第二十章 数据的分析
20.2 数据的波动程度
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知识点1 方差
1.(2022山东滨州中考)今年我国小麦大丰收,农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦,测得其麦穗长(单位:cm)分别为8,8,6,7,9,9,7,8,
10,8,那么这一组数据的方差为( )
A.1.5 B.1.4 C.1.3 D.1.2
2.【新独家原创】小林的妈妈利用业余时间在小区摆地摊,他对某一周7天的收入数据进行分析,并列出方差公式:s2=×[(90-)2×2+(100-)2×3+(110-)2×2],则该组数据的平均数和方差分别为( )
A.100, B.100,60
C.110, D.110,70
3.(2023贵州遵义月考)一组数据a1,a2,a3的平均数为4,方差为3,数据3a1-2,3a2-2,3a3-2的方差是( )
A.3 B.9 C.12 D.27
4.张强同学每天坚持做俯卧撑,他记录了某一周每天做俯卧撑的个数,如图:
其中有一天的个数被墨汁覆盖了,但张强已经计算出这组数据的平均数为22,那么这组数据的方差是( )
A. B. C.1 D.
5.【新素材】2023年3月22日是第三十一届“世界水日”,联合国确定本届“世界水日”的主题为“Accelerating Change”.我市政府积极号召居民节约用水,为了解居民用水情况,在某小区随机抽查了10户家庭的月用水量,结果统计如图,则关于这10户家庭的月用水量,下列说法正确的是( )
A.众数是5 B.中位数是6
C.平均数是7 D.方差是8
6.【教材变式·P126T2】某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣,现有甲、乙两个厂家提供货源,它们的价格相同,品质也相近.质检员从两厂产品中各随机抽取15盒进行检测,测得它们的平均质量均为200克,每盒红枣的质量如图所示,则产品更符合规格要求的厂家是
(填“甲”或“乙”).
知识点2 用样本方差估计总体方差
7.【新素材】(2023福建厦门模拟)港珠澳大桥东起香港口岸人工岛,止于珠海洪湾立交,桥隧全长55 km,其中主桥29.6 km,由三座大跨度钢结构斜拉桥组成,它用超高抗拉强度的钢索将桥面拉住.桥梁建设方分别从甲、乙两家厂方供应的钢索中各随机抽取5根进行抗拉强度检测,数据统计如下表(单位:百吨).
甲、乙两厂钢索抗拉强度检测统计表
钢索编号 平均数 中位数 方差
① ② ③ ④ ⑤
甲厂 10 11 9 10 12 10.4 10 1.04
乙厂 10 8 12 7 13 10 a b
(1)求乙厂5根钢索抗拉强度的中位数a和方差b;
(2)若桥梁建设方从抗拉强度的总体水平和稳定性来评判两家供应厂的钢索质量,请判断哪家供应厂的钢索质量更好,并说明理由.
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8.【跨学科·体育与健康】(2023福建中考,8,★★☆)为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求,学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间(单位:分钟),并制作了如图所示的统计图.
根据统计图,下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述,正确的是( )
A.平均数为70分钟 B.众数为67分钟
C.中位数为67分钟 D.方差为0
9.(2023安徽芜湖模拟,6,★★☆)2022年4月21日是中国航天日,某校举办了以“航天点亮梦想”为主题的中学生知识竞赛,五位评委分别给甲队、乙队两组选手的评分如下:
甲队:8,7,9,8,8;乙队:7,9,6,9,9.
有下列说法:①从甲队、乙队得分的平均分看,他们的成绩没有差别;②从甲队、乙队得分的众数看,乙队的成绩比甲队好;③从甲队、乙队得分的中位数看,乙队的成绩比甲队好;④从甲队、乙队成绩的稳定性看,乙队的成绩比甲队好.其中正确的是( )
A.①② B.①③
C.①②③ D.①②③④
10.(2023山东东营中考,14,★☆☆)为备战东营市第十二届运动会,某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试,他们射击测试成绩的平均数(单位:环)及方差s2如下表所示:
甲 乙 丙 丁
9.6 8.9 9.6 9.6
s2 1.4 0.8 2.3 0.8
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应选择 .
11.(2023江苏扬州中考,21,★★☆)某校为了普及环保知识,从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛(满分100分),并对成绩进行整理分析,得到如下图表:
平均数 众数 中位数
七年级参赛学生成绩 85.5 m 87
八年级参赛学生成绩 85.5 85 n
根据以上信息,回答下列问题:
(1)填空:m= ,n= .
(2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、,则 (填“>”“<”或“=”).
(3)从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好
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12.【数据观念】(2023内蒙古赤峰中考)某校甲、乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛,从甲班和乙班各随机抽取10名学生,统计这部分学生的竞赛成绩,并对数据(成绩)进行了收集、整理、分析,下面给出了部分信息.
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩:85,78,86,79,72,91,79,71,70,89;
乙班10名学生竞赛成绩:85,80,77,85,80,73,90,74,75,81.
【整理数据】
班级 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
甲班 6 3 1
乙班 4 5 1
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 80 a b 51.4
乙班 80 80 80,85 c
【解决问题】根据以上信息,回答下列问题:
(1)填空:a= ,b= ,c= ;
(2)请你根据【分析数据】中的信息,判断哪个班成绩比较好,简要说明理由;
(3)甲班共有学生45人,乙班共有学生40人,按竞赛规定,80分及80分以上的学生可以获奖,估计这两个班可以获奖的总人数是多少.
答案全解全析
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1.D 这一组数据的平均数为×(8+8+6+7+9+9+7+8+10+8)=8,故这一组数据的方差为×[4×(8-8)2+(6-8)2+2×(7-8)2+2×(9-8)2+(10-8)2]=1.2.故选D.
2.A 由方差的计算公式得出这组数据分别为90、90、100、100、100、110、110,
∴这组数据的平均数为=100,
∴这组数据的方差为s2=×[(90-100)2×2+(100-100)2×3+(110-100)2×2]=,故选A.
3.D ∵数据a1,a2,a3的方差为3,∴数据3a1-2,3a2-2,3a3-2的方差是32×3=27.故选D.
4.A 设被墨汁覆盖的数是x,
则(21+22+x+23+20+23+23)÷7=22,解得x=22,
∴s2=×[(21-22)2+(22-22)2+(22-22)2+(23-22)2+(20-22)2+(23-22)2+(23-22)2]=,
故选A.
5.B 这组数据中6出现了6次,出现的次数最多,所以这组数据的众数为6;将数据从小到大排列,处于中间的两个数是6,6,所以这组数据的中位数是=6;这组数据的平均数为×(5×2+6×6+7×2)=6;这组数据的方差为×[2×(5-6)2+6×(6-6)2+2×(7-6)2]=0.4.所以四个选项中,A、C、D错误,B正确.故选B.
6.答案 甲
解析 从题图中折线可知,乙的起伏大,甲的起伏小,所以乙的方差大于甲的方差,
所以产品更符合规格要求的厂家是甲.
7.解析 (1)把乙厂5根钢索抗拉强度的数据从小到大排列为7,8,10,12,13,最中间的数是10,则中位数a=10,
方差b=×[(10-10)2+(8-10)2+(12-10)2+(7-10)2+(13-10)2]=5.2.
(2)甲厂的钢索质量更好.理由如下:
从平均数来看,甲厂的平均数是10.4,而乙厂的平均数是10,所以甲厂高于乙厂;从中位数来看,甲厂和乙厂一样;从方差来看,甲厂的方差是1.04,而乙厂的方差是5.2,所以甲厂的方差小于乙厂的方差,所以甲厂更稳定,所以从总体来看甲厂的钢索质量更好.
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8.B 根据折线图知小亮该周每天校外锻炼时间分别为65、67、70、67、75、79、88,
平均数是=73(分钟),故选项A错误;这组数据的众数是67分钟,故选项B正确;将这组数据从小到大排列为65、67、67、70、75、79、88,则中位数是70分钟,故选项C错误;这组数据的方差为×[(65-73)2+(67-73)2+(70-73)2+(67-73)2+(75-73)2+(79-73)2+(88-73)2]=,故选项D错误.故选B.
9.C 甲队得分的平均分为×(8+7+9+8+8)=8,
乙队得分的平均分为×(7+9+6+9+9)=8,
所以从甲队、乙队得分的平均分看,他们的成绩没有差别,故①说法正确;
甲队得分的众数为8,乙队得分的众数为9,
因为9>8,所以从甲队、乙队得分的众数看,乙队的成绩比甲队好,故②说法正确;
甲队得分的中位数为8,乙队得分的中位数为9,
所以从甲队、乙队得分的中位数看,乙队的成绩比甲队好,故③说法正确;
=×[3×(8-8)2+(7-8)2+(9-8)2]=0.4,=×[(7-8)2+3×(9-8)2+(6-8)2]=1.6,因为1.6>0.4,所以从甲队、乙队成绩的稳定性看,甲队的成绩比乙队好,故④说法错误.故选C.
10.答案 丁
解析 由题表知,甲、丙、丁的平均成绩较好,而丁成绩的方差更小,成绩更稳定,所以要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择丁.
11.解析 (1)七年级成绩中80分的最多,有3个,所以众数m=80,
将八年级成绩从小到大排列为76,77,85,85,85,87,87,88,88,97,所以中位数n==86.
(2)=×[(74-85.5)2+3×(80-85.5)2+(86-85.5)2+2×(88-85.5)2+(89-85.5)2+(91-85.5)2+(99-85.5)2]=46.05,=×[(76-85.5)2+(77-85.5)2+3×(85-85.5)2+2×(87-85.5)2+2×(88-85.5)2+(97-85.5)2]=31.25,∵46.05>31.25,∴>.
(3)七、八年级成绩的平均数相同,但七年级成绩的中位数较大,所以七年级的成绩较好.
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12.解析 (1)甲班成绩从低到高排列为70、71、72、78、79、79、85、86、89、91,故中位数a==79,众数b=79,
乙班成绩的方差c=×[2×(85-80)2+2×(80-80)2+(81-80)2+(77-80)2+(73-80)2+(74-80)2+(90-80)2+(75-80)2]=27.
(2)乙班成绩比较好.理由如下:
两个班成绩的平均数相同,乙班成绩的中位数、众数高于甲班,方差小于甲班,代表乙班成绩比甲班稳定,所以乙班成绩比较好.
(3)45×+40×=42(人).
答:估计这两个班可以获奖的总人数是42.
