六年级数学上册典型例题系列之
第三单元工程问题部分（原卷版）
编者的话：
《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
本专题是第三单元工程问题部分。本部分内容以工程问题为主，主要包括工程问题的基础类型题及常见考法，也包括较复杂的合作问题和复杂的请假问题，考点和题型划分较多，建议根据学生掌握情况选择性进行讲解，一共划分为十四个考点，欢迎使用。
【知识总览】
1. 工程问题的意义：
工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等，有时也包括行路、水管注水等。
工程问题的特征：
（1）工作总量：
工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”，因为在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
（2）工作效率：
工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时间可以是天、也可以是时、分、秒等。
3. 工程问题的解法：
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
4.工程问题基本数量关系：
①工作效率×工作时间=工作总量
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
【考点一】工程问题基础题型。
【方法点拨】
工程问题的基础题型主要是根据工作总量、工作时间、工作效率三者之间基本数量关系列出算式进行解决的。
【典型例题1】
一项工程，甲队需要20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？
【典型例题2】
一项工程，甲队的工作效率是，甲队完成这项工程需要几天？
【对应练习1】
乙队完成一项工程的需要12天，求乙队的工作效率。
【对应练习2】
乙队的工作效率是，乙队完成这项工程的需要多少天？
【对应练习3】
一项工程，甲队的工作效率是，甲队工作5天可以完成这项工程的几分之几？工作9天可以完成这项工程的几分之几？
【对应练习4】
砌一道墙，甲单独7小时完成，这道墙已由别人砌了，还要多少小时能完成？
【考点二】求合作效率。
【方法点拨】
合作效率=工作效率1+工作效率2。
【典型例题】
一项工作，甲单独做12天完成，乙单独做20天完成。
（1）甲的工作效率是几分之几？乙的工作效率是几分之几？
（2）甲、乙合做1天完成全工程的几分之几？
（3）甲、乙合作3天完成完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？
【对应练习1】
一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。
（1）甲队每天完成这项工程的，乙队每天完成这项工程的。
（2）甲乙两队合作，每天完成这项工程的。
（3）甲乙合作4天后，还剩下这项工程的没有完成。
【对应练习2】
一项工程，甲单独做完需要20天，乙单独做完需要10天。问：
甲的工作效率是几分之几？
乙的工作效率是几分之几？
甲、乙的工作效率和是几分之几？
【对应练习3】
一项工程，甲乙合作需要12天完成，甲单独做需要36天完成，那么：
甲的工作效率是多少？
甲乙合作的工作效率是多少？
乙的工作效率是多少？
【考点三】工作总量是单位“1”，求合作时间。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2。
合作时间=工作总量÷合作效率。
【典型例题】
甲乙两个工程队合修一段公路，甲队单独修6天完成，乙队单独修8天完成，两队合修几天完成？
【对应练习1】
修完一段路，甲修路队单独修要12小时完成，乙修路队单独修要8小时完成。若两队合修要几小时完成？
【对应练习2】
修一条水渠，甲队单独修20天完成，乙队单独修15天完成，两队合修多少天可以完成任务？
【对应练习3】
一批校服，甲车间单独生产需要12天完成，乙车间单独生产需要15天，现在两个车间同时合作生产，需要多少天能完成？
【对应练习4】
生产一批零件，甲单独做需要15天，乙单独做需要12天，丙单独做需要10天，如果甲、乙、丙三人合做，多少天可以完成？
【考点四】已知工作总量，求合作时间。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2。
合作时间=工作总量÷合作效率。
【典型例题】
一批零件，王师傅单独做要4小时完成，李师傅单独做要6小时完成。
【对应练习1】
幸福村要修一条公路，甲队单独修要18天，乙队单独修要12天，两队合修，几天能完成这条公路的？
【对应练习2】
一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要18天。甲乙合作，几天可以完成总工程的呢？
【对应练习3】
加工1800个零件，师傅单独加工需要10天，徒弟单独加工需要15天。师徒两人合作加工几天可以完成这批零件的？
【考点五】先求工作效率，再求合作时间。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2。
合作时间=工作总量÷合作效率。
【典型例题】
一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做5天能完成全部工程的。现由两队合作，多少天可以完成？
【对应练习1】
一项工程，甲单独做12天可以完成，乙单独做5天可以完成这项工程的，现在两人合作，几天可以完成？
【对应练习2】
有一批杂志需要装订，小姜9天可以装订，小刘35天可以装订，小姜和小刘合作，几天可以完成这批任务？
【对应练习3】
一项工程，甲单独做12天完成，乙的工作效率是甲的，甲乙合做，多少天完成？
【考点六】较复杂的求合作时间问题。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2。
合作时间=工作总量÷合作效率。
【典型例题】
一项工程，甲、乙合作需要6天可以完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成。现在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？
【对应练习1】
甲、乙、丙承包一项工程，共发工资14400元。三人完成工程的情况是：甲、乙合作6天完成工程的，乙、丙合作2天完成余下工程的，最后甲、乙、丙三人又合作5天完成工程。按各人完成的工作量来付酬金，问：每人各应得多少元？
【对应练习2】
如果用甲、乙、丙三根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管，1小时20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分钟可以灌满。那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池需要多少小时？
【对应练习3】
甲乙丙三队合做一项工程。甲乙合做要10天完成，乙丙合做12天完成，甲丙合做15天完成。现在先由甲乙丙三队合做3天后，余下的由甲队单独完成，甲队还要多少天？
【考点七】已知合作时间，求单量单独完成时间。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2。
合作时间=工作总量÷合作效率。
【典型例题】
一项工程，甲乙两队一起做需要10天，乙队单独做需要15天，如果甲队单独做，多少天可以完成这项工程？
【对应练习1】
加工一批零件，师徒两人一起加工要10天完成，由师傅一个人单独加工要15天完成，若由徒弟单独加工几天完成？
【对应练习2】
一袋米，甲、乙、丙三人一起吃，8天可以吃完；甲一人吃，24天可以吃完；乙一人吃，36天可以吃完，丙一人吃，多少天可以吃完？
【对应练习3】
某工程甲、乙、丙三个队合做4天完成，甲队单独做8天完成，乙队单独做12天完成，丙队单独做需要多少天？
【考点八】先由一人单独完成，再由另一人单独完成。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2
合作时间=工作总量÷合作效率
【典型例题1】
生产一批玩具，一车间单独生产要12天完成，二车间单独生产要15天完成。一车间生产4天后，剩下的由二车间接着完成，还要几天可以完成？
【典型例题2】
一项工程，甲队单独做15天可以完成，甲队做了10天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做完需要6天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？
【对应练习1】
加工一批零件，甲单独做要9天完成，乙单独做要6天完成。现在由甲独做3天后，甲有事离开，剩下的零件由乙独做多少天才能完成？
【对应练习2】
建设美丽乡村，要修建一条乡村公路。这项工程，甲队独修要6天完成，乙队独修要9天完成。现由甲队先修2天后，剩下的由乙队独修，乙队还要修几天完成？
【对应练习3】
一项工程，甲队单独做要5小时，乙队单独做要6小时。甲队先做了3小时，然后由乙队去做，还要几小时才能完成？
【考点九】先合作完成，再单独完成。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2。
合作时间=工作总量÷合作效率。
【典型例题1】
一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。甲、乙两队合作2天后，剩下的工程由乙队单独做还需要多少天完成？
【对应练习1】
修一条路，甲队独修12天完成，乙队独修15天完成，两队合作3天后，甲队因有事提前撤走，乙队单独完成这项工作还要多少天？
【对应练习2】
一项工程，甲队单独做需要8天完成，乙队单独做需要10天完成，现在先由甲、乙两队合做2天，再由乙队单独做还需要几天就可以完成这项工程？
【对应练习3】
一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要15天完成，丙队单独做需要20天完成，现在先由甲、乙两队合做2天，剩下的由丙队单独完成，还需多少天？
【典型例题2】
甲、乙两个工程队合作一项工程，甲队单独做需要15天完成，甲、乙合作需要10天完成。如果乙队单独做这项工程，需要几天完成？
【对应练习1】
一项工程，甲队独做15天完成，乙队独做12天完成。现在甲、乙合作4天后，剩下的工程由丙队8 天完成。如果这项工程由丙队独做，需几天完成？
【对应练习2】
一项工程，甲乙两队合做30天完成，现在甲队单独做24天后乙队加入，两队合做了12天后，这时甲队调走，乙队继续做15天才完成这项工程。甲队单独做这项工程需要多少天？
【对应练习3】
一项工程，由甲单独做30天完成，这项工程先由甲乙两队合做8天，余下的甲队10天完成，那么乙单独做这项工程需要多少天完成？
【考点十】先单独完成，再合作完成。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2
合作时间=工作总量÷合作效率
【典型例题1】
一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，甲队从先做了这项工程的后，乙队加入。两队合作完成剩下的工程，还要多少天？
【典型例题2】
运一批货物，甲车需要8小时可以运完，乙车需要12小时可以运完，甲车先运了3小时，然后甲、乙两车同时运，还需几小时才能运完？
【对应练习1】
某市政府决定对某老旧小区进行改造。改造工程由甲队单独做15天完成，乙队单独做12天完成。现乙队单独做3天后，剩下的工程由甲、乙两队合作完成。甲、乙两队还要合作几天可以完成改造工程？
【对应练习2】
修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天。
【对应练习3】
一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做12天完成，如果乙先做3天后，再由两人合作，还需要多少天完成全部工程？
【对应练习4】
修一条公路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。现先由甲队修2天，余下的两队合修，修完这条路甲队一共修了多少天？
【考点十一】请假问题其一。
【方法点拨】
合作效率=各单位量工作效率之和
工效和×合作时间=工作总量
工作总量÷工效和=合作时间
工作总量÷合作时间=工效和
【典型例题】
一条公路，甲队单独修24天完成，乙队单独修30天完成，现在甲乙两队合修若干天后，乙队因另有任务调离，甲队继续修了6天才完成任务，求乙队修了几天？
【对应练习1】
一项工程，甲队单独做8天完成，乙队单独完成比甲队多用4天，现在甲乙合作几天后，乙另有任务调走，甲又干做3天才完成任务，求乙队工作了几天？
【考点十二】请假问题其二。
【方法点拨】
合作效率=各单位量工作效率之和
工效和×合作时间=工作总量
工作总量÷工效和=合作时间
工作总量÷合作时间=工效和
【典型例题】
一项工程，单独做甲队用20天，乙队用30天。甲乙两队合做若干天后，乙队因事调走，甲队继续工作，从开工到完成一共用了14天，求乙队调走了几天？
【对应练习1】
一项工程，甲队单独做40天完成，乙队单独做60天完成，甲、乙两队合作几天后，甲队另有任务调走几天，乙继续做，那么从开工到完成任务共用了27天，问甲队请假多少天？
【对应练习2】
一件工作，甲独做需10天，乙需15天，丙需20天，现由三人合作，中途甲因事停工几天，结果6天将工程完成。问：甲停工几天？
【对应练习3】
为创建全国文明城市，海安市政府准备对某工程进行改造。若请甲工程队单独做要10天完成，乙工程队单独做要15天完成，开始两个工程队一起干，因工作需要甲工程队中途调走，结果乙工程队一共用了9天完成。
（1）甲工程队中途调走了几天？
（2）市政府付给工程队的费用按照工作效率支付，若支付给甲工程队每天的费用为3000元，那么完成此项工程市政府实际支付给甲、乙两个工程队共多少元？
【对应练习4】
一项工程甲队单独做15天可以完成，乙队单独做10天可以完成。现在开始两队合作，但中间乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了9天，乙队比甲队少工作了多少天？
【考点十三】请假问题其三。
【方法点拨】
合作效率=各单位量工作效率之和
工效和×合作时间=工作总量
工作总量÷工效和=合作时间
工作总量÷合作时间=工效和
【典型例题】
一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成，这项工作先由甲做了若干天，再由乙继续做完，从开始到完工共用了14天，甲做了几天？
【对应练习1】
单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天，若甲先单独做若干天后，再有乙单独完成，则一共用了26天完成工作。问甲做了多少天？
【对应练习2】
一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？
【对应练习3】
修一条公路，甲队单独10天修完，乙队单独12天修完，丙队单独15天修完，现在三队合修，但中途甲队撤离到其他工地，结果一共用了6天把这条公路修完，修这条公路甲队工作了几天？
【对应练习4】
一项工作小红单独做需要5小时完成，小东单独做需要10小时完成。现在他们两人一起做，期间小红休息了2小时，小东没有休息。完成这项工作总共需要多少小时？
【考点十四】复杂的工程问题。
【方法点拨】
合作效率=各单位量工作效率之和
工效和×合作时间=工作总量
工作总量÷工效和=合作时间
工作总量÷合作时间=工效和
【典型例题】
加工一批玩具，甲单独做需要7天完成。乙单独做需要8天完成，现在两人合作，完成任务时甲比乙多做20个。这批玩具一共多少个？
【对应练习1】
甲、乙两个工程队合修一条水渠，如果甲队单独修6天完成，乙队单独修8天完成，已知甲队每天比乙队多修30米，这条水渠全长多少米？
【对应练习2】
加工一批零件，单独加工，师傅需要15天，徒弟需要18天。现在由师徒二人合作完成，完成任务时，师傅比徒弟多加工20个。这批零件一共有多少个？
【对应练习3】
加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后由乙再做12天，正好完成这批零件的。已知甲每天比乙多加工5个零件。这批零件一共有多少个？六年级数学上册典型例题系列之
第三单元工程问题部分（解析版）
编者的话：
《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
本专题是第三单元工程问题部分。本部分内容以工程问题为主，主要包括工程问题的基础类型题及常见考法，也包括较复杂的合作问题和复杂的请假问题，考点和题型划分较多，建议根据学生掌握情况选择性进行讲解，一共划分为十四个考点，欢迎使用。
【知识总览】
1. 工程问题的意义：
工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等，有时也包括行路、水管注水等。
工程问题的特征：
（1）工作总量：
工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”，因为在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
（2）工作效率：
工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时间可以是天、也可以是时、分、秒等。
3. 工程问题的解法：
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
4.工程问题基本数量关系：
①工作效率×工作时间=工作总量
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
【考点一】工程问题基础题型。
【方法点拨】
工程问题的基础题型主要是根据工作总量、工作时间、工作效率三者之间基本数量关系列出算式进行解决的。
【典型例题1】
一项工程，甲队需要20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？
解析：直接利用公式：工作效率=工作总量÷工作时间列式计算。
1÷20=
答：略。
【典型例题2】
一项工程，甲队的工作效率是，甲队完成这项工程需要几天？
解析：直接利用公式：工作时间=工作总量÷工作效率列式计算。
1÷=10（天）
答：略。
【对应练习1】
乙队完成一项工程的需要12天，求乙队的工作效率。
解析：÷12=
答：略。
【对应练习2】
乙队的工作效率是，乙队完成这项工程的需要多少天？
解析：÷=12（天）
答：略。
【对应练习3】
一项工程，甲队的工作效率是，甲队工作5天可以完成这项工程的几分之几？工作9天可以完成这项工程的几分之几？
解析：①×5=
②×9==
答：略。
【对应练习4】
砌一道墙，甲单独7小时完成，这道墙已由别人砌了，还要多少小时能完成？
解析：（1-）÷=（小时）
答：略。
【考点二】求合作效率。
【方法点拨】
合作效率=工作效率1+工作效率2。
【典型例题】
一项工作，甲单独做12天完成，乙单独做20天完成。
（1）甲的工作效率是几分之几？乙的工作效率是几分之几？
解析：1÷12=；1÷20=
答：略。
（2）甲、乙合做1天完成全工程的几分之几？
解析：+=
答：略。
（3）甲、乙合作3天完成完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？
解析：3×=；1-=
答：略。
【对应练习1】
一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。
（1）甲队每天完成这项工程的，乙队每天完成这项工程的。
解析：；
（2）甲乙两队合作，每天完成这项工程的。
解析：+=
（3）甲乙合作4天后，还剩下这项工程的没有完成。
解析：1-×4=
【对应练习2】
一项工程，甲单独做完需要20天，乙单独做完需要10天。问：
甲的工作效率是几分之几？
解析：1÷20=
乙的工作效率是几分之几？
解析：1÷10=
甲、乙的工作效率和是几分之几？
解析：+=
【对应练习3】
一项工程，甲乙合作需要12天完成，甲单独做需要36天完成，那么：
甲的工作效率是多少？
解析：
甲的工作效率：1÷36=
甲乙合作的工作效率是多少？
解析：
合作效率：1÷12=
乙的工作效率是多少？
解析：-=
【考点三】工作总量是单位“1”，求合作时间。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2。
合作时间=工作总量÷合作效率。
【典型例题】
甲乙两个工程队合修一段公路，甲队单独修6天完成，乙队单独修8天完成，两队合修几天完成？
解析：
1÷（＋）
＝1÷
＝（天）
答：两队合修天完成。
【对应练习1】
修完一段路，甲修路队单独修要12小时完成，乙修路队单独修要8小时完成。若两队合修要几小时完成？
解析：
1÷（＋）
＝1÷
＝（小时）
答：两人合修需要小时。
【对应练习2】
修一条水渠，甲队单独修20天完成，乙队单独修15天完成，两队合修多少天可以完成任务？
解析：
1÷（＋）
＝1÷
＝（天）
答：两队合修天可以完成任务。
【对应练习3】
一批校服，甲车间单独生产需要12天完成，乙车间单独生产需要15天，现在两个车间同时合作生产，需要多少天能完成？
解析：
1÷（＋）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝（天）
答：需要天能完成。
【对应练习4】
生产一批零件，甲单独做需要15天，乙单独做需要12天，丙单独做需要10天，如果甲、乙、丙三人合做，多少天可以完成？
解析：1÷（）=4（天）
答：略。
【考点四】已知工作总量，求合作时间。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2。
合作时间=工作总量÷合作效率。
【典型例题】
一批零件，王师傅单独做要4小时完成，李师傅单独做要6小时完成。
解析：
1÷4＝
1÷6＝
÷（＋）
＝÷
＝1.8（小时）
答：两人合作，1.8小时能加工完成这批零件的。
【对应练习1】
幸福村要修一条公路，甲队单独修要18天，乙队单独修要12天，两队合修，几天能完成这条公路的？
解析：
÷（＋）
＝÷
＝6（天）
答：两队合修，6天能完成这条公路的。
【对应练习2】
一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要18天。甲乙合作，几天可以完成总工程的呢？
解析：
÷（＋）
＝÷
＝（天）
答：甲乙合作，天可以完成总工程的。
【对应练习3】
加工1800个零件，师傅单独加工需要10天，徒弟单独加工需要15天。师徒两人合作加工几天可以完成这批零件的？
解析：
1÷10＝
1÷15＝
÷（＋）
＝÷
＝4（天）
答：师徒两人合作加工4天可以完成这批零件的。
【考点五】先求工作效率，再求合作时间。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2。
合作时间=工作总量÷合作效率。
【典型例题】
一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做5天能完成全部工程的。现由两队合作，多少天可以完成？
解析：
1÷（＋÷5）
＝1÷（＋×）
＝1÷（＋）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝12（天）
答：12天可以完成。
【对应练习1】
一项工程，甲单独做12天可以完成，乙单独做5天可以完成这项工程的，现在两人合作，几天可以完成？
解析：乙效：÷5=
合作时间：1÷（）=（天）
答：略。
【对应练习2】
有一批杂志需要装订，小姜9天可以装订，小刘35天可以装订，小姜和小刘合作，几天可以完成这批任务？
解析：小姜效率：÷9=
小刘效率：÷35=
合作时间：1÷（+）=14.7（天）
答：略。
【对应练习3】
一项工程，甲单独做12天完成，乙的工作效率是甲的，甲乙合做，多少天完成？
解析：
＝
＝
＝（天）
答：天完成。
【考点六】较复杂的求合作时间问题。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2。
合作时间=工作总量÷合作效率。
【典型例题】
一项工程，甲、乙合作需要6天可以完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成。现在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？
解析：
甲、乙的工作效率：1÷6＝
乙、丙的工作效率：1÷9＝
甲、丙的工作效率：1÷15＝
1÷[（）÷2]
＝1÷[（）÷2]
＝1÷[÷2]
＝1÷
＝（天）
答：现在甲、乙、丙三人合作需要天完成。
【对应练习1】
甲、乙、丙承包一项工程，共发工资14400元。三人完成工程的情况是：甲、乙合作6天完成工程的，乙、丙合作2天完成余下工程的，最后甲、乙、丙三人又合作5天完成工程。按各人完成的工作量来付酬金，问：每人各应得多少元？
解析：
甲、乙合作工作效率：÷6＝
乙、丙合作工作效率：
甲、乙、丙合作工作效率：
甲的工作效率：
乙的工作效率：
丙的工作效率：
甲得工资：14400××（6＋5）＝2640（元）
乙得工资：14400××（6＋2＋5）＝7280（元）
丙得工资：14400××（2＋5）＝4480（元）
答：甲得工资2640元，乙得工资7280元，丙得工资4480元。
【对应练习2】
如果用甲、乙、丙三根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管，1小时20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分钟可以灌满。那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池需要多少小时？
解析：
1小时20分钟＝小时；
1小时15分钟＝小时；
1÷（1÷＋1÷－1）
＝1÷
＝（小时）；
答：用乙管单独灌水的话，灌满这一池需要小时。
【对应练习3】
甲乙丙三队合做一项工程。甲乙合做要10天完成，乙丙合做12天完成，甲丙合做15天完成。现在先由甲乙丙三队合做3天后，余下的由甲队单独完成，甲队还要多少天？
解析：
（＋＋）÷2＝
－＝
（1－×3）÷
＝（1－）×24
＝×24
＝15（天）
答：甲队还要15天。
【考点七】已知合作时间，求单量单独完成时间。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2。
合作时间=工作总量÷合作效率。
【典型例题】
一项工程，甲乙两队一起做需要10天，乙队单独做需要15天，如果甲队单独做，多少天可以完成这项工程？
解析：
1÷（－）
＝1÷
＝30（天）
答：30天可以完成这项工程。
【对应练习1】
加工一批零件，师徒两人一起加工要10天完成，由师傅一个人单独加工要15天完成，若由徒弟单独加工几天完成？
解析：
1÷（－）
＝1÷
＝30（天）
答：徒弟单独加工30天完成。
【对应练习2】
一袋米，甲、乙、丙三人一起吃，8天可以吃完；甲一人吃，24天可以吃完；乙一人吃，36天可以吃完，丙一人吃，多少天可以吃完？
解析：1÷（）=18（天）
答：略。
【对应练习3】
某工程甲、乙、丙三个队合做4天完成，甲队单独做8天完成，乙队单独做12天完成，丙队单独做需要多少天？
解析：1÷（）=24（天）
答：略。
【考点八】先由一人单独完成，再由另一人单独完成。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2
合作时间=工作总量÷合作效率
【典型例题1】
生产一批玩具，一车间单独生产要12天完成，二车间单独生产要15天完成。一车间生产4天后，剩下的由二车间接着完成，还要几天可以完成？
解析：
（1－×4）÷
＝（1－）÷
＝×15
＝10（天）
答：还要10天可以完成。
【典型例题2】
一项工程，甲队单独做15天可以完成，甲队做了10天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做完需要6天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？
解析：
（1－×10）÷6
＝（1－）÷6
＝×
＝
1÷＝18（天）
答：乙队单独完成这项工作需18天。
【对应练习1】
加工一批零件，甲单独做要9天完成，乙单独做要6天完成。现在由甲独做3天后，甲有事离开，剩下的零件由乙独做多少天才能完成？
解析：
（1－×3）÷
＝（1－）÷
＝×6
＝4（天）
答：剩下的零件由乙独做4天才能完成。
【对应练习2】
建设美丽乡村，要修建一条乡村公路。这项工程，甲队独修要6天完成，乙队独修要9天完成。现由甲队先修2天后，剩下的由乙队独修，乙队还要修几天完成？
解析：
＝÷
＝6（天）
答：乙队还要修6天完成。
【对应练习3】
一项工程，甲队单独做要5小时，乙队单独做要6小时。甲队先做了3小时，然后由乙队去做，还要几小时才能完成？
解析：
甲的工作效率为：1÷5＝
乙的工作效率为：1÷6＝
（1－×3）÷
＝÷
＝（小时）
答：还要小时才能完成。
【考点九】先合作完成，再单独完成。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2。
合作时间=工作总量÷合作效率。
【典型例题1】
一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。甲、乙两队合作2天后，剩下的工程由乙队单独做还需要多少天完成？
解析：
[1﹣（＋）×2]÷
＝[1﹣×2]÷
＝（1－）×15
＝×15
＝10（天）
答：剩下的工程由乙队单独做还需要10天完成。
【对应练习1】
修一条路，甲队独修12天完成，乙队独修15天完成，两队合作3天后，甲队因有事提前撤走，乙队单独完成这项工作还要多少天？
解析：
1－（1÷12＋1÷15）×3
＝1－（＋）×3
＝1－
＝
÷＝8.25（天）
答：乙队单独完成这项工作还要8.25天。
【对应练习2】
一项工程，甲队单独做需要8天完成，乙队单独做需要10天完成，现在先由甲、乙两队合做2天，再由乙队单独做还需要几天就可以完成这项工程？
解析：
[1－（＋）×2]÷
＝[1－×2] ÷
＝[1－] ÷
＝÷
＝5.5（天）
答：甲、乙两队合做2天后，乙队单独做还需要5.5天就可以完成这项工程。
【对应练习3】
一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要15天完成，丙队单独做需要20天完成，现在先由甲、乙两队合做2天，剩下的由丙队单独完成，还需多少天？
解析：
（天）
答：剩下的由丙队单独完成，还需14天。
【典型例题2】
甲、乙两个工程队合作一项工程，甲队单独做需要15天完成，甲、乙合作需要10天完成。如果乙队单独做这项工程，需要几天完成？
解析：
甲队的工作效率：1÷15＝
甲、乙的工作效率和：1÷10＝
乙队单独做这项工程，需要的时间：
1÷（－）
＝1÷
＝30（天）
答：如果乙队单独做这项工程，需要30天完成。
【对应练习1】
一项工程，甲队独做15天完成，乙队独做12天完成。现在甲、乙合作4天后，剩下的工程由丙队8 天完成。如果这项工程由丙队独做，需几天完成？
解析：
丙效：[1-4×（）]÷8=
时间：1÷=20（天）
答：略。
【对应练习2】
一项工程，甲乙两队合做30天完成，现在甲队单独做24天后乙队加入，两队合做了12天后，这时甲队调走，乙队继续做15天才完成这项工程。甲队单独做这项工程需要多少天？
解析：
1－×（12＋15）
＝1－
＝
÷（24－15）
＝÷9
＝
1÷＝90（天）
答：甲队单独做这项工程需要90天。
【对应练习3】
一项工程，由甲单独做30天完成，这项工程先由甲乙两队合做8天，余下的甲队10天完成，那么乙单独做这项工程需要多少天完成？
解析：1÷[（1-×8）÷8-]=20（天）
答：略。
【考点十】先单独完成，再合作完成。
【方法点拨】
合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2
合作时间=工作总量÷合作效率
【典型例题1】
一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，甲队从先做了这项工程的后，乙队加入。两队合作完成剩下的工程，还要多少天？
解析：
（天）
答：两队合作完成剩下的工程，还要9天。
【典型例题2】
运一批货物，甲车需要8小时可以运完，乙车需要12小时可以运完，甲车先运了3小时，然后甲、乙两车同时运，还需几小时才能运完？
解析：
甲的工作效率：1÷8＝
乙的工作效率：1÷12＝
（1－3×）÷（＋）
＝÷
＝3（小时）
答：还需3小时才能运完。
【对应练习1】
某市政府决定对某老旧小区进行改造。改造工程由甲队单独做15天完成，乙队单独做12天完成。现乙队单独做3天后，剩下的工程由甲、乙两队合作完成。甲、乙两队还要合作几天可以完成改造工程？
解析：
＝5（天）
答：甲、乙两队还要合作5天可以完成改造工程。
【对应练习2】
修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天。
解析：
1÷16＝
1÷24＝
1－×9
＝1－
＝
÷（＋）
＝×
＝6（天）
答：还要6天才能完成。
【对应练习3】
一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做12天完成，如果乙先做3天后，再由两人合作，还需要多少天完成全部工程？
解析：
（1－×3）÷（＋）
＝（1－）÷
＝÷
＝5（天）
答：还需要5天完成全部工程。
【对应练习4】
修一条公路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。现先由甲队修2天，余下的两队合修，修完这条路甲队一共修了多少天？
解析：
假设工作总量为1
（1－×2）÷（＋）＋2
＝（1－）÷（＋）＋2
＝÷＋2
＝＋2
＝（天）
答：修完这条路甲队一共修了天。
【考点十一】请假问题其一。
【方法点拨】
合作效率=各单位量工作效率之和
工效和×合作时间=工作总量
工作总量÷工效和=合作时间
工作总量÷合作时间=工效和
【典型例题】
一条公路，甲队单独修24天完成，乙队单独修30天完成，现在甲乙两队合修若干天后，乙队因另有任务调离，甲队继续修了6天才完成任务，求乙队修了几天？
解析：
（1-）÷（）=10（天）
答：略。
【对应练习1】
一项工程，甲队单独做8天完成，乙队单独完成比甲队多用4天，现在甲乙合作几天后，乙另有任务调走，甲又干做3天才完成任务，求乙队工作了几天？
解析：
乙队效率：1÷（8+4）=
）÷（）=3（天）
答：略。
【考点十二】请假问题其二。
【方法点拨】
合作效率=各单位量工作效率之和
工效和×合作时间=工作总量
工作总量÷工效和=合作时间
工作总量÷合作时间=工效和
【典型例题】
一项工程，单独做甲队用20天，乙队用30天。甲乙两队合做若干天后，乙队因事调走，甲队继续工作，从开工到完成一共用了14天，求乙队调走了几天？
解析：
（1－×14）÷
＝（1－）÷
＝÷
＝×30
＝9（天）
14－9＝5（天）
答：乙队调走5天。
【对应练习1】
一项工程，甲队单独做40天完成，乙队单独做60天完成，甲、乙两队合作几天后，甲队另有任务调走几天，乙继续做，那么从开工到完成任务共用了27天，问甲队请假多少天？
解析：
27－（1－×27）÷
＝27－（1－）÷
＝27－÷
＝27－22
＝5（天）
答：甲队请假5天。
【对应练习2】
一件工作，甲独做需10天，乙需15天，丙需20天，现由三人合作，中途甲因事停工几天，结果6天将工程完成。问：甲停工几天？
解析：
1－（＋）×6
＝1－×6
＝1－
＝
6－÷
＝6－3
＝3（天）
答：甲停工3天。
【对应练习3】
为创建全国文明城市，海安市政府准备对某工程进行改造。若请甲工程队单独做要10天完成，乙工程队单独做要15天完成，开始两个工程队一起干，因工作需要甲工程队中途调走，结果乙工程队一共用了9天完成。
（1）甲工程队中途调走了几天？
（2）市政府付给工程队的费用按照工作效率支付，若支付给甲工程队每天的费用为3000元，那么完成此项工程市政府实际支付给甲、乙两个工程队共多少元？
解析：
（1）9－（1－×9）÷
＝9－÷
＝9－4
＝5（天）
答：甲工程队中途调走了5天。
（2）3000×（9－5）＋3000××9
＝3000×4＋18000
＝12000＋18000
＝30000（元）
答：实际支付给甲、乙两个工程队共30000元。
【对应练习4】
一项工程甲队单独做15天可以完成，乙队单独做10天可以完成。现在开始两队合作，但中间乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了9天，乙队比甲队少工作了多少天？
解析：
假设这项工程的工作总量为1
9－（1－×9）÷
＝9－（1－）÷
＝9－÷
＝9－4
＝5（天）
答：乙队比甲队少工作了5天。
【考点十三】请假问题其三。
【方法点拨】
合作效率=各单位量工作效率之和
工效和×合作时间=工作总量
工作总量÷工效和=合作时间
工作总量÷合作时间=工效和
【典型例题】
一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成，这项工作先由甲做了若干天，再由乙继续做完，从开始到完工共用了14天，甲做了几天？
解析：假设法解题
假设这14天都是甲单独做的，那么：
那么乙干的天数：
）÷（）=9（天）
那么甲做了：14-9=5（天）
答：略。
【对应练习1】
单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天，若甲先单独做若干天后，再有乙单独完成，则一共用了26天完成工作。问甲做了多少天？
解析：假设这26天都是乙做的。
）÷（）=18（天）
答：略。
【对应练习2】
一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？
解析：
解：设甲先做了x天，乙做了（6－x）天。
x＋×（6－x）＝1
x＋－x＝1
x＝
x＝3
答：甲先做了3天。
【对应练习3】
修一条公路，甲队单独10天修完，乙队单独12天修完，丙队单独15天修完，现在三队合修，但中途甲队撤离到其他工地，结果一共用了6天把这条公路修完，修这条公路甲队工作了几天？
解析：
解：设三队总共修了x天，乙、丙两队总共修了（6－x）天。
（＋＋）x＋（＋）（6－x）＝1
x＋（6－x）＝1
x＋－x＝1
x＝
x＝1；
答：修这条公路甲队工作了1天。
【对应练习4】
一项工作小红单独做需要5小时完成，小东单独做需要10小时完成。现在他们两人一起做，期间小红休息了2小时，小东没有休息。完成这项工作总共需要多少小时？
解析：
解：设小东工作x小时，小红工作（x－2）小时。
x＋×（x－2）＝1
x＋x－＝1
x－＝1
x＝1＋
x＝
x＝÷
x＝
答：完成这项工作总共需要小时。
【考点十四】复杂的工程问题。
【方法点拨】
合作效率=各单位量工作效率之和
工效和×合作时间=工作总量
工作总量÷工效和=合作时间
工作总量÷合作时间=工效和
【典型例题】
加工一批玩具，甲单独做需要7天完成。乙单独做需要8天完成，现在两人合作，完成任务时甲比乙多做20个。这批玩具一共多少个？
解析：
1÷（＋）
＝1÷
＝（天）
×－×
＝
＝
20÷＝300（个）
答：这批玩具一共300个。
【对应练习1】
甲、乙两个工程队合修一条水渠，如果甲队单独修6天完成，乙队单独修8天完成，已知甲队每天比乙队多修30米，这条水渠全长多少米？
解析：
＝
＝720（米）
答：这条水渠全长720米。
【对应练习2】
加工一批零件，单独加工，师傅需要15天，徒弟需要18天。现在由师徒二人合作完成，完成任务时，师傅比徒弟多加工20个。这批零件一共有多少个？
解析：
1÷（＋）
＝1÷
＝（天）
20÷［（－）×］
＝20÷［×］
＝20÷
＝220（个）
答：这批零件一共有220个。
【对应练习3】
加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后由乙再做12天，正好完成这批零件的。已知甲每天比乙多加工5个零件。这批零件一共有多少个？
解析：
甲的工作效率：
乙的工作效率：
这批零件共有：
（个）
答：这批零件共有600个。
