河南宋基信阳重点中学2025届高二12月月考
数 学 试 题
一 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（ ）
A．至多有一次中靶 B．至多有两次中靶
C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶
2．甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，甲乙射击互不影响，则两人都中靶的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．过点，半径最小的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．若直线l过抛物线的焦点，与抛物线相交于A，B两点，且，则线段的中点P到y轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知方程表示的曲线为，则（ ）
A．当时，曲线表示椭圆
B．存在，使得表示圆
C．当或时，曲线表示双曲线
D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为
11．直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆的半径为2
C．存在实数，使得直线与圆相切
D．直线被圆截得的弦长最短为
12．已知拋物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的方程为 B．
C．直线的斜率为 D．直线的方程为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．如果事件A与事件B互斥，,那么= .
14．已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为 ．
15．已知双曲线的一条渐近线为，则的离心率为 .
16．若直线的倾斜角的取值范围是 .
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（本小题10分）已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点，且
(1)、求椭圆的标准方程；
(2)、斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆两点，求线段的长.
18．（本小题12分）圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦．
(1)、当时，求AB的长；
(2)、当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
19．（本小题12分）信阳市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：
(1)、根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)、已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.
20．（本小题12分）已知抛物线上横坐标为4的点到其焦点的距离是6．
(1)、求的方程；
(2)、设直线交于，两点，若（为坐标原点），求的值．
21．（本小题12分）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.
(1)、证明：平面；
(2)、若，求二面角的正弦值.
22．（本小题12分）已知双曲线C：，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．
(1)、求双曲线C的方程；
(2)、如图，若直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点Q，P，且，求证：是定值．
数学试题参考答案
1．A 2．A
3．D【详解】由已知，又，则点A到平面的距离为.
4．D【详解】由题意知，，又，所以，且两直线之间的距离为
.
5．A【详解】过点，半径最小的圆,即以为直径，则圆心为中点，半径为，则圆方程为：.
6．B【详解】对于双曲线，其实半轴长为，虚半轴长为，故其渐近线方程为.
7．D【详解】如下图所示：
由题意可知，且，又，解得.即椭圆的方程为.
8．D【详解】由抛物线方程知：，即，所以线段的中点P到y轴的距离为.
9．BC【详解】圆的圆心为，半径，
若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，符合题意；
若切线的斜率存在，设切线方程为，即，由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，所以切线方程为，
综上可知，切线方程为或．
10．BC【详解】A、B选项：当时，，，当时，，
此时曲线表示圆，A选项错误，B选项正确；
C选项：当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，
当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确；
D选项：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则椭圆的焦距，D选项错误.
11．ABD【详解】对于A，由，得，则，得，所以直线恒过定点，所以A正确，
对于B，由，得，所以圆的圆心为，半径为2，所以B正确，
对于C，因为恒过定点，而，得点在圆内，所以直线与圆必相交，所以不存在实数，使得直线与圆相切，所以C错误，
对于D，因为直线恒过圆内的定点，所以当时，直线被圆截得的弦长最短，因为，圆的半径为2，所以直线被圆截得的弦长最短为，所以D正确.
12．BCD【详解】因为在准线上，所以准线方程为，所以，抛物线的方程为，故A错误；
设直线，代入，得，当直线与相切时，，即，设的斜率分别为，易知是上述方程的两根，故，所以，故B正确；
设，，则分别是方程的根，
所以，所以，故C正确；
，，
所以的中点为，直线的方程为，即，故D正确.
13．0.5
14．内含【详解】因为圆：，圆：，所以圆心距，而两圆半径之差，故两个圆内含．
15．【详解】设的半焦距为，由题意知，所以，故答案为：.
16．【详解】设直线倾斜角为，当时直线斜率不存在，此时倾斜角为；
当时，斜率为，直线化为斜截式为，，因为且，所以，即，所以；综上有：.
17．【详解】（1），，所以椭圆的标准方程为.
（2）斜率为的直线过椭圆的右焦点所以直线方程为：，联立椭圆的方程得：，化简得：设，则，
故.
18．【详解】（1）圆的圆心，半径，因为，所以直线的斜率，所以，即，所以圆心到的距离，所以；
（2）因为弦被平分，所以，又因为，所以，所以，即.
19．【详解】（1），
所以本次考试成绩的平均分约为66.8；因为成绩在的频率为，成绩在的频率为，所以第71百分位数位于，设其为，则，解得，所以第71百分位数为75；
（2）第5组的人数为：人，可记为，，，；
第6组的人数为：人，可记为，，；则从中任取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种情况，其中至少有1人成绩优秀的情况有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况.
所以至少有1人成绩优秀的概率.
20.【详解】（1）的准线为．由题意根据抛物线定义得：，解得，
故的方程为：．
（2）联立与得，．设，，则，于是．因为，所以，即，
因为，所以．
21．【详解】（1）证明：在长方体中，平面，平面，∴，
∵，，，平面，∴平面.
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，则，，，，，∵平面，平面，∴，
∵，且，，平面，∴平面，∴平面的法向量为，
设平面的法向量，由，，
得，取，得，，∴，
∴，∴二面角的正弦值为.
22．【详解】（1））因为，所以，．所以双曲线的方程为，即．因为点在双曲线上，所以，所以．所以所求双曲线的方程为．
（2）设直线OP的方程为，∵，则直线OQ的方程为，
由，得，所以．同理可得，，
故．∴是定值．
