2022-2023学年河南省焦作重点中学高二下学期3月月考
数学试题
一、选择题（每小题5分，共12小题60分）
1.若在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.已知命题：，；命题：，.下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
3.等比数列中，公比为，首项为，则“对任意正整数，都有”是“且”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换公式是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知抛物线：的焦点为，在抛物线上有一点，满足，则的中点到轴的距离为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
6.已知函数，为的导函数，定义，经计算，，照此规律，则（ ）
A. B.
C. D.
7.若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为63，则图中判断框内应填入的条件为（ ）
A. B. C. D.
10.观察下列一组数据则从左到右第三个数是（ ）
A.380 B.382 C.384 D.386
11.已知，且，为虚数单位，则的最大值是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
12.已知函数的图象在处的切线为：，则与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13.近日，教育部对外公布普通高中课程方案和语文等学科课程标准（2017年版2020年修订），方案显示，普通高中应增设劳动课程，共6个学分，为必修，其中包括志愿服务，某教育主管部门特为此举办了一次有关劳动教育方面的知识测验后，甲，乙，丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高；乙：丙的成绩比我和甲的都高；丙：我的成绩比乙高，成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为__________.
14.若复数满足，则的最小值为__________.
15.在同一平面直角坐标系中，直线：经过伸缩变换：后所得直线的方程为__________.
16.在极坐标系中，为极点，已知两点，的极坐标分别为，，则的面积为__________.
三、解答题（每小题12分，共6小题72分）
17.在极坐系中，已知，，求.
18.已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位.
（1）求复数；
（2）若复数对应的点在第四象限，求的取值范围.
19.已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间与极值.
20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润（单位：千元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值（表中，）.
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润与，的关系为.根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
21.已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线与直线相交于不同的两点、，且中点横坐标为2，求的值.
22.已知函数图象过点，且在点处的切线与直线平行.
（1）求，的值；
（2）若在上恒成立，求正数的取值范围.
答案和解析
第1题：【答案】A
第2题：【答案】A【解析】命题：设，，当时，，所以为单调递减函数；当时，，所以为单调递增函数；所以，即，，故命题正确.命题：设，，，当时，，所以为单调递增函数；当时，，所以为单调递减函数，所以，即当时，，故命题：，，正确，故选A
第3题：【答案】B【解析】∵，“对任意正整数，都有”，即等比数列是单调递增数列，∴且或者且.∵由成立可以推出且或者且，∴所以命题充分性不成立；∵由且成立可以推出.∴必要性成立.故选：B.
第4题：【答案】C
第5题：【答案】A【解析】设点，易知抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，得，所以，点的横坐标为，故点到轴的距离为3.故选：A.
第6题：【答案】D【解析】根据题意，可得，，，…，观察知呈周期性变化，周期为4，所以.故选：D.
第7题：【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为，∵双曲线与直线没有公共点，则，则，∵，∴.
第8题：【答案】C【解析】由可得，根据，，可得，即，所以曲线的直角坐标方程为.故选C.
第9题：【答案】C【解析】第一次运算为，，第二次运算为，，第三次运算为，，第四次运算为，，第五次运算为，.故选：C.
第10题：【答案】D【解析】由题意可知，可表示为个连续的偶数相加，从到共有个偶数，所以从左到右第一个数是第191个偶数，第个偶数为，所以第191个偶数为，从左到右第三个数为386.故选：D
第11题：【答案】B【解析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.∵表示圆上的点到的距离，∴的最大值是，故选B.
第12题：【答案】B【解析】由题意，且，，得，，∴的方程为，则与坐标轴的交点的坐标分别是，，∴故与坐标轴围成的三角形的面积.故选：B.
第13题：【答案】甲、乙、丙
【解析】若结果为甲、丙、乙，则甲、乙的判断正确，不符合题意；若结果为丙、甲、乙，则甲、乙、丙三人的判断都正确，不符合题意；若结果为丙、乙、甲，则乙、丙的判断正确，不符合题意；若结果为乙、甲、丙或乙、丙、甲，则甲、乙、丙三人的判断都错误，都不符合题意.所以三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，故答案为：甲、乙、丙.
第14题：【答案】4
第15题：【答案】
第16题：【答案】
【解析】.
第17题：【解析】点的直角坐标为，即，点的直角坐标为，即，所以.
第18题：【解析】（1）设，则
，，
∵和均为实数，所以，解得，
∴，则；
（2），因为对应的点在第四象限，所以，解得或.
第19题：【解析】【分析】（1）首先求出切点坐标，求导求出斜率，再利用点斜式即可得到切线方程.
（2）首先求导得到，令，解得，或，再求函数的单调区间和极值即可.
【详解】（1）当时，，，切点.，故.切线方程为，即.
（2）.令，解得，或.由知，.
+ 0 - 0 +
增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
所以的增区间为，，减区间为.函数在处取得极大值，且.函数在处取得极小值，且.
第20题：【解析】（1）适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.
（2）设，则是回归直线方程，由表格知，，，，则，，则，则关于的回归方程为.
（3）①当时，，.则年宣传费49千元时，年销售量的预报值为，年利润的预报值为66.32千元.②可得，当，即，所以年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.
第21题：【解析】（1）由题意设抛物线方程为，其准线方程为，∵到焦点的距离等于点到其准线的距离，∴，∴.∴抛物线的方程为.
（2）由消去，得，∵直线与抛物线相交于不同两点、，则有，，解得且，又，解得，或（舍去）.∴的值为2.
第22题：【解析】（1）∵，由已知得，即，解得，∴，；
（2）由（1）知，若在上恒成立，只需.∵，∴令，解得或，则在和上单调递增；令，解得，则在上单调递减.∴在上单调递减，在上单调递增，又，，∴，则，由，得，解得或，故正数的取值范围为.
