第十八章 素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2023广西玉林期末)在平行四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶
∠D的值可以是( )
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1
C.2∶3∶2∶3 D.1∶1∶2∶2
2.(2023广东广州市华侨外国语学校期末)如图,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AB∥DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD
3.(2022广东中考)如图,在△ABC中,BC=4,点D,E分别为AB,AC的中点,则DE=( )
A. B. C.1 D.2
4.(2023湖南株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形边的长度.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A、B对应的刻度分别为1、7,则CD=( )
A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm
5.如图,菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为3 cm,则菱形ABCD的周长为( )
A.10 cm B.12 cm C.16 cm D.24 cm
6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAD=3∠BAE,则∠EAO的度数是( )
A.60° B.67.5° C.45° D.22.5°
7.(2023浙江宁波期末)如图,根据平行四边形中所标注的角的度数和线段的长度,一定能判定其为菱形的是( )
8.(2022山东聊城中考)要检验一个四边形的桌面是不是矩形,可行的测量方案是( )
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是不是90°
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
9.(2021江苏泰州中考)如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设∠CBE=α,则∠AFP=( )
A.2α B.90°-α C.45°+α D.90°-α
10.【新考向·尺规作图】(2023山东日照一模)如图,在矩形ABCD中,AB
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.如图,在平行四边形ABCD中,∠DAB的平分线AE交CD于点E,若∠AED=40°,则∠B的度数是 .
12.(2023湖南长沙二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,DE平分∠ADC,BC=4,则DE的长是 .
13.【新独家原创】如图1,有一个边长为2的正方形MNPQ,将其分割成8块(其中I、J、H、G分别为OM、ON、OP、OQ的中点),再将其组合成如图2所示的矩形ABCD,则这个矩形ABCD的对角线长为 .
14.如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,四边形DECF的周长为18,则AC+BC的长为 .
15.(2021北京中考)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AF=EC,只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形,这个条件可以是 (写出一个即可).
16.(2021江苏连云港中考)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE⊥AD,垂足为E,AC=8,BD=6,则OE的长为 .
17.(2023广东珠海期中)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=12,AC=16,
P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF的中点,则PM长的最小值为 .
18.(2020山东枣庄中考)如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是 .
三、解答题(共46分)
19.(2023山东枣庄期末)(8分)如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,E是DC边上一点,连接EO并延长交AB于点F.若OA=OC,AB∥CD.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若DE=1,AC+BD=10,△AOB的周长为9,求AF的长.
20.(2023四川内江中考)(8分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证:FA=BD;
(2)连接BF,若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形.
21.(2023上海宝山期末)(10分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E为CD的中点,连接OE并延长至点F,使EF=EO,连接DF、CF.
(1)求证:四边形DOCF是菱形;
(2)已知AB=6,∠DOE=30°,求AC的长.
22.(2020北京中考)(10分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF,连接OE.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
23.(10分)课本再现:
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证:四边形CEDF是正方形;
深入探究:
(2)如图2,在△ABC中,∠ACB=60°,CD平分∠ACB,过点D作DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,点H是CD的中点,连接HE,FH,EF.
①判断四边形DFHE的形状,并证明;
②已知CD=4,求FE的长.
答案全解全析
1.C ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,∴选项C符合题意,故选C.
2.C 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形知选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形知选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;根据一组对边平行,另一组对边相等无法判定四边形ABCD是平行四边形,故选项C中的条件不能判定四边形ABCD是平行四边形;根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形知选项D中的条件可以判定四边形ABCD是平行四边形.故选C.
3.D ∵点D,E分别为AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=BC=×4=2,故选D.
4.B 由题图可得,AB=7-1=6(cm),∵∠ACB=90°,点D为线段AB的中点,∴CD=AB=3 cm,故选B.
5.D ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=CD=BC,AC⊥BD,
又∵点M是AB的中点,∴AB=2OM=6 cm,
∴菱形ABCD的周长=4×6=24(cm),故选D.
6.C ∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,OA=OB,
∴∠BAE+∠EAD=90°,∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE+3∠BAE=90°,
∴∠BAE=22.5°,∵AE⊥BD,∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,
∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°,∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°,故选C.
7.C 选项A,由题图中标注的角的度数可知平行四边形的邻边不相等,不能判定为菱形,故选项A不符合题意;选项B,由题图中标注的线段的长度不能得到平行四边形的邻边相等,不能判定为菱形,故选项B不符合题意;选项C,∵62+82=102,∴对角线互相垂直,∴根据题图中标注的线段的长度能判定为菱形,故选项C符合题意;选项D,由题图中标注的角的度数可知平行四边形的对角线不互相垂直,不能判定为菱形,故选项D不符合题意.故选C.
8.C A.测量两条对角线是否相等,不能判断是不是平行四边形,更不能判断是不是矩形,故选项A不符合题意;B.度量两个角是不是90°,不能判断是不是平行四边形,更不能判断是不是矩形,故选项B不符合题意;C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等,可以判断是不是矩形,故选项C符合题意;D.测量两组对边是否分别相等,可以判断是不是平行四边形,但不能判断是不是矩形,故选项D不符合题意.故选C.
9.B ∵四边形PBEF为正方形,∴∠PBE=90°,PF=PB,
∵∠CBE=α,∴∠PBC=90°-α,∵四边形APCD是正方形,
∴∠APF=90°=∠CPB,AP=CP.在△APF和△CPB中,
∴△APF≌△CPB(SAS),∴∠AFP=∠PBC=90°-α.故选B.
10.C 根据作图知EF垂直平分AC,∴AO=CO,
∵AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,∵OA=OC,AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形,故结论①正确;∴AF=CF,∴∠FAC=∠FCA,∵∠AFB=∠FAO+∠ACB,∴∠AFB=2∠ACB,故结论②正确;S四边形AECF=CF·CD=AC·EF,故结论③不正确;∵四边形AECF为菱形,∴∠FAC=∠EAC,∵AF平分∠BAC,∴∠BAF=∠FAC=∠CAD=×90°=30°,∴AF=2BF,∴AB=BF,∵CF=AF,∴CF=2BF=AB,故结论④不正确.故选C.
11.答案 100°
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,AD∥BC,
∴∠EAB=∠DEA=40°,∠DAB+∠B=180°,∵AE平分∠DAB,
∴∠DAB=2∠BAE=80°,∴∠B=180°-∠DAB=100°.
12.答案 2
解析 ∵∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,∴AD=CD=AB,∵DE平分∠ADC,∴AE=EC,∴ED是△ABC的中位线,∴DE=BC=2.
13.答案
解析 如图,由题意知CE=EF=FB=AB,
∵原正方形的边长AB=2,∴CB=3,∴矩形ABCD的对角线长为=.
14.答案 18
解析 ∵D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,∴DE,DF都是△ABC的中位线,EC=AC,FC=BC,∴DF=AC=EC,DE=BC=FC,∵四边形DECF的周长为18,∴DE+FC+DF+EC=18,∴2DE+2DF=18,
∴AC+BC=18.
15.答案 AE=AF(答案不唯一)
解析 答案不唯一,如添加条件AE=AF,在矩形ABCD中,AD∥BC,即AF∥CE,∵AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形,∵AE=AF,∴四边形AECF是菱形.
16.答案
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=CO,DO=BO.∵AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,∴AD===5.又∵OE⊥AD,∴=,∴=,解得OE=.
17.答案 4.8
解析 连接AP,如图所示,
∵∠BAC=90°,AB=12,AC=16,∴BC==20,∵PE⊥AB,PF⊥AC,∴四边形AFPE是矩形,∴EF=AP,EF与AP互相平分,∵M是EF的中点,∴M为AP的中点,∴PM=AP,当AP⊥BC时,AP最短,同样PM也最短,此时AP==9.6,∴PM=AP=4.8,∴PM长的最小值为4.8.
18.答案 8
解析 如图,连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD为正方形,AC=8,∴BD⊥AC,OD=OB=OA=OC=4,
∵AE=CF=2,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF=2,
∴四边形BEDF为平行四边形,
∵BD⊥EF,∴四边形BEDF为菱形,∴DE=DF=BE=BF,
由勾股定理得DE===2,
∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2=8.
19.解析 (1)证明:∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO,∵OA=OC,∠BOA=
∠DOC,∴△BOA≌△DOC(ASA),∴OB=OD,∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=BD,OA=AC,∴OA+OB=
(AC+BD)=5,∵△AOB的周长为9,∴AB=9-(OA+OB)=4,∵AB∥CD,
∴∠ABO=∠CDO,∵∠BOF=∠DOE,OB=OD,∴△DOE≌△BOF,
∴BF=DE=1,∴AF=AB-BF=3.
20.证明 (1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,∵E为AD的中点,∴AE=DE,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=DC,∵D为BC的中点,∴BD=CD,∴AF=BD.
(2)∵AF=BD,AF∥BD,∴四边形ADBF是平行四边形,∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴四边形ADBF是矩形.
21.解析 (1)证明:∵E是CD的中点,∴CE=DE,
在△ODE和△FCE中,
∴△ODE≌△FCE(SAS),∴OD=CF.
同理可得OC=DF,∴四边形DOCF是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD,
∴四边形DOCF是菱形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AO=CO,∠BCD=90°,CD=AB=6,AC=BD,
∵E为CD的中点,∴OE是△BCD的中位线,∴OE∥BC,
∴∠CBD=∠DOE=30°,∴AC=BD=2CD=12.
22.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴DO=BO.∵E是AD的中点,∴EO∥AB.
∵EF∥OG,∴四边形OEFG是平行四边形.
∵EF⊥AB,∴∠EFB=90°,∴四边形OEFG是矩形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AB=AD=10.在Rt△AOD中,E为AD的中点,∴AE=AD=5,OE=AD=5.在Rt△AFE中,EF=4,∴AF===3.∵四边形OEFG是矩形,
∴FG=EO=5,∴BG=AB-AF-FG=2.
23.解析 (1)证明:∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠DFC=90°,∠DEC=90°,
∵∠ACB=90°,∴四边形CEDF是正方形.
(2)①四边形DFHE为菱形.
证明:∵CD平分∠ACB,∠ACB=60°,∴∠FCD=∠ECD=30°,
∵DE⊥BC,DF⊥AC,∴DF=DE=CD,∵点H是CD的中点,
∴FH=CD,HE=CD,∴DF=DE=HF=HE,∴四边形DFHE为菱形.
②设DH与EF的交点为O.∵CD=4,点H是CD的中点,∴HD=2,
∵四边形DFHE为菱形,∴HO=DH=,
∵HF=CD=DH=2,∴FE=2OF=2=2=2.
