第16章 分式
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
基础过关全练
知识点1 分式方程的概念
1.(2022河南南阳方城期中)给出下列方程:=1,=2,=,-=1,其中分式方程的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点2 分式方程的解法
2.(2023山西平遥一模)在解分式方程-6=时,在方程两边同乘(x-1),把原方程化为5-6(x-1)=3x,这一变形过程体现的数学思想是( )
A.类比思想 B.函数思想
C.方程思想 D.转化思想
3.(2023四川宜宾二中月考)下面是四位同学解分式方程+=1过程中去分母的一步,其中正确的是( )
A.2+x=x-1 B.2-x=1-x
C.2+x=1-x D.2-x=x-1
4.(2023四川宜宾中考)分式方程=的解为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.(2023四川成都龙泉驿期中)如果关于x的分式方程-=2有增根,那么m的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.4
6.(2023河南南阳邓州期中)分式方程=+1的解是 .
7.【新考向·代数推理】(2023福建泉州安溪期中)小安在解分式方程-=3的过程中出现了错误,其解答过程如下:
解:方程两边同乘(2x-1),得x-2=3,……第一步
解得x=5,……第二步
检验:当x=5时,2x-1≠0,……第三步
∴x=5是原方程的根.……第四步
(1)小安的解答是从第 步开始出错的;
(2)请写出本题正确的解答过程.
8.(2023河南南阳桐柏期中)解下列方程:
(1)=; (2)=-2;
(3)-1=; (4)-=.
9.【新独家原创】已知数轴上A、B两点所表示的数分别是、,且A、B两点之间的距离是3,求点A、点B在数轴上所表示的数.
知识点3 分式方程的应用
10.【方程思想】(2023重庆沙坪坝期中)甲、乙两人每小时一共做35个电器零件,两人同时开始工作,当甲做了120个零件时,乙做了90个零件,设甲每小时能做x个零件,根据题意可列分式方程为( )
A.= B.=
C.= D.=
11.【教材变式·P16练习T3】A市与甲、乙两地的距离分别为400千米和350千米,从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快15千米/时,结果从A市到甲、乙两地所需时间相同,求从A市开往甲地列车所需的时间.
12.【真实情境】(2023湖南岳阳中考)水碧万物生,岳阳龙虾好.龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”.已知翠翠家去年龙虾的总产量是4 800 kg,今年龙虾的总产量是6 000 kg,且去年与今年的养殖面积相同,平均亩产量去年比今年少60 kg,求今年龙虾的平均亩产量.
13.【新独家原创】暑假期间,佳佳乘出租车去图书馆,有两条路线可选:路线一的全程是15千米,但交通比较拥堵;路线二的全程是20千米,平均车速比走路线一时的平均车速提高了80%,因此能比走路线一少用5分钟到达.求走路线一时的平均车速.
14.某玩具生产厂家接到制作3 600个玩具熊的订单,但是在实际制作时,实际每天制作的个数是原计划的n倍,结果提前10天完成.
(1)设实际每天制作玩具熊x个,可得方程-=10,则n= ;
(2)若n=1.5,求实际每天制作玩具熊的个数.
能力提升全练
15.(2022四川遂宁中考,6,★★☆)若关于x的方程=无解,则m的值为( )
A.0 B.4或6 C.6 D.0或4
16.(2020湖北荆门中考,11,★★☆)已知关于x的分式方程=+2的解满足-4
C.零 D.无法确定
17.【转化思想】(2022四川宜宾育才中学期中,21,★★☆)已知关于x的分式方程=与分式方程=的解相同,求m2-2m的值.
18.【新考法】(2022浙江衢州中考,22,★★☆)金师傅近期准备换车,看中了价格相同的两款国产车.
燃油车 油箱容积:40升 油价:9元/升 续航里程:a千米 每千米行驶费用: 元 新能源车 电池电量:60千瓦时 电价:0.6元/千瓦时 续航里程:a千米 每千米行驶费用: 元
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用;
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用.
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.问:每年行驶里程为多少千米时,买新能源车的年费用更低 (年费用=年行驶费用+年其他费用)
19.【真实情境】(2022重庆中考B卷,21,★★☆)为保障蔬菜基地种植用水,需要修建灌溉水渠.
(1)计划修建灌溉水渠600米,甲施工队施工5天后,增加施工人员,每天比原来多修建20米,再施工2天完成任务,求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米;
(2)因基地面积扩大,现还需修建另一条灌溉水渠1 800米,为早日完成任务,决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠,直至完工.甲施工队按(1)中增加人员后的修建速度进行施工.乙施工队修建360米后,通过技术更新,每天比原来多修建20%,灌溉水渠完工时,两施工队修建的长度恰好相同.求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米.
素养探究全练
20.【推理能力】(2022山西临汾月考)先阅读下面的材料,再回答问题.
方程x+=2+的解为x1=2,x2=;
方程x+=3+的解为x1=3,x2=;
方程x+=4+的解为x1=4,x2=;
……
(1)观察上述方程的解,猜想关于x的方程x+=5+的解是 ;
(2)根据上面的规律,猜想关于x的方程x+=a+的解是 ;
(3)根据上述规律,解关于y的方程y+=.
答案全解全析
1.B 分式方程是=2,=,共2个,故选B.
2.D 把分式方程转化为整式方程的过程体现的数学思想是转化思想.故选D.
3.D 方程两边同乘最简公分母(x-1),得2-x=x-1.
4.C 方程两边同乘(x-3),得x-2=2,解得x=4,当x=4时,x-3=4-3=1≠0,∴x=4是原分式方程的解.故选C.
5.B 方程两边同乘(x-3),得m+1=2(x-3),
∴m=2x-7.∵分式方程有增根,∴x-3=0,解得x=3,∴m=2×3-7=-1.故选B.
6.答案 x=
解析 方程两边同乘(x-1)(x-2),得x(x-2)=3(x-1)+(x-1)(x-2),
去括号,得x2-2x=3x-3+x2-3x+2,
整理,得-2x=-1,解得x=,
检验:当x=时,(x-1)(x-2)≠0,所以x=是原分式方程的解.
7.解析 (1)一.
(2)方程两边同乘(2x-1),得x-2=3(2x-1),
解得x=,
检验:当x=时,2x-1≠0,∴x=是原方程的根.
8.解析 (1)=,两边同乘(x+1)(x-3),得5(x-3)=x+1,解得x=4,
检验:将x=4代入(x+1)(x-3)中,得(4+1)×(4-3)=5≠0,∴x=4是原分式方程的解.
(2)=-2,两边同乘(x-4),得3-x=-1-2(x-4),解得x=4,检验:将x=4代入(x-4)中,得4-4=0,则x=4是原分式方程的增根,故原分式方程无解.
(3)-1=,两边同乘(2x-5),得x-(2x-5)=5,解得x=0,
检验:当x=0时,2x-5≠0,∴x=0是原分式方程的解.
(4)-=,两边同乘(x+1)(x-1),得2(x-1)-3(x+1)=5,解得x=-10.
检验:把x=-10代入(x+1)(x-1)中,得-9×(-11)=99≠0.∴x=-10是原分式方程的解.
9.解析 由题意得=3,∴-=±3.
当-=3时,去分母,得-1-(x-1)=3(x-2),解得x=.
经检验,x=是原方程的解.此时点A表示的数是=2,点B表示的数是=-1.
当-=-3时,去分母,得-1-(x-1)=-3(x-2),解得x=3.
经检验,x=3是原方程的解.此时点A表示的数是=-1,点B表示的数是=2.
综上,点A、B在数轴上所表示的数分别是2、-1或-1、2.
10.B ∵甲每小时能做x个零件,∴乙每小时能做(35-x)个零件,根据甲做120个零件与乙做90个零件所用的时间相同,可列方程为=,故选B.
11.解析 设从A市开往甲地列车需x小时,
根据题意可列分式方程为-=15,
解得x=,
经检验,x=是原方程的解,且符合题意.
答:从A市开往甲地列车需小时.
12.解析 设今年龙虾的平均亩产量为x kg,则去年龙虾的平均亩产量为(x-60)kg,
根据题意得=,
解得x=300,
经检验,x=300是所列方程的解,且符合题意.
答:今年龙虾的平均亩产量为300 kg.
13.解析 设走路线一时的平均车速为x千米/时,由题意得-=,解得x=.
经检验,x=是原方程的根,且符合题意.
答:走路线一时的平均车速为千米/时.
14.解析 (1)1.25.详解:解方程-=10,得x=90,
经检验,x=90是原分式方程的解,且符合题意,
∴实际每天制作玩具熊90个,
∴原计划所需天数为+10=50,
∴原计划每天制作玩具熊的个数为=72,
∴n==1.25.
(2)当n=1.5时,设原计划每天制作玩具熊y个,则实际每天制作玩具熊1.5y个,由题意得-=10,
解得y=120.经检验,y=120是原方程的解,且符合题意,则1.5y=1.5×120=180.
答:实际每天制作玩具熊180个.
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15.D =,去分母得2(2x+1)=mx,去括号得4x+2=mx,移项、合并同类项得(4-m)x=-2,∵方程无解,∴4-m=0或x=-=0或x=-=-,
∴m=4或m=0,故选D.
16.A 去分母得(2x+3)(x+3)=k+2(x-2)(x+3),
解得x=-3,
∵-4
解得-7
∴符合条件的所有k值的乘积为正数.故选A.
17.解析 =,两边同乘2x(x-1),得3(x-1)=2x,
解得x=3,
检验:当x=3时,2x(x-1)≠0,
∴x=3是此方程的解.
把x=3代入=,解得m=,
故m2-2m=-2×=-.
18.解析 (1)由表格可得,
新能源车的每千米行驶费用为=(元),
即新能源车的每千米行驶费用为元.
(2)①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元,
∴-=0.54,解得a=600,
经检验,a=600是原分式方程的解,
∴=0.6,=0.06.
答:燃油车的每千米行驶费用为0.6元,新能源车的每千米行驶费用为0.06元.
②设每年行驶里程为x千米,
由题意得0.6x+4 800>0.06x+7 500,
解得x>5 000.
答:当每年行驶里程大于5 000千米时,买新能源车的年费用更低.
19.解析 (1)设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米,则原来每天修建灌溉水渠(x-20)米,
由题意可得,5(x-20)+2x=600,
解得x=100.
答:甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米.
(2)设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米,
则乙施工队技术更新后每天修建灌溉水渠(1+20%)m=1.2m米,由题意可得,+=,
解得m=90,
经检验,m=90是原分式方程的解,且符合题意.
答:乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米.
素养探究全练
20.解析 (1)x1=5,x2=.(2)x1=a,x2=.
(3)方程变形为y+1+=3+,
∴y+1=3或y+1=,
解得y=2或y=-.
