华安一中2023—2024学年度上学期第二次月考
高二数学试题
时间：120分钟满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 准线方程为的抛物线的标准方程是（）
A. B. C. D.
2. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
3. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是
A.
B.
C.
D.
4. 在等差数列中，，则的值为（）
A. B. 11 C. 22 D. 33
5. 若双曲线经过点，且一渐近线方程是，则这条双曲线的虚轴长（）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6. 已知双曲线的一条渐近线与圆交于两点，且是正三角形，则双曲线的离心率为（）
A. B. 2 C. D.
7. 过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为，是圆：上的动点．则的最小值为（）
A. B. C. 27 D.
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（）
A. 是递增数列 B.
C. 当时取最大值 D. 满足的最大的正整数为10
10. 已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（）
A. B.
C. D.
11. 已知点P为圆上的动点，直线l过点，过l上一点Q作圆O的切线QC，QD，切点分别为C，D，则下列说法正确的有( )
A.当∠PAB最大时，
B. 点P到l的距离的最大值为
C. 四边形CQDO面积的最小值为9
D. 四边形CQDO的面积最小时，直线OQ的方程为
12. 已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，过的直线交抛物线于两点，，则（）
A. 的准线方程为
B. 若，则
C. 若，则斜率为
D. 过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知正项等比数列满足，，其公比q=_____
14. 过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为中点，则直线的方程为___________.
15. 若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则________
16. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形是等边三角形，则双曲线离心率为_______，若的面积为，则___________．
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知抛物线的顶点为，焦点坐标为．
（1）求抛物线方程；
（2）过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，求线段的值．
18. 已知直线l：与圆C：相切.
（1）求实数a的值；
（2）已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程.
19. 记为数列的前项和，为数列的前项和，若，且
（1）证明：数列等比数列；
（2）若成立，求的最小值.
20. 已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的A、两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）如果，证明直线过定点，并求定点坐标.
21. 已知圆，圆，动圆P与圆内切，与圆外切，动圆圆心P运动轨迹记为C；
（1）求C方程；
（2）若，直线过圆的圆心且与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值．
22. 已知椭圆经过点，且离心率为，过椭圆右焦点为，的直线与E交于两点，点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，证明：
(
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)华安一中2023—2024学年度上学期第二次月考
高二数学试题
时间：120分钟满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 准线方程为的抛物线的标准方程是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可设抛物线的标准方程为，从而可得，求解即可.
【详解】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，则其准线方程为，得.
该抛物线的标准方程是.
故选：D.
2. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据焦点坐标确定，然后计算．
【详解】由题意，，∴，，
故选：B．
3. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：设圆上任一点，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.
4. 在等差数列中，，则的值为（）
A. B. 11 C. 22 D. 33
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求解即可.
【详解】由等差数列的性质可知：，而，
所以，即.
故选：B.
5. 若双曲线经过点，且一渐近线方程是，则这条双曲线的虚轴长（）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件设出双曲线方程，利用点在双曲线上及双曲线的虚轴长的定义即可求解.
【详解】由题意知，设双曲线的方程为，
因为双曲线经过点，
所以.
所以双曲线的方程为.
由双曲线的方程知，双曲线的焦点在轴上，即，于是，
故这条双曲线的虚轴长为.
故选：C.
6. 已知双曲线的一条渐近线与圆交于两点，且是正三角形，则双曲线的离心率为（）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，设渐近线方程为（其中），根据垂径定理和点到直线的距离公式分别求出圆心到渐近线的距离，建立方程，解方程可得，结合离心率的概念即可求解.
【详解】设双曲线渐近线被圆所截得的弦长为，圆的半径为，圆心到渐近线的距离为d，
圆方程，即，又由题可知，
由垂径定理得.
不妨设渐近线方程为（其中），
又圆的圆心坐标为，
圆心到渐进线的距离为，所以，解得，
又，所以双曲线的离心率为.
故选：B.
7. 过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，，把直线与椭圆联立，求出，
，即可求出.
【详解】由，得，，，左焦点为．
则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为．代入，得，
设，，则，，
又，
根据弦长公式得：，
且，
∴，
故选：A．
8. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为，是圆：上的动点．则的最小值为（）
A. B. C. 27 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的定义可得，再设，表达出即可得最小值.
【详解】因为点到点的距离与到直线的距离相等，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故.
由题意可得，当且仅当共线时取等号，
设，则
，当时,.
所以
故的最小值为.
故选：D
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（）
A. 是递增数列 B.
C. 当时取最大值 D. 满足的最大的正整数为10
【答案】BD
【解析】
【分析】利用与的关系及数列的单调性的定义，根据数列的通项公式及二次函数的性质，结合数列的性质及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】当时，，
当时，，
取时，此式也满足，
故的通项公式为.
对于A，由，得，所以是递减数列，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，由二次函数的性质知，当或时，取最大值，故C错误；
对于D，令，即，解得，又，所以的最大值为.故D正确.
故选：BD.
10. 已知椭圆：两个焦点为，，是上任意一点，则（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆的定义可判定A、B，根据椭圆方程及二次函数的性质可判定C，根据基本不等式可判定D.
【详解】对AB，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，
因为，所以，，，
所以，，故A错误，B正确；
对C，设，，，
则，
即，当时取得最大值，故C正确；
对D，由椭圆定义及基本不等式可知：，故D正确．
故选：BCD
11. 已知点P为圆上的动点，直线l过点，过l上一点Q作圆O的切线QC，QD，切点分别为C，D，则下列说法正确的有( )
A. 当∠PAB最大时，
B. 点P到l的距离的最大值为
C. 四边形CQDO的面积的最小值为9
D. 四边形CQDO面积最小时，直线OQ的方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】选项A，当PA与圆相切时，∠PAB最大；选项B，点P到l最大距离为圆心到直线l距离加上半径；选项C，D，当时，四边形CQDO的面积最小.
【详解】对于A，如图1，当PA与圆相切时，∠PAB最大，设圆半径为，,，，，故A错误；
对于B，由已知直线l的方程为，当点P到l的距离最大时，最大距离为圆心到直线l的距离加上半径，即为，故B正确；
对于C，如图2，QC，QD是圆O的切线，则，，
四边形CQDO的面积，
四边形CQDO的面积最小时，即为取最小，又，即，
所以当最小时，取最小，即当时，，
则，四边形CQDO的面积的最小值为9，故C正确；
对于D，四边形CQDO的面积最小时，，直线OQ的斜率为，方程为，故D错误；
故答案为：BC.
12. 已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，过的直线交抛物线于两点，，则（）
A. 的准线方程为
B. 若，则
C. 若，则的斜率为
D. 过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据抛物线的几何意义求出，即可得到抛物线的方程，再根据抛物线的定义判断A、B、D，设，，，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据焦半径公式计算即可判断C；
【详解】解：因为抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，所以，
所以抛物线方程为，则焦点，准线为，故A错误；
若，则，所以，所以，故B正确；
可设，，，，
直线的方程为，与抛物线联立，
消去，可得，
可得，，
由抛物线的定义可得
即，即，
解得，则直线的斜率为，故C正确；
对于D，若轴平分，则，又轴，
所以，所以，
所以，即，所以，故D正确；
故选：BCD
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知正项等比数列满足，，其公比q=_____
【答案】2
【解析】
【分析】根据等比数列的基本量关系求解即可.
【详解】由题意，，因为，故，解得.
故答案为：2
14. 过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为中点，则直线的方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】结合点差法求得直线的方程.
【详解】椭圆，
由，令得：，所以在椭圆内，
同时，当直线的斜率不存在，即直线时，，
不是线段的中点，所以直线的斜率存在.
设，则，
两式相减并化简得，
即，
所以直线的方程为，即.
故答案为：
15. 若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则________
【答案】32
【解析】
【分析】根据已知条件及双曲线的定义，再利用余弦定理及三角形的面积公式即可求解.
【详解】由，得，即，
所以，即，
根据已知条件做出图形如图所示
设，则
由双曲线的定义知，①，②，
由余弦定理得③，
联立①②③，得
，即，
又，所以，
所以，即.
所以为直角三角形，
所以，解得.
故答案为：.
16. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形是等边三角形，则双曲线离心率为_______，若的面积为，则___________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】求出交点为，结合等边三角形，得，可求出，进而的离心率与渐近线方程，结合面积公式进而可求.
【详解】由双曲线的两条渐近线方程为，
则与直线的交点为，
双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形是等边三角形，
则，即，得，
即，则；
则双曲线的两条渐近线方程为
抛物线的准线方程为，
则，解得.
故答案为：；.
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知抛物线的顶点为，焦点坐标为．
（1）求抛物线方程；
（2）过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，求线段的值．
【答案】（1）．（2）
【解析】
【分析】
（1）由题得，解之即得抛物线的方程；（2）设直线方程为，利用弦长公式求解.
【详解】解：（1）∵焦点坐标为
∴，，
∴抛物线的方程为．
（2）设直线方程为，设，，
联立
消元得，
∴，，，
∴
．
∴线段的值为．
【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
18. 已知直线l：与圆C：相切.
（1）求实数a的值；
（2）已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径可求得参数值；
（2）由三角形面积求得圆心到直线的距离，然后再由圆心到直线的距离公式求得得直线方程．
【小问1详解】
将圆C：化为标准方程，
得，故圆心，半径为.
因为直线l：与圆C相切，所以，
解得，所以圆C标准方程为.
【小问2详解】
设圆心C到直线m的距离为d.
则，所以，解得.
故，解得或.
所以直线m的方程为或.
19. 记为数列的前项和，为数列的前项和，若，且
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若成立，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）5
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用分组求和法及等比数列的前项和公式，结合指数不等式的解法即可求解.
【小问1详解】
由，即，而
所以是以3为首项，3为公比的等比数列
【小问2详解】
由（1）知，即
，
由可得，整理可得，解得，
因为，
所以的最小值为5．
20. 已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的A、两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）如果，证明直线过定点，并求定点坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点
【解析】
【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线方程求得即得；
（2）设，，设，代入抛物线方程应用韦达定理得，，代入可求得，从而得定点坐标.
【小问1详解】
由题意可知，将点代入抛物线方程，
可得，解得，则抛物线方程为．
【小问2详解】
因为直线与抛物线相交于不同的A、两点，
所以直线不与x轴平行，可设，与联立，得，
设，，∴，．，
由
，解得，
∴过定点．
21. 已知圆，圆，动圆P与圆内切，与圆外切，动圆圆心P的运动轨迹记为C；
（1）求C方程；
（2）若，直线过圆的圆心且与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）由圆与圆的位置关系得出点轨迹是椭圆，求出后可得轨迹方程；
（2）设，，设直线方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由求出面积化为的函数，用换元法求得最大值．
【小问1详解】
设动圆P的半径为，
∵动圆P与圆内切，与圆外切，
∴，且.
于是，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.
圆与内切于点，因此点与点不重合，，
从而，所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．
【小问2详解】
设，，设直线方程为，
联立方程组整理得，
则，，．
因为过点，所以
．令，，，
设，则，即，所以在上单调递增，
则当时，，则的最大值为3．
故面积的最大值为3．
【点睛】方法点睛：椭圆中最值问题，一般设交点坐标为，设出直线方程为（或），代入椭圆方程应用韦达定理得（或）然后用两交点坐标表示出要求最值的量，如本题中三角形面积，转化为关于其中某个参数（两个参数时需要由条件寻找参数间关系）的函数，然后由函数的性质或不等式的知识求得最值．
22. 已知椭圆经过点，且离心率为，过椭圆右焦点为，的直线与E交于两点，点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，证明：
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据题意，得到，，结合，求得的值，即可求解；
(2)当与轴重合与轴垂直时，得到，当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，化简得到，联立方程组，得到所以，得到，得到，即可得证.
【小问1详解】
解：由椭圆经过点，且离心率为，
可得，，又因为，解得，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
解：当与轴重合时，.
当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以，
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，
则，直线、的斜率之和为，
由，可得，
联立方程组，整理得，
所以，
则，
从而，故、的倾斜角互补，所以，
综上可得，.
【点睛】知识方法总结：对于直线与圆锥曲线问题的求解策略：
1、研究直线与圆锥曲线位置关系，一般转化为研究直线方程于圆锥曲线方程组成的方程组解的问题，结合一元二次方程方程的根与系数的关系，结合韦达定理转化为方程的性质，进行求解；
2、对于直线与圆锥曲线的客观题解答时，注意图形的几何性质的应用，利用数形结合法求解，有时更加方便；
3、合理应用“设而不求”法，在“设而不求”的技巧中，要注意运算的合理性，目的性，同时合理应用根与稀释的关系、中点坐标公式，向量平行与垂直关系等，使得思路更加清晰，运算得以简化，从而迅速地解决问题.
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