第十九章 一次函数
19.2 一次函数
19.2.2 一次函数(2)
基础过关全练
知识点1 一次函数解析式的确定
1.已知一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象经过点(0,-1),且y的值随x值的增大而增大,则这个一次函数的表达式可能是
( )
A.y=-2x+1 B.y=2x+1
C.y=-2x-1 D.y=2x-1
2.(2022广东深圳外国语学校月考)直线PQ上两点的坐标分别是P(-20,5),Q(10,20),则这条直线所对应的一次函数的解析式为( )
A.y=x+15 B.y=2x
C.y=x-15 D.y=3x-10
3.如图,一次函数y=x+6的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,过点B的直线l平分△ABO的面积,则直线l的函数表达式为( )
A.y=x+6 B.y=x+6
C.y=x+6 D.y=x+6
4.【教材变式·P99T6】已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x-2成正比例,当x=1时,y=0;当x=-3时,y=4.当x=3时,y的值为 .
5.【转化思想】(2023河南南阳新野期中)已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(-1,-1)和点B(1,-3).
(1)求一次函数的表达式;
(2)请在x轴上找到一点P,使得PA+PB的值最小,并求出P的坐标.
知识点2 一次函数的应用
6.【新独家原创】赣南脐橙橙红鲜艳,肉质脆嫩、化渣,风味浓甜芳香,深受大家喜爱.某水果店老板以每千克6元的价格购进若干千克赣南脐橙.销售了部分后,将余下的赣南脐橙每千克降价4元进行促销,全部售完,销售单价y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示,则降价后y与x的函数解析式是( )
A.y=8x-200 B.y=8x+200
C.y=6x+180 D.y=6x-180
7.【跨学科·物理】在测量液体密度的实验中,小华同学测得液体和烧杯的总质量与液体体积的关系如图所示,则下列选项中不正确的是( )
A.空烧杯的质量是168 g
B.液体的质量与液体的体积满足一次函数关系
C.液体的密度是900 kg/m3
D.当液体体积为60 cm3时,液体和烧杯的总质量为204 g
8.【跨学科·物理】已知弹簧在一定限度内,它的长度y(厘米)与所挂重物质量x(千克)是一次函数关系.如果经过测量,不挂重物时弹簧长度是7厘米,挂上2.5千克重物时弹簧长度是8厘米,那么弹簧长度y(厘米)与所挂重物质量x(千克)的函数解析式是 .(不需要写出自变量的取值范围)
9.【中华优秀传统文化】我国传统的计重工具——秤的应用,方便了人们的生活.如图1,可以用秤砣到秤纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的质量.称重时,当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时,秤钩所挂重物质量为y(克),则y是x的一次函数.下表为若干次称重时所记录的一些数据.
x(厘米) 1 2 4 7 11 12
y(克) 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50
(1)在上表x,y的数据中,发现有一对数据记录错误,在图2中,通过描点的方法,观察判断哪一对是错误的.
(2)根据(1)的发现,问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时,秤钩所挂重物质量是多少
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10.(2021辽宁营口中考,9,★★☆)已知一次函数y=kx-k的图象过点(-1,4),则下列结论正确的是( )
A.y随x的增大而增大
B.k=2
C.直线过点(1,0)
D.与坐标轴围成的三角形的面积为2
11.(2023广东汕头期末,9,★★☆)如图,一次函数y=x-4的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B,过点A作直线l将△ABO分成周长相等的两部分,则直线l的函数表达式为( )
A.y=x-1 B.y=x-2
C.y=x-3 D.y=x-2
12.(2023黑龙江绥化模拟,11,★★☆)某容器装有一个进水管和三个相同的出水管,从某时刻开始的4分钟内只进水不出水,在随后的8分钟内在进水的同时开放一个出水管出水.每分钟单个进水管和出水管的进、出水量是两个常数,容器内的水量y(单位:升)与时间x(单位:分钟)的关系如图所示,下列说法正确的是( )
A.每分钟一个进水管进水5升
B.每分钟一个出水管出水3.25升
C.当12≤x≤24时,y随x变化的函数关系式为y=-x+60
D.当12≤x≤24时,开放了1个进水管,1个出水管
13.【一题多解】(2023江苏苏州中考,14,★☆☆)已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(-1,2),则k2-b2= .
14.(2023浙江温州中考,20,★★☆)如图,在直角坐标系中,点A(2,m)在直线y=2x-上,过点A的直线交y轴于点B(0,3).
(1)求m的值和直线AB的函数表达式;
(2)若点P(t,y1)在线段AB上,点Q(t-1,y2)在直线y=2x-上,求y1-y2的最大值.
15.(2022吉林长春中考,21,★★☆)已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,沿此公路相向而行,甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇,再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地;乙车匀速行驶至A地,两车到达各自的目的地后停止,两车距A地的路程y(千米)与各自的行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示.
(1)m= ,n= ;
(2)求两车相遇后,甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式;
(3)当乙车到达A地时,求甲车距A地的路程.
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16.【模型观念】新一轮降雨防范及重要水库调度工作中发现,某水库蓄水量达到最大值时,进行开闸泄洪.下图是该水库在降雨过程中蓄水量V(m3)与时间t(h)之间的函数关系.
(1)求线段DE的函数解析式;
(2)若蓄水量小于400 m3,将关闭闸口停止泄洪,求闸口打开了多长时间.
17.【模型观念】(2022河北中考)如图,平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(-8,19),B(6,5).
(1)求AB所在直线的解析式.
(2)某同学设计了一个动画:
在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,便得到射线CD,其中C(c,0).当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出.
①若有光点P弹出,试推算m,n应满足的数量关系;
②当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段AB就会发光,求此时整数m的个数.
答案全解全析
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1.D ∵一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象经过点(0,-1),且y的值随x值的增大而增大,∴b=-1,k>0,故选D.
2.A 设直线y=kx+b经过点P(-20,5),Q(10,20),
∴解得∴y=x+15.
3.D ∵一次函数y=x+6的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,∴令y=0,则x=-8,令x=0,则y=6,∴A(-8,0),B(0,6),∵过点B的直线l平分△ABO的面积,∴AC=OC,∴C(-4,0),设直线l的函数表达式为y=kx+6(k≠0),把C(-4,0)代入得-4k+6=0,解得k=,∴直线l的函数表达式为y=x+6,故选D.
4.答案 -2
解析 设y1=k1x,y2=k2(x-2),则y=k1x+k2(x-2),
依题意,得解得
∴y=-x-(x-2)=-x+1,把x=3代入y=-x+1,得y=-2.
∴当x=3时,y的值为-2.
5.解析 (1)把A(-1,-1),B(1,-3)代入y=kx+b,得解得∴一次函数的表达式为y=-x-2.
(2)如图,作A关于x轴对称的点A1,连接A1B交x轴于点P,则点P即为所求,
由对称知A1的坐标为(-1,1),设直线A1B的解析式为y=ax+c(a≠0),将A1(-1,1),B(1,-3)代入,得解得
∴y=-2x-1,令y=0,得-2x-1=0,
解得x=-,∴P.
6.B 由图象可知,降价前销售单价为600÷50=12(元),
∵每千克降价4元,∴降价后赣南脐橙的销售单价是12-4=8(元),∴降价后销售量为(680-600)÷8=10(千克),∴赣南脐橙一共有50+10=60(千克),设降价后y与x的函数解析式为y=kx+b(k≠0),把(50,600),(60,680)代入,得解得∴降价后y与x的函数解析式为y=8x+200.
7.A 设m与V的函数关系式为m=kV+b(k≠0),根据题图可知解得∴m=0.9V+150,当V=0时,m=150,即空烧杯的质量是150 g,故选项A符合题意;
函数图象是一条线段,则液体的质量与液体的体积满足一次函数关系,故选项B不符合题意;
由液体的密度=知,实验的液体的密度为=0.9 g/cm3=900 kg/m3,故选项C不符合题意;把V=60代入m=0.9V+150,得m=204,∴当液体体积为60 cm3时,液体和烧杯的总质量为204 g,故选项D不符合题意.故选A.
8.答案 y=0.4x+7
解析 设弹簧长度y(厘米)与所挂重物质量x(千克)的函数解析式是y=kx+b(k≠0),
由题意可得解得
故弹簧长度y(厘米)与所挂重物质量x(千克)的函数解析式是y=0.4x+7.
9.解析 (1)描点、连线,如图,
观察图象可知x=7,y=2.75这组数据错误.
(2)设y=kx+b(k≠0),把(1,0.75),(2,1)代入可得解得∴y=x+,
当x=18时,y=×18+=5.
答:秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时,秤钩所挂重物质量是5克.
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10.C 把点(-1,4)代入一次函数y=kx-k,得4=-k-k,解得k=-2,∴y=-2x
+2,A.∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小,选项A不符合题意;B.k=-2,选项B不符合题意;C.当y=0时,-2x+2=0,解得x=1,∴一次函数y=-2x+2的图象与x轴的交点为(1,0),选项C符合题意;D.当x=0时,y=-2×0+2=
2,∴图象与坐标轴围成的三角形的面积为×1×2=1,选项D不符合题意.故选C.
11.C 设直线l与y轴交于点C,∵直线l把△ABO分成周长相等的两部分,∴AO+OC=AB+BC,当x=0时,y=-4,∴B(0,-4),∴OB=4,当y=0时,x-4=0,解得x=3,∴A(3,0),∴OA=3,∴AB==5,
∵AO+OC=AB+BC,∴3+OC=5+4-OC,解得OC=3,∴C(0,-3),设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),把A(3,0),C(0,-3)代入得解得∴直线l的解析式为y=x-3.故选C.
12.A 由图象可得,每分钟一个进水管进水20÷4=5(升),故选项A正确;当12≤x≤24时,设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),∵点(16,20),
(24,0)在该函数图象上,∴解得∴当12≤x≤24时,y与x的函数关系式为y=-x+60,故选项C错误;当x=12时,y=-×
12+60=30,则出水管的速度为5-=3.75(升/分钟),故选项B错误;∵3.75×2-5=2.5,∴当12≤x≤24时,开放了1个进水管,2个出水管,故选项D错误.故选A.
13.答案 -6
解析 解法一:将点(1,3)和(-1,2)代入y=kx+b得解得∴k2-b2=-=-6.
解法二:将点(1,3)和(-1,2)代入y=kx+b得∴k2-b2=(k+b)(k-b)=-(k+b)(-k+b)=-3×2=-6.
14.解析 (1)把点A(2,m)代入y=2x-得m=.
设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把A,B(0,3)代入,得解得
∴直线AB的函数表达式为y=-x+3.
(2)∵点P(t,y1)在线段AB上,∴y1=-t+3(0≤t≤2),∵点Q(t-1,y2)在直线y=2x-上,∴y2=2(t-1)-=2t-,∴y1-y2=-t+3-=-t+,∵-<0,
∴y1-y2随t的增大而减小,∴当t=0时,y1-y2取得最大值,最大值为.
15.解析 (1)由题意知,m=200÷100=2,
∴n=m+4=2+4=6.
(2)设所求函数关系式为y=kx+b(k≠0),将(2,200),(6,440)代入得解得
∴y与x之间的函数关系式为y=60x+80(2≤x≤6).
(3)乙车的速度为(440-200)÷2=120(千米/时),
∴乙车到达A地所需时间为440÷120=(小时),
当x=时,y=60×+80=300,∴当乙车到达A地时,甲车距A地的路程为300千米.
素养探究全练
16.解析 (1)设线段DE的函数解析式为V=kt+b(k≠0,3≤t≤5),将D(3,1 200),E(5,0)代入函数解析式,得解得∴线段DE的函数解析式为V=-600t+3 000(3≤t≤5).
(2)将V=400代入V=-600t+3 000,得-600t+3 000=400,解得t=,
∴闸口打开了-3=(h).
17.解析 (1)设AB所在直线的解析式为y=kx+t(k≠0),将A(-8,19),B(6,5)代入,
得解得
∴AB所在直线的解析式为y=-x+11.
(2)①若有光点P弹出,则c=2,∴C(2,0),把x=2,y=0代入y=mx+n,得2m+n=0.
②设光点P击中线段AB上的点为(a,b),
则b=-a+11,∴a=11-b(5≤b≤19),
当b是整数时,a也是整数.
∵点P在y=mx+n的图象上,2m+n=0,
∴b=ma-2m,∴m===-1.
只有当b=6,8,10,12,18时,m为整数,
∴整数m的个数是5.
