蚌埠铁中高二12月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角是 ( )
A. B. C. D.
2.万众瞩目的北京冬奥会将于年月日正式开幕，继年北京奥运会之后，国家体育场又名鸟巢将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为．( )
A. B. C. D.
3.过点，，且圆心在直线上的圆的方程是 ( )
A. B.
C. D.
4.两个等差数列，的前项和分别为，，且则 ( )
A. B. C. D.
5.已知为等比数列，，，则 ( )
A. B. C. D.
6.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，，，则数列的最小值是 ( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足其中为原点设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.在平面直角坐标系中，已知双曲线：，则
( )
A. 的实轴长为 B. 的离心率为
C. 的渐近线方程为 D. 的右焦点到渐近线的距离为
10.已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是( )
A. 数列是递减数列 B. 是数列中的最小项
C. 满足的的最大值为 D. 当且仅当时取得最大值
11.已知正方体的棱长为，为中点，下列结论正确的是
( )
A. 面 B. 点到平面的距离为
C. 面面 D. 二面角的正切值为
12.记的图象为，如图，一光线从轴上方沿直线射入，经过上点反射后，再经过上点反射后经过点，直线交直线于点，下面说法正确的是
( )
A. B.
C. 以为直径的圆与直线相切 D. ，，三点共线
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知等比数列满足，，则 ．
14.在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则 ．
15.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为________．
16.，是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的倍，则椭圆的离心率为___．
四、解答题（本大题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
求过点且与圆相切的直线方程．
18.本小题分
已知是等差数列的前项和，若，．
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
19.本小题分
如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面．
求证：；
求直线与平面所成角的余弦值；
求平面与平面的夹角的正弦值．
20.本小题分
记数列的前项和为，已知．
设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
21.本小题分
已知动圆经过点，且与直线相切．设圆心的轨迹为．
求曲线的方程；
设为直线上任意一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、，求证：．
22.本小题分
已知双曲线与直线有唯一的公共点．
点在直线上，求直线的方程
设点，分别为双曲线的左右焦点，为右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点其中点在第一象限，设，分别为，的内心．
点的横坐标是否为定值若是，求出横坐标的值若不是，请说明理由
求的取值范围．
蚌埠铁中高二12月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角是
( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．
求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角．
【解答】
解：直线的斜率为，
因此，该直线的倾斜角为，
故选C．
2.万众瞩目的北京冬奥会将于年月日正式开幕，继年北京奥运会之后，国家体育场又名鸟巢将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为．( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
求出大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率，然后求解小椭圆的长轴长．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
【解答】
解：因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，
所以两个椭圆的离心率相同，
所以，
所以，
所以小椭圆的长轴长为：．
故选：．
3.过点，，且圆心在直线上的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查圆的标准方程的求法，属于基础题．
【解答】
解：法一设点为圆心．点在直线上，可设点的坐标为．
又该圆经过，两点，．
，解得．
圆心坐标为，半径长故所求圆的标准方程为．
法二排除法根据圆心在直线上，排除，根据点在圆上，排除．
4.两个等差数列，的前项和分别为，，且则
( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
利用等差数列的通项公式求和公式及其性质可得：．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：，
．
故选：．
5.已知为等比数列，，，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质，属基础题．
先利用等比数列的性质得，然后联立方程得的值，即可求解．
【解答】
解：设数列的公比为，
为等比数列，，
，解得或
或．
当，，时，
．
当，，时，
．
综上，．
故选D．
6.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成角的大小，属于基础题．
【解答】
解：解法一：如图所示，设、、分别为，和的中点，
则、夹角为和夹角或其补角因异面直线所成角为
可知，作中点，则为直角三角形
，，中，由余弦定理得
，，
在中，
在中，由余弦定理得
又异面直线所成角的范围是，与所成角的余弦值为．
解法二：如图所示，
补成四棱柱，求即可
，，，，，
．
7.已知数列满足，，，则数列的最小值是
( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查数列的最值问题，基本不等式的应用，属于中档题．
由题意结合累加法求得数列，所以，利用基本不等式求解即可．
【解答】解：因为，，
所以，解得，
，，，
，，
以上各式相加得，数列，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，数列取得最小值，
故选：．
8.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足其中为原点设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了椭圆和双曲线的定义和离心率，属于中档题．作，垂足为，则，，由双曲线和椭圆的定义以及勾股定理可得，，从而得出的值．
【解答】
解：如图，作，垂足为，
根据椭圆与双曲线的定义可得
解得，，
由，
可得点的横坐标为，即，，
由勾股定理可得，
整理得，即，
，
当且仅当时等号成立，．
故选C．
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.在平面直角坐标系中，已知双曲线：，则
( )
A. 的实轴长为 B. 的离心率为
C. 的渐近线方程为 D. 的右焦点到渐近线的距离为
【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的性质及几何意义的应用，
根据双曲线方程确定的值，即可一一判断各选项，即得答案．
【解答】
解：由双曲线的方程可得，，，，
所以，，，实轴长，离心率，所以 A错误，B正确，
所以，渐近线方程为，所以 C错误，
因为右焦点为，不妨取渐近线，即，
则到渐近线距离为，所以 D正确．
故选：．
10.已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是( )
A. 数列是递减数列 B. 是数列中的最小项
C. 满足的的最大值为 D. 当且仅当时取得最大值
【答案】AC
【解析】【分析】本题考查等差数列的单调性，等差数列的前项和，属于中档题．
利用等差数列的性质与等差数列的前项和公式逐项判断即可求解．
【解答】解：对于选项A由等差数列的性质可得，因为，所以，即，所以，所以，数列是递减数列，所以选项A正确
对于选项B因为数列是递减数列，所以最大项是首项，没有最小项，所以选项B错误
对于选项C由不等式，可得，
又因为，所以满足的的最大值为，所以选项C正确．
对于选项D因为，
所以当或时，取最大值，所以选项D错误故选：．
11.已知正方体的棱长为，为中点，下列结论正确的是
( )
A. 面 B. 点到平面的距离为
C. 面面 D. 二面角的正切值为
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查线面平行的判定，点面距离的求解，二面角的求解，属中档题．
对于，连接、，设交点为，证得，即可根据线面平行的判定判断；对于，过作于，证得平面，求解长，即为点到平面的距离判断对于，证得为平面与平面所成的角，由勾股定理逆定理判断，即可判断对于，判断得即为二面角的平面角，解三角形求解其正切值即可判断．
【解答】
解：对于，连接、，设交点为，
则为正方形的中心，，
又为中点，，
又平面，平面，
平面，故A正确；
对于，过作于，
由正方体可知平面，
又平面，，
又，、平面，
平面，
的长即为点到平面的距离，
中，，，则，
由等面积法求得，故B正确；
对于，连接、，设交点为，连接，，，则为中点，
中，，
为等边三角形，
又为中点，，且，，
中，，，
又为中点，，
，
平面平面，，，
为平面与平面所成的角，
中，，，，
，，，
平面平面，故C正确；
对于，由的分析可知，，
又平面平面，
即为二面角的平面角，
中，，，，
，
即二面角的正切值为，故D错误．
12.记的图象为，如图，一光线从轴上方沿直线射入，经过上点反射后，再经过上点反射后经过点，直线交直线于点，下面说法正确的是
( )
A. B.
C. 以为直径的圆与直线相切 D. ，，三点共线
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系，是中档题．
由，坐标可得直线方程，联立与抛物线方程，由韦达定理可得由焦点弦长公式可得，得选项B由中点到直线的距离等于的一半可得选项C联立直线可得坐标，由光学性质可得．
【解答】解：利用抛物线的光学性质，平行于对称轴的光线，经过抛物线的反射后集中于它的焦点
从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．
的标准方程为，则，焦点坐标为，
由题意可得，所以直线．
由消去并化简得，
所以，，，故A正确
又，故，
故，故B错误
选项C，由，抛物线的准线为，
的中点到准线的距离为，即等于的一半，即以为直径的圆与直线相切，故C正确
选项D，直线的方程，与联立，可得点的横坐标为，
从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．
由可知，
所以点在直线上，则三点都在直线上，故D正确．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知等比数列满足，，则 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列性质，属于基础题．
由等比数列性质求解即可．
【解答】
解：，，
．
14.在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
，，根据，，三点共线时，存在实数使得即可解答．
【解答】
解：，，
，，三点共线，
存在实数使得，
解得，，．
．
故答案为．
15.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查点关于直线的对称点的计算，点到圆上点的最值问题、两点间的距离公式，属于中档题．
求出关于的对称点，根据题意，为最短距离，求出即可．
【解答】
解：设点关于直线的对称点，
军营所在区域的圆心为，且点坐标为，半径为，
根据题意，为最短距离，先求出的坐标，
的中点为 ， ，直线的斜率为，
由 ，解得，，
即，
所以，
故．
故答案为．
16.，是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的倍，则椭圆的离心率为___．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆定义的应用，是中档题．
设的内切圆半径为，分别写出与的面积，由的面积是面积的倍列式求椭圆的离心率．
【解答】解：如图：
点为的内心，
的面积是面积的倍，
设的内切圆半径为，
则
，
，则，
椭圆的离心率为．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
求过点且与圆相切的直线方程．
【答案】解：根据题意，设圆心的坐标为，
则有，
解可得，
即圆心的坐标为，
圆的半径，
则圆的方程为，即；
根据题意，圆的方程为，
过点作圆的切线，斜率必定存在，
设切线的斜率为，则切线的方程为，即，
则有，解可得或；
故切线的方程为或．
【解析】本题考查圆的方程的求解及直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．
根据题意，设圆心的坐标为，由、的坐标可得关于的方程，解可得的值，求出圆的半径，即可得答案；
根据题意，分析可得切线的斜率一定存在，设切线的斜率为，可得切线的方程，由直线与圆的位置关系可得关于的方程，解可得的值，即可得答案．
18.本小题分
已知是等差数列的前项和，若，．
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
【答案】解：设等差数列的首项为，公差为，
由题意得：
即
．
由知，
．
【解析】本题主要考查了待定系数法求等差数列通项公式，同时考查了利用裂项相消法求数列的前项和的灵活应用，属于中档题．
利用等差数列的通项公式和前项和公式列方程组即可求出和，即可求解；
先利用，表示出数列，然后拆开，注意前面的系数，然后利用裂项相消法求和即可．
19.本小题分
如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面．
求证：；
求直线与平面所成角的余弦值；
求平面与平面的夹角的正弦值．
【答案】证明：因为四边形 为正方形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ；
解：取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，所以 平面 ，
以点 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，令 ，
则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，
则直线 与平面 所成角的余弦值为 ；
解：设平面 的法向量为 ，
由 ，令 ，则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
所以平面 与平面 的夹角的正弦值为 ．
【解析】本题主要考查线线垂直的证明，线面角、平面与平面所成角的向量求法，考查空间向量法的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
由面面垂直的性质可得 平面 ，再由线面垂直的性质即可得证；
取 的中点 ，连接 ，以点 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间坐标系，利用空间向量解答．
20.本小题分
记数列的前项和为，已知．
设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
【答案】解：当时，
对于：
当时，
不交代扣分
综上：，且
数列为首项公比的等比数列，
．
【解析】本题考查等比数列的证明和利用错位相减法求和，属于中档题．
根据可得当时，将两式作差可得与的关系根据等比数列的定义可证得数列是等比数列，从而求出的通项公式；
由可得，然后通过错位相减法求和．
21.本小题分
已知动圆经过点，且与直线相切．设圆心的轨迹为．
求曲线的方程；
设为直线上任意一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、，求证：．
【答案】解：由题意可得点 到点 的距离与到直线 的距离相等，
根据抛物线定义，圆心 的轨迹 为抛物线，且焦点为 ，准线方程为 ，
所以曲线 的方程为 ；
法一：由题意，过点 的切线斜率存在，且不为 ，
设点 ，切线方程为 ，
联立 ，得 ，
则 ，
由于过点 存在两条切线，故关于 的方程有两个不相等的实数根 ， ，
且由根与系数的关系得， ，
设切线 、 的斜率分别为 ， ，则 ，
所以直线 ．
法二：由题意，过点 的切线斜率存在，且不为 ，
设点 ，切线方程为 ，
联立 ，得 ，
则 ，
由于过点 存在两条切线，故关于 的方程有两个不相等的实数根 ， ，
且由根与系数的关系得， ，
设切线 、 的斜率分别为 ， ，则 ，
所以直线 ．
【解析】【分析】求定值问题常见的方法有两种：
从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
根据抛物线的定义即可得出答案；
由题意可得点 ，切线方程为 或 ，联立方程，根据 结合韦达定理证明 或 即可．
22.本小题分
已知双曲线与直线有唯一的公共点．
点在直线上，求直线的方程
设点，分别为双曲线的左右焦点，为右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点其中点在第一象限，设，分别为，的内心．
点的横坐标是否为定值若是，求出横坐标的值若不是，请说明理由
求的取值范围．
【答案】解：联立方程
得：
又
即
为的内切圆与轴的切点，由定义知：
与重合
同理：．
解
设，
法由渐近线与相交弦的关系知，
法直线斜率不存在时，满足，
斜率存在时，设为即代入中求的
或，
，
解法设直线
，联立
同理等面积
．
【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系，双曲线中的定值问题等，难度和运算量大，为难题．
