泉港二中2024届高三秋季数学考参考答案
1.【答案】
解：由，得
2.【答案】
解：因为函数在上单调递增且连续，
且，，
所以函数的零点所在的一个区间是
3.【答案】
解：因为，
所以
4.【答案】
解：由已知函数的定义域为R，
因为，
是奇函数，排除D；又 排除C，
又趋近于0时，趋近于0，则趋近于0，故排除B
5.【答案】
解：因为非零向量、满足，所以，
所以，则，
因为向量在向量方向的投影向量是，所以，
所以，所以，
因为，解得，则向量与的夹角是
6.【答案】
解：根据题意，数列是首项为2，公差为3的等差数列，故，
数列是首项为2，公差为5的等差数列，故，
把数列与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为2，公差为15的等差数列，故，
因为，，故，故A错误；
因为，，则，故B正确；
因为，，故，故C错误；
因为，，，故D错误．
7.【答案】
解：设椭圆的左焦点为，由题意焦点在x轴，由题意得，，，
由余弦定理可得，
可得，
由椭圆定义可得，则，，
则，的离心率为，
8.【答案】
解：时，，，令，，
，，，，所以在递增，在递减，
，而时，，的最大值为，
时，无零点．，有两个零点，
所以，所以
9.【答案】
解：因为复数，，
对于A，，故A正确；
对于B，，，所以，故B错误；
对于C，是纯虚数，故C正确；
对于D，，
在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限，故D错误.
10.【答案】
解：由图象知，解得，故A正确;
由，且在减区间内，得，，解得，，又，所以由，得，解得，
所以，所以，
由，得的图象不关于点对称，故B不正确;
由，解得，
则的单调递增区间为，
令，得其中一个增区间为，又，故在上单调递增，故C正确;
当时，，由余弦函数的图象，可知在上仅有一个极值点，故D不正确.
11.【答案】
解：在正方体中，P，Q分别为棱BC和棱的中点，如图所示：
①对于选项A：P，Q分别为棱BC和棱的中点，
所以，由于平面APQ，不在平面APQ内，
所以平面APQ，故A正确．
②对于选项B：由于平面，平面和
平面为相交平面，所以不可能垂直平面AQP，故B错误．
③对于选项C：，为等边三角形，所以，
即异面直线QP与所成的角为故C正确．
④对于选项D：连接AP，，，由于，，，所以：平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形，故D正确．
12.由可得，若，则，以此类推，，…，，与已知条件矛盾．故，又，所以A正确．
由可得，因为，若，则，以此类推，，…，，与已知条件矛盾．故，又，所以恒成立．则，是递减数列，所以B错．
代入中可知C不成立（或者取验证可知C不成立），所以C错．
由，，利用累乘法可得：
，因为，所以，则．所以D正确．
另解：由，左右两边同时取对数，，令，利用待定系数法可以求得，代入，则．可依据的通项公式来判断B、C均错．
13.． 【解析】两圆恰有三条公切线当且仅当两圆外切，因此，得到
14.【答案】
解：由，得，，
由题意可得，，则
15. 5
16..【答案】
解：以A为原点建立如图所示平面直角坐标系，
则，，设，
则由得，
则，
因为，所以的取值范围是
17.【答案】；
解：设公差为，由题意得 ，
解得舍或，所以，故………………………………….5分
由知 ，
……...……………….….10分
18.【答案】；
解：由正弦定理得：，
所以，即，
因为，所以，又，所以……………………..….6分
，，由正弦定理，
所以，
因为为锐角三角形，所以，则，
所以所以………………………..………………12分
19.在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，
所以点A到平面距离为；
【小问2详解】
取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，
设平面的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
【解析】（1）．
（2）因为体质测试不合格的学生有3名，
所以的可能取值为0，1，2，3．
因为，，，．
所以的分布列为
0 1 2 3
（3）因为，，
所以，．
因为，
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间得概率约为，
因为100名学生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为～，
所以．
（1）解：甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为：，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65．（2）解：由题知：甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，
乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，所以，随机变量ξ的取值为，1，2．所以，，，．
所以ξ的分布列为
0 1 2
ξ的数学期望为
（3）解：由甲乙大学的频率分布直方图可知，乙大学的学生每天学习“中华诗词”的时间相对较长，且集中，所以，；
21.（Ⅰ），（Ⅱ）1
【详解】试题分析：（Ⅰ）函数图象无公共点，可以转化为方程无实根，此方程可用分离参数法化为无实根，从而只要求出函数的值域即可，这可导数的知识求得；（Ⅱ）同样问题转化为“不等式对恒成立”，即对恒成立，因此问题转化为
求函数的最小值．
试题解析：（Ⅰ）函数与无公共点，
等价于方程在无解
令，则令得
＋ 0 －
增 极大值 减
因为是唯一的极大值点，故
故要使方程在无解，
当且仅当，故实数的取值范围为
（Ⅱ）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.
即对恒成立.
令，则，
令，则，
∵在上单调递增，，，
且的图象在上连续，
∴存在，使得，即，则，
∴ 当时，单调递减；
当时，单调递增，
则取到最小值，
∴ ，即在区间内单调递增.
，
∴存在实数满足题意，且最大整数的值为.
考点：转化与化归思想．导数的综合应用．
【名师点睛】命题“对任意的，都有函数的图象在的图象的下方”等价于不等式“不等式对恒成立”，从而转化为“对恒成立”，最终转化为“求函数的最小值”．容易出错的地方是误认为函数的最大值小于或等于函数的最小值，解题时要注意．
22.【解析】
【分析】（1）方法一：将代入方程，结合求得得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得得双曲线方程.
（2）方法一：设CD的方程为，与双曲线联立，由A点与C点写出AC方程，求出，由B点与D点写出BD方程，求出，利用两个相等建立关系式，代入韦达定理可求得为定值.
方法二：设CD的方程为，与双曲线联立，由P点与A点写出AC方程，由P点与B点写出BD方程，将代入以上两方程，两式相比消去建立关系式，代入韦达定理可求得为定值.
【小问1详解】
法一．由解得，∴双曲线E的标准方程为．
法二．左右焦点为，，
，
∴双曲线E的标准方程为．
【小问2详解】
直线CD不可能水平，故设CD的方程为，
联立消去x得，
，，，
AC的方程为，令，得，
BD的方程为，令，得，
，
解得或，即或（舍去）或（舍去），
∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．
方法二．直线CD不可能水平，设CD的方程为，
联立，消去x得，
，
AC的方程为，BD的方程为，
分别在AC和BD上，，
两式相除消去n得，
又，．
将代入上式，
得
．
整理得，解得或（舍去）．
∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．泉港二中高三年2023秋第三次月考数学科试题
（试卷满分150分；试卷时间：120分钟）
姓名：___________班级：___________准考证号：___________考室座位号：___________
注意事项：
1．试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至3页。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上。
3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知非零向量满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量的夹角是( )
A. B. C. D.
6.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？“根据这一数学思想，所有被3除余2的自然数从小到大组成数列，所有被5除余2的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大得到数列，则( )
A. B. C. D.
7.已知F是椭圆C的右焦点，O为坐标原点，P是C上的一点，若，且，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
8.函数有且仅有2个零点，则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知复数，，则下列说法正确的( )
A. B.
C. 是纯虚数 D. 在复平面内对应的点在第三象限
10.函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，则( )
A. B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递增 D. 在上有两个极值点
11.正方体中，P，Q分别为棱BC和的中点，则下列说法正确的是( )
A. 平面AQP B. 平面AQP
C. 异面直线与PQ所成角为 D. 平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形．
12.已知数列满足，，下列说法中正确的是
A． B．，且，满足
C．（） D．记的前n项积为，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13若圆和圆恰有三条公切线，则实数____________．
14.若函数在处的切线与直线垂直，则__________.
15. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为__________.
16.正方形ABCD边长为1，点P是AD上的动点，于E，则的取值范围为_______.
．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知各项均不相同的等差数列的前四项和，且成等比数列.
求数列的通项公式；
设为数列的前n项和，求
18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为
求角A的大小；
当时，求的取值范围．
19 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
20.．随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照，，，，，分组，并整理得到如下频率分布直方图：
根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：
学习时间：（分钟/天）
等级 一般 爱好 痴迷
(1)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；
(2)从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望；
(3)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差与的大小．（只需写出结论）
21.已知函数，.
（Ⅰ）函数的图象与的图象无公共点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出整数的最大值；若不存在，请说理由.
22. 已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
（1）求双曲线E的标准方程．
（2）直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
.
