广东省六校联盟2023-2024学年高二上学期12月联考
数学
满分150分，时长120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚。
2.选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.直线被圆所截得的弦长为（ ）
A. B. C.5 D.10
3.已知空间向量，，且与互相平行，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.若椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
7.已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ）
A. B.2 C. D.4
8.阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
10.如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A.椭圆的长轴长为4
B.椭圆的短轴长为2
C.椭圆的离心率为
D.陏圆的一个方程可能为
11.已知点是圆：上的动点，直线：与轴、轴分别交于，两点，则（ ）
A.点到直线的最小距离大于1
B.点到直线的最大距离小于7
C.当最大时，
D.以为直径的圆与圆的公共弦所在直线的方程为
12.如图，平面，，，，，，，则（ ）
A.
B.二面角的余弦值为
C.点到平面的距离为
D.是棱上的动点，则点到的距离的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆：和圆：内切，则______.
14.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______.
15.从点发出的光线，经轴反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的一般式方程为______.
16.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是______；当取得最大值时，椭圆的离心率为______.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知点、.
（1）求线段的垂直平分线的方程；
（2）若点、到直线：的距离相等，求实数的值.
18.（本小题满分12分）
某校对2023年高二上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该校高二上学期期中数学考试成绩的分位数；
（3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，在成绩位于和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
19.（本小题满分12分）
已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，.
（1）用，，表示，并求；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知直线经过点，圆：.
（1）若为圆上任意一点，求的最大值和最小值；
（2）若直线与圆相交于，两点，且的面积为，求直线的方程.
21.（本小题满分12分）
已知四棱雉的底面为直角梯形，，，平面，.
（1）若点是棱上靠近的三等分点，证明：平面；
（2）试探究棱上是否存在一点（不与、重合），使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
如图，已知动圆过点，且与圆：内切于点，记动圆圆心的轨迹为.直线与曲线相交于，两点.
（1）求的方程；
（2）若线段的垂直平分线与轴相交于点，问：在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，说明理由.
广东省六校联盟2023-2024学年高二上学期12月联考
数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A B B D C A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 ACD CD BCD BC
1.D 根据直线方程可知其斜率为，设直线倾斜角为，则，可得.故选D.
2.B 圆即，故圆心为，显然圆心在直线上，故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为，故选B.
3.A 由题意得，，，因为与互相平行，所以，即，解得，.故选A.
4.B 联立，解得，即直线：，：的交点为，又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即，故选B.
5.B 由题意得，，则，在中，由余弦定理可得，所以，故选B.
6.D 设正方体的棱长为1，，，，则，
∵，
∴，
∴向量在向量上的投影向量是，故选D.
7.C 因为直线：和直线：平行，且点到它们的距离相等，所以点在直线：上，当时，点到坐标原点的距离最小，，故选C.
8.A 平面的方程为，∴平面的法向量可取，平面的法向量为，平面的法向量为，设两平面的交线的方向向量为，由，令，则，，所以.设直线与平面所成角的大小为，则，故选A.
9.ACD 若直线过原点，则在两坐标轴上的截距为0，满足题意，此时直线斜率，方程为，即；若直线不过原点，当在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，则，解得，此时方程为；当在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，则，解得，此时方程为.综上，直线的方程为或或，故选ACD.
10.CD 由题意易知椭圆的短半轴长，短轴长为，∵截面与底面所成的角为，∴椭圆的长轴长为，∴，，离心率为，，当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴在轴上，短轴在轴上时，则椭圆的方程为，故选CD.
11.BCD 由已知得圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，直线与圆相交，因此点到直线的最小距离为0，A错误；
点到直线的最大距离为，B正确；
由已知，，当与圆相切时，最大，此时，C正确；
以为直径的圆的方程为，即，圆方程与此方程相减得，即为公共弦所在直线方程，D正确，故选BCD.
12.BC 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，.
，，因为，
则与不垂直，选项A错误；
，，，
设平面的法向量为，
则，即，取.
设平面的法向量为，
则，即，取，
因为二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为，选项B正确；
，平面的法向量为，
则与平面的距离为，选项C正确；
过作，垂足为是棱上的动点，设，
，即.
设，则，，由，得.
所以，
当时，取得最小值，，即点到的距离的最小值为，选项错误.故选.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.8 圆：，圆心，半径为，
圆：，圆心，半径，
因为两圆内切，所以，解得.
14. ，
∵与线段相交，由题意设直线的斜率为，
∴，∴，∴或.
由于在及上均单调递增，
∴直线的倾斜角的范围为.
15. 点关于轴的对称点为，由题可知反射光线所在的直线斜率存在且小于0，设过与圆：相切的直线方程为，由题意得，得，所以或（舍），故反射光线所在直线方程为.
16. 因为点是椭圆内一点，所以，由，可得.易知为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则.又，当且仅当，，三点共线时等号成立，所以，所以，所以，故.当取得最大值25时，椭圆的方程为，故其离心率为.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17.解：（1）线段的中点为，
故线段的垂直平分线的方程为，即.
（2）法一：由题意可得：线段的中点在上或线段所在直线与平行，
若线段的中点在直线上，则，解得；
线段所在直线与直线平行，则，解得.
综上所述，或.
法二：由点、到直线距离相等，则，
可得，解得或.
18.解：（1）由，
可得.
（2）由（1）知样本数据中数学考试成绩110分以下的所占比例为，
130分以下的所占比例为，
因此，分位数一定位于内，由，
可以估计样本数据的分位数约为115分，
据此可以估计该校高二上学期期中数学考试成绩的分位数约为115分.
（3）由题意分数段的人数为，
分数段的人数为，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽取2人，分别记为，，分数段内抽取3人，分别记为，，.
设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在内”为事件，
则样本空间，共包含10个样本点，而事件包含7个样本点，
∴，
∴抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为.
19.解：（1），
，
∴
（2）
则
，
又，
.
所以异面直线与所成角的余弦值是.
20.解：（1）由圆：，化为标准方程：，
所以圆心的坐标为，半径，又，
所以的最大值为3，最小值为1.
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，设斜率为，
则直线的方程为，即.
记圆心到直线的距离为，则，
所以，解得.
所以，解得，
所以直线的方程为.
即或
21.（1）解法一：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
点是棱上靠近的三等分点，则，
则，，，
设平面的法向量为，
满足即可取.
∵，∴
又∵平面，∴平面.
解法二：如图所示，连接，相交于点，连接.
在梯形中，有，，
所以.
又因为是棱上靠近的三等分点，所以，
故.
又平面，平面，所以平面.
（2）存在.
设，则，
设平面的法向量为，
满足即
故取.
设平面的法向量为，
满足即
故取，
若平面平面，则，即
解得，此时为的中点，则.
22.解：（1）圆：的圆心，半径为4，设圆的半径为，
由题意可得
∴，
则动点的轨迹是以、为焦点，以4为长轴长的椭圆.
设椭圆的方程为，
∴，，则，
故的方程为.
（2）设，，，
当时，联立，得，
所以，
则，，
即的中点为，
，
线段的中垂线方程为，
令，解得，所以，
所以，
令，解得，此时；
当，时，联立，解得，
令，，则，此时，
所以在轴上存在定点，使得为定值，定值为.
