种收费方式:
方案一:先收取“制版费”300元,另收取印刷费为6元/册;
方案二:无“制版费”,印刷费为7.5元/册.
设该学校需要印刷《学生活动手册》的数量为x(册),按照方案一所需费用为y1(元),按照方案二所需费用为y2(元).
(1)分别写出y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)若学校打算印刷《学生活动手册》共380册,选择哪种方案较为合算 请说明理由.
21.(2023四川达州中考)某县著名传统土特产“豆笋”“豆干”以“浓郁豆香,绿色健康”享誉全国,深受广大消费者喜爱.已知2件豆笋和3件豆干进货价共240元,3件豆笋和4件豆干进货价共340元.
(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价;
(2)某特产店计划用不超过10 440元购进豆笋、豆干共200件,且豆笋的数量不低于豆干数量的,该特产店有哪几种进货方案
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元,每件豆干售价为55元,在(2)的条件下,怎样进货可使该特产店获得的利润最大 最大利润为多少元
能力提升全练
22.【跨学科·物理】(2023山西中考,6,★☆☆)一种弹簧秤最大能称10 kg的物体,不挂物体时弹簧的长度为12 cm,每挂重1 kg的物体,弹簧伸长0.5 cm.在弹性限度内,挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为( )
A.y=12-0.5x
B.y=12+0.5x
C.y=10+0.5x
D.y=0.5x
23.【新考法】(2023山东聊城中考,10,★★☆)甲、乙两地相距a千米,小亮8:00乘慢车从甲地去乙地,10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地.两人分别距甲地的距离y(千米)与两人行驶时刻t时(×时×分)的函数图象如图所示,则小亮与小莹相遇的时刻为( )
A.8:28 B.8:30 C.8:32 D.8:35
24.【数形结合思想】(2023河南南阳新野期中,7,★★☆)下图是甲、乙两家商店销售同一种产品的售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象,下列说法:①售2件时,甲、乙两家售价一样;②买1件时,买乙家的合算;③买3件时,买甲家的合算;④在乙家买1件需3元,其中正确的是( )
A.①② B.②③④
C.②③ D.①②③
25.【一题多解】(2023四川巴中中考,23,★★☆)如图,正比例函数y=kx(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于A、B两点,已知点A的横坐标为-4,点B的纵坐标为-6.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)观察图象,直接写出不等式kx<的解集;
(3)将直线AB向上平移n个单位,交双曲线于C、D两点,交坐标轴于E、F两点,连结OD、BD,若△OBD的面积为20,求直线CD的表达式.
26.(2023湖北宜昌中考,18,★★☆)某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度.小聪想用刻度不超过100 ℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度.在老师的指导下,他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热,并每隔10 s测量一次锅中油温,得到的数据记录如下:
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
(1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点.经老师介绍,在这种食用油达到沸点前,锅中油温y(单位:℃)与加热的时间t(单位:s)符合初中学习过的某种函数关系,填空:可能是 函数关系(请选填“正比例”“一次”“反比例”);
(2)根据以上判断,求y关于t的函数解析式;
(3)当加热110 s时,油沸腾了,请推算其沸点的温度.
27.(2023四川成都中考,24,★★☆)2023年7月28日至8月8日,第31届世界大学生夏季运动会在成都举行.“当好东道主,热情迎嘉宾”,成都某知名小吃店计划购买A,B两种食材制作小吃.已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元,购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元.
(1)求A,B两种食材的价格;
(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克,其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍,当A,B两种食材分别购买多少千克时,总费用最少 并求出最少总费用.
素养探究全练
28.【模型观念】(2022河南洛阳嵩县期中)探究函数性质时,我们经历了列表、描点、连线画出函数图象,观察分析图象特征,概括函数性质的过程.结合已有的学习经验,请画出函数y=的图象并探究该函数的性质.
(1)绘制函数图象.
①列表:下表是x与y的几组对应值,其中a= ;
x … -2 - -1 - 0 1 2 …
y … 1 a 1 …
②描点:根据表中的数值在图中描点(x,y),如下,请描出点(0,a);
③连线:用平滑的曲线顺次连结各点,请画出函数图象.
(2)探究函数性质.
请写出函数y=的两条性质:① ;② .
(3)运用函数图象及性质.
根据函数图象,写出不等式≥1的解集是 .
答案全解全析
1.D ∵二元一次方程组的解为∴直线l1:y=x+5与直线l2:y=-x-1的交点坐标为(-4,1).故选D.
2.D 设过(0,2),(2,0)的直线解析式为y=kx+b(k≠0),将(0,2),(2,0)代入,得解得∴直线解析式为y=-x+2.
设过(0,-1),(1,1)的直线解析式为y=mx+n(m≠0),
将(0,-1),(1,1)代入,得解得
∴直线解析式为y=2x-1,
∴所解的二元一次方程组是故选D.
3.答案
解析 ∵直线y=kx+b与y=mx+n相交于点M(2,4),
∴关于x,y的方程组的解是
4.答案 8
解析 如图,作AH⊥x轴于H,
∵关于x,y的方程组的解为
∴OH=4,
∵AB=AO,∴BH=OH=OB=4,∴BO=8.
5.解析 (1)根据题图得,方程组的解为
(2)将(2,-1),(0,-4)代入y=k2x+b2,得解得
∴直线l2的函数解析式为y=1.5x-4.
6.A 一元一次方程ax+2=0的解 一次函数y=ax+2的图象与x轴交点的横坐标.故选A.
7.C ∵直线y=x+4和直线y=ax+b相交于点P(16,20),∴方程x+4=ax+b的解为x=16,故选C.
8.解析 (1)x=1.
(2)根据表格知当x=-1时,y=0;当x=0时,y=2,
∴解得
∴一次函数的表达式为y=2x+2.
当y=16时,2x+2=16,解得x=7.
∴方程ax+b=16的解是x=7.
9.A 观察图象得到当x>-2时,直线y1=kx+6在直线y2=mx-2的上方,所以关于x的不等式kx+6>mx-2的解集为x>-2.故选A.
10.B ∵-kx-b>0,∴kx+b<0,由题图可知当x<-2时,y<0,即kx+b<0,即-kx-b>0,所以不等式-kx-b>0的解集为x<-2.故选B.
11.A ∵当x>-4时,y=x+b>0,当x<2时,y=kx+4>0,
∴的解集为-4
∵直线y=-x与直线y=kx+b(k>0)交于点A(-4,1),∴kx+b>-x时,x的取值范围是x>-4,故选D.
13.答案 x<-1
解析 由题图可知当x<-1时,y>3,即kx+b>3,所以不等式kx+b>3的解集为x<-1.
14.答案 -2
(2)因为当x=2时,y=0,所以方程-2x+4=0的解是x=2.由图象可得当x<1时,y>2.由图象可得当-4≤y≤0时,2≤x≤4.
16.解析 (1)把A(-1,2)代入y=,得2=,
∴k=-2,∴反比例函数的解析式为y=-.
(2)易知点B的坐标为(1,-2).∵点A(-1,2)与点C关于y轴对称,∴点C的坐标为(1,2).由点A,B,C的坐标可知AC∥x轴,BC∥y轴,∴AC⊥BC,∴S△ABC=AC·BC=×2×4=4.
(3)由图象可知,不等式
∴点A的坐标为(1,-3).
(2)当y1=0时,-x-2=0,解得x=-2,∴B(-2,0),当y2=0时,x-4=0,解得x=4,∴C(4,0),∴CB=6,∴△ABC的面积为×6×3=9.
(3)由图象可得y1≥y2时,x的取值范围是x≤1.
18.D ∵电流I与电阻R是反比例函数关系,且R、I均大于0,∴反映电流I与电阻R之间函数关系的大致图象是D选项,故选D.
19.答案 ≤y≤8
解析 设当0≤x≤3时,y与x之间的函数关系式为y=kx(k≠0),把(3,8)代入,得8=3k,解得k=,∴当0≤x≤3时,y与x之间的函数关系式为y=x.
设当3
∴当1≤x≤6时,y的取值范围是≤y≤8.
20.解析 (1)根据题意得y1=300+6x,y2=7.5x.
(2)选择方案一较为合算.理由:当x=380时,y1=300+6×380=2 580(元),
y2=7.5×380=2 850(元),
∵2 580<2 850,
∴选择方案一较为合算.
21.解析 (1)设每件豆笋的进价为x元,每件豆干的进价为y元,
由题意得解得
∴每件豆笋的进价为60元,每件豆干的进价为40元.
(2)设购进豆笋a件,则购进豆干(200-a)件,
由题意可得
解得120≤a≤122,且a为整数,
∴该特产店有以下三种进货方案:
当a=120时,200-a=80,即购进豆笋120件,购进豆干80件;
当a=121时,200-a=79,即购进豆笋121件,购进豆干79件;
当a=122时,200-a=78,即购进豆笋122件,购进豆干78件.
(3)设总利润为w元,同时根据(2)中所设,
得w=(80-60)·a+(55-40)·(200-a)=5a+3 000,
∵5>0,∴w随a的增大而增大,
∴当a=122时,w取得最大值,最大值为5×122+3 000=3 610,
∴购进豆笋122件,购进豆干78件可使该特产店获得的利润最大,最大利润为3 610元.
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22.B 根据不挂物体时弹簧的长度为12 cm,每挂重1 kg的物体,弹簧伸长0.5 cm,可得在弹性限度内,y=12+0.5x(0
观察题图得小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是小时、小时,∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时、2a千米/时,
由题意得ax+2a=a,解得x=,小时=28分钟,∴小亮与小莹相遇的时刻为8:28.故选A.
24.D 分析题意和图象可知①售2件时,甲、乙两家售价一样,都是4元,故①正确;②买1件时,买乙家的合算,故②正确;③买3件时,买甲家的合算,故③正确;④在乙家买1件需要2元,故④错误.所以正确的是①②③.故选D.
25.解析 (1)∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于A、B两点,
∴A、B关于原点对称,
∵点A的横坐标为-4,点B的纵坐标为-6,
∴A(-4,6),B(4,-6),
∵点A(-4,6)在反比例函数y=(m≠0)的图象上,∴6=,∴m=-24,
∴反比例函数的表达式为y=-.
(2)不等式kx<的解集为-4
详解:观察函数图象,可知当-4
∴不等式kx<的解集为-4
(3)解法一(求E点坐标):如图1,连结BE,作BG⊥y轴于点G,
∵A(-4,6)在直线y=kx上,∴6=-4k,解得k=-,
∴直线AB的表达式为y=-x,
∵CD∥AB,∴S△OBE=S△OBD=20,
∵B(4,-6),∴BG=4,∴S△OBE=OE·BG=2OE=20,
∴OE=10,∴E(0,10),∴直线CD的表达式为y=-x+10.
解法二(求F点坐标):如图2,连结BF,作BH⊥x轴于H,
∵A(-4,6)在直线y=kx上,∴6=-4k,解得k=-,
∴直线AB的表达式为y=-x,
∵CD∥AB,∴S△OBF=S△OBD=20,
∵B(4,-6),∴OF·6=20,∴OF=,∴F,
设直线CD的表达式为y=-x+b,
∵F在直线CD上,∴-×+b=0,
解得b=10,∴直线CD的表达式为y=-x+10.
26.解析 (1)一次.
(2)设锅中油温y与加热的时间t的函数解析式为y=kt+b(k≠0),
将(0,10),(10,30)代入,得解得∴y=2t+10.
(3)当t=110时,y=2×110+10=230,
∴经过推算,该油的沸点温度是230 ℃.
27.解析 (1)设A种食材的价格为x元/千克,B种食材的价格为y元/千克,由题意得
解得
∴A种食材的价格是38元/千克,B种食材的价格是30元/千克.
(2)设A种食材购买m千克,则B种食材购买(36-m)千克,设总费用为w元,由题意得w=38m+30(36-m)=8m+1 080,
∵m≥2(36-m),m≤36,∴24≤m≤36,∵8>0,∴w随m的增大而增大,∴当m=24时,w有最小值,最小值为8×24+1 080=1 272,
∴A种食材购买24千克,B种食材购买12千克时,总费用最少,最少总费用为1 272元.
素养探究全练
28.解析 (1)①2.②描点如图.③连线,画出函数图象如图.
(2)①函数y=的图象关于y轴对称.
②函数y=有最大值,最大值为2.(答案不唯一)
(3)不等式≥1的解集是-1≤x≤1.
