第9章 中心对称图形——平行四边形
单元大概念素养目标
单元大概念素养目标 对应新课标内容
认识旋转,掌握旋转的性质、掌握旋转作图 通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转,探索它的基本性质……【P68】
认识中心对称、中心对称图形、并掌握它们的性质 了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它们的基本性质……认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形【P68】
了解四边形的不稳定性,掌握平行四边形的性质与判定 了解四边形的不稳定性.探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理【P66】
掌握矩形、菱形、正方形的性质与判定,掌握平行四边形与它们之间的关系 探索并证明矩形、菱形的性质定理、判定定理;正方形既是矩形,又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系【P66】
理解两平行线间的距离处处相等 理解两条平行线之间距离的概念,能度量两条平行线之间的距离【P66】
学会运用反证法 通过实例体会反证法的含义【P68】
掌握三角形中位线定理 探索并证明三角形的中位线定理【P67】
9.1 图形的旋转
基础过关全练
知识点1 旋转的相关概念
1.下列运动属于旋转的是( )
A.火箭升空的运动
B.足球在草地上滚动
C.大风车运动的过程
D.传输带上物体运输的过程
2.(2023江苏省天一中学月考)下列选项中,图形①既可经过平移,又可经过旋转得到图形②的是( )
A B C D
3.如图,△ABC绕点C旋转得到△DEC,点E在边AB上,∠ACB=45°,∠ACE=15°.
(1)旋转中心是 ;
(2)点A与点 是对应点;
(3)旋转角是 ;旋转角的度数为 °.
知识点2 旋转的性质
4.(2023江苏苏州立达中学期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1 cm,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C',且使点C'落在AB边上,连接BB',则BB的长度是( )
A.1 cm B.2 cm
C. cm D. cm
5.如图,在Rt△ADF中,∠FAD=90°,AF=3,AD=4,将△ADF绕点A顺时针旋转得到△ABE,且点E落在AD边上,连接BD.
(1)指出DF与BE的位置关系,并说明理由;
(2)求△BDF的面积.
知识点3 旋转作图
6.【一题多解】如图,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在格点上,将△ABC绕点B顺时针旋转90°,得到△A'BC',其中点A的对应点是点A',点C的对应点是点C'.
(1)画出△A'BC';
(2)指出AC与A'C'的位置关系,并说明理由.
能力提升全练
7.(2023江苏苏州高新区月考,4,★☆☆)在如图所示的4×4正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定角度,得到△M1N1P1,则旋转中心是( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
8.(2023天津中考,11,★☆☆)如图,△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点B,C的对应点分别是点D,E,且点E在BC的延长线上,连接BD,则下列结论一定正确的是( )
A.∠CAE=∠BED B.AB=AE
C.∠ACE=∠ADE D.CE=BD
9.(2023江苏苏州星湾学校期中,8,★★☆)如图,在△ABC中,∠CAB=20°,∠ABC=30°,将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB'C',以下结论:①BC=B'C';②AC∥C'B';③C'B'⊥BB';④∠ABB'=∠ACC',其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
10.(2023江苏徐州三十五中期中,14,★☆☆)将如图所示的正方形绕中心至少旋转 度能与自身重合.
11.【“K”型全等模型】(2023江苏泰州姜堰月考,16,★★☆)如图,在△OAB中,OA=OB,顶点A的坐标为(5,0),P是OA边上一动点,将点P绕点C(0,1)逆时针旋转90°,若点P的对应点P'恰好落在AB边上,则点P'的坐标为 .
12.(2023江苏宿迁沭阳联考,19,★★☆)如图,在△ABC中,AC=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转60°,得到△ADE,连接BD,BE.
(1)判断△ABD的形状,并说明理由;
(2)求证:BE平分∠ABD.
素养探究全练
13.【推理能力】探索新知:
如图①,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍,则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.
(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”.(填“是”或“不是”)
(2)如图②,若∠MPN=α,且射线PQ是∠MPN的“巧分线”,则∠MPQ= .(用含α的代数式表示出所有可能的结果)
深入研究:
如图②,若∠MPN=60°,且射线PQ绕点P从PN的位置开始,以每秒10°的速度逆时针旋转,当PQ与PN所夹的角为180°时停止旋转,设旋转的时间为t秒.
(3)当t为何值时,射线PM是∠QPN的“巧分线”
(4)若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转,并与PQ同时停止,请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值.
答案全解全析
基础过关全练
1.C 根据旋转的定义可知,大风车运动的过程是旋转.故选C.
2.D A、B、C选项中的图形①只能经过旋转得到图形②,不符合题意;只有D选项中的图形①既可经过平移,又可经过旋转得到图形②,符合题意.故选D.
3.答案 (1)点C (2)D (3)∠BCE,∠ACD;30
解析 (1)因为△ABC绕点C旋转得到△DEC,所以旋转中心是点C.
(2)由题意得,点A绕点C旋转得到点D,所以点A的对应点是点D.
(3)由旋转角的定义知,∠BCE,∠ACD均是旋转角,
∵∠ACB=45°,∠ACE=15°,
∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=45°-15°=30°,
∴旋转角的度数为30°.
4.B 由题意知,在Rt△ABC中,∠ABC=30°,∴AB=2AC=2 cm,
由旋转的性质得,∠B'AB=60°,AB'=AB,
∴△ABB'是等边三角形,∴BB'=AB=2 cm,故选B.
5.解析 (1)DF⊥BE,理由如下:如图,延长BE,交DF于点G,
根据旋转的性质可得∠BEA=∠F,∠BAE=∠DAF=90°,∴∠ABE+∠BEA=90°,∴∠ABE+∠F=90°,
∴在△BFG中,∠BGF=90°,即DF⊥BE.
(2)∵将△ADF绕点A顺时针旋转得到△ABE,
∴AB=AD=4,
∴BF=AF+AB=7,
∴S△BDF=BF·AD=×7×4=14.
6.解析 (1)如图,△A'BC'即为所求.
(2)AC⊥A'C',理由如下:
解法一:如图,以AC和A'C'分别为斜边作Rt△ACD,Rt△A'C'D',使CD=A'D'=2,AD=C'D'=5,延长AC交A'C'于点E,设AC交C'D'于点F,
由旋转得AC=A'C',
又∵CD=A'D',
∴△CAD≌△A'C'D',
∴∠A'C'D'=∠CAD,
∵C'D'⊥AA',
∴∠AFD'+∠D'AF=90°.
∵∠AFD'=∠C'FE,
∴∠A'C'D'+∠C'FE=90°,
∴∠C'EF=90°,∴AC⊥A'C'.
解法二(快解):如图,延长AC交A'C'于H,设AC交A'B于点O.
由旋转的性质得,∠BA'C'=∠A,
∵∠AOB=∠A'OH,
∴∠A'HA=∠ABO=90°,
∴AC⊥A'C'.
能力提升全练
7.B 如图,连接PP1,作PP1、NN1的垂直平分线,
由图可知两条垂直平分线的交点为点B,
故旋转中心是点B.
故选B.
8.A 如图,设AD与BE的交点为O,∵△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,∴∠ABC=∠ADE,∠BAD=∠CAE,又∵∠AOB=∠DOE,∴∠BED=∠BAD=∠CAE,
故选A.
9.B ①∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB'C',∴BC=B'C',故①正确;②由旋转的性质可得∠BAB'=50°,∠AB'C'=∠ABC=30°,∵∠CAB=20°,∴∠B'AC=∠BAB'-∠CAB=30°,∴∠AB'C'=∠B'AC,∴AC∥C'B',故②正确;③在△BAB'中,∵AB=AB',∠BAB'=50°,∴∠AB'B=∠ABB'=×(180°-50°)=65°,∴∠BB'C'=∠AB'B+∠AB'C'=65°+30°=95°,∴C'B'与BB'不垂直,故③不正确;④在△ACC'中,AC=AC',∠CAC'=50°,∴∠ACC'=×(180°-50°)=65°,∴∠ABB'=∠ACC',故④正确.
综上,正确的是①②④.故选B.
10.答案 90
解析 由于正方形是旋转对称图形,旋转的最小角度为=90°,
故正方形绕中心至少旋转90°能与自身重合.
11.答案 (1,4)
解析 如图,过P'作P'H⊥BC交BC于点H,
∵将点P绕点C(0,1)逆时针旋转90°得到点P',∴PC=P'C,∠PCP'=90°,∴∠PCO+∠P'CH=90°,
∵∠PCO+∠OPC=90°,
∴∠OPC=∠HCP',在△OPC和△HCP'中,∴△OPC≌△HCP'(AAS),
∴P'H=OC=1,
∵OB=OA=5,∠AOB=90°,∴∠OBA=45°,∴△BHP'为等腰直角三角形,∴BH=HP'=1,∴OH=OB-BH=4,∴P'(1,4),故答案为(1,4).
模型解读 “K”型全等模型也称一线三等角模型,三个相等的角的顶点在同一条直线上,根据角的关系,可求得两个三角形中两组角分别相等,再根据一组边对应相等,可证明三角形全等.如果某题中有三个等角的顶点在同一条直线上,就可以用“K”型全等模型进行求解.
12.解析 (1)∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,∴AB=AD,∠BAD=60°,∴△ABD为等边三角形.
(2)证明:∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,∴AE=AC,DE=BC,
∵AC=BC,∴AE=DE,∵△ABD为等边三角形,∴BA=BD,
又∵BE=BE,∴△ABE≌△DBE(SSS),
∴∠ABE=∠DBE,∴BE平分∠ABD.
素养探究全练
13.解析 (1)是.
(2)当∠MPQ=α或α或α时,射线PQ是∠MPN的“巧分线”.
(3)当射线PM为∠QPN的“巧分线”时,存在以下三种情况:
(i)如图①,当∠MPN=2∠QPM时,10t=60+×60,解得t=9;
(ii)如图②,当∠QPN=2∠MPN时,10t=2×60,解得t=12;
(iii)如图③,当∠QPM=2∠MPN时,10t=60+2×60,解得t=18.
故当t为9或12或18时,射线PM是∠QPN的“巧分线”.
图① 图② 图③
(4)当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时,存在以下三种情况:
(i)当∠MPQ=2∠QPN时,10t=(5t+60),解得t=2.4;
(ii)当∠MPN=2∠QPN时,10t=(5t+60),解得t=4;
(iii)当∠QPN=2∠MPQ时,10t=(5t+60),解得t=6.
故当t为2.4或4或6时,射线PQ是∠MPN的“巧分线”.
