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2023年下学期高一12月联考
数学
本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，若，则实数（ ）
A.-1 B.0 C.0或-1 D.0或1
2.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列四个函数中，在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5.近年来，“北斗”指路 “天宫”览胜 “墨子”传信 “嫦娥”问月……中国航天硕果累累，令国人备感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的总质量（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（ ））
A. B. C. D.
6.已知函数，则方程在下列哪个区间上必有实数根（ ）
A. B. C. D.不能确定
7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.设偶函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.
B.第一象限角都是锐角
C.在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为
D.终边在直线上的角的集合是
10.下列四组函数中，与不是同一函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知函数若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（ ）
A.-6 B.-5 C.1.5 D.2.3
12.下列说法正确的是（ ）
A.若函数，且，则
B.若为奇函数，则的解集为
C.设表示不超过的最大整数，如，则不等式的解集为
D.若函数的定义域为，则的取值范围是
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的定义域为__________.
14.若，则的最大值为__________.
15.若定义运算则函数的值域是__________.
16.已知在区间上是增函数，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
求值：（1）；
（2）
18.（本小题满分12分）
已知为锐角，且满足.
（1）求的值；
（2）求的值.
19.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）若函数的一个零点为2，求函数的其余零点.
20.（本小题满分12分）
已知幂函数在上单调递减.
（1）求的解析式；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知是一元二次方程的两个不相等的实数根.
（1）若两根同号，求实数的取值范围；
（2）求使得的值为整数的整数的值.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若函数在内有唯一零点，求的取值范围；
（2）设函数的最大值 最小值分别为，记.设，函数，当时，恒成立，求的取值范围.
2023年下学期高一12月联考·数学
参考答案 提示及评分细则
1.【答案】A
【解析】设集合，若，则或，
当时，，此时，因此不可能；
当时，，当时，.所以.故选A.
2.【答案】D
【解析】由得或，因此“若，则”是假命题，“若，则”是假命题，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.
3.【答案】B
【解析】在上单调递减，故A错误；
在上单调递增，故B正确；
在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
在上单调递减，故D错误.故选B.
4.【答案】D
【解析】根据函数的单调性，有，即.故选D.
5.【答案】B
【解析】由于，其中，
所以.故选B.
6.【答案】B
【解析】注意到在上都是增函数，
因此也是定义域内的增函数，
由于，
因此在必有实数根.故选B.
7.【答案】A
【解析】由题设知，则，因此，可得.故选A.
8.【答案】C
【解析】因为偶函数在上是增函数，且，
所以在上的最大值为2.所以只需，
即对任意的恒成立即可，
令，则即
解得或.故选C.
9.【答案】AC
【解析】对正确；
对：角也是第一象限角，不是锐角，错误；
对C：在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为正确；
对D：终边在上的角的集合是，D错误.故选AC.
10.【答案】ABC
【解析】对于的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
对于的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
对于的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
对于，所以是同一函数.故选ABC.
11.【答案】ABC
【解析】由解析式可得图象如图所示，
由得：，
当时，，不等式无解；
当时，由得：，
若不等式恰有1个整数解，则整数解为3，
又，可得；
当时，由得：，若不等式恰有1个整数解，只需.
综上所述：实数的取值范围为.故选ABC.
12.【答案】AD
【解析】对于，因为，则，又，则，故A正确；
对于B，由为奇函数，但是未知其单调性，故B错误；
对于，由，可得，则，解集为，故C错误；
对于D，的定义域为，则可得或，故D正确.故选AD.
13.【答案】
【解析】令可得，则定义域为.
14.【答案】
【解析】，由于，所以，故，当且仅当时等号成立，故最大值为.
15.【答案】
【解析】依题意，由，得，由解得，因此
显然函数在上单调递减，取值集合为，在上单调递增，取值集合是，所以函数的值域为.
16.【答案】
【解析】，
因为在区间上是增函数，所以，即.
17.【答案】（1）3（2）4
【解析】（1）（1
；
（2）原式.
18.【答案】（1）（2）
【解析】（1）由，有，
解得或，
又由为锐角，可得，故有，
有；
（2）由，
有
.
19.【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意可知在上单调递增，在上单调递减，于是其值域为；
（2），
因为函数的一个零点为2，所以，解得.
所以，
令，解得.
所以函数的其余零点为0，4.
20.【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，所以
解得，所以的解析式为；
（2）由，可得，则，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，所以当时，取得最小值1.
所以的取值范围为.
21.【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意得即，
所以实数的取值范围为；
（2）由（1）知，当时，方程有两个实数根，可知，
于是，
因为要求的值为整数，且为整数，，此时分子应当不小于分母，
所以，即，则，
令，此时为整数，则满足题意.
22.【答案】（1（2）
【解析】（1）依题意可得方程在内只有一个实数解，
即在内只有一个实数解，所以，
所以的取值范围为；
（2）因为，所以当时，，
则.
因为，所以在上为减函数，
所以在上的最大值为，最小值为，
所以当时，，
由，得，即，又由，
所以解得，故的取值范围为.
