第十九章 一次函数
单元大概念素养目标
单元大概念素养目标 对应新课标内容
理解常量、变量、函数值的概念,会确定自变量的取值范围 了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,会求函数值【P57】
理解正比例函数图象的特点,会画正比例函数的图象 认识正比例函数中两个变量之间的对应规律,会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律【P60】
理解一次函数图象的特点,掌握直线y=kx+b与直线y=kx之间的平移关系,会画它们的图象 会画出一次函数的图象;会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标;会根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0),探索并理解k值的变化对函数图象的影响【P60】
会用待定系数法求一次函数的解析式 能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式;会在不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式【P60】
认识一次函数与方程(组)、不等式(组)之间的联系 会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系【P60】
会用一次函数知识解决方案选择问题 能在实际问题中列出一次函数的表达式,并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题【P60】
19.1 函数
19.1.1 变量与函数
基础过关全练
知识点1 常量与变量
1.【真实情境】李师傅到单位附近的加油站加油,下图是所用的加油机上的数据显示牌,则其中的常量是( )
A.金额 B.油量
C.单价 D.金额和油量
2.水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,则圆的周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是( )
A.2是变量 B.π是变量
C.r是变量 D.C是常量
3.【新考法】如图,把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起,木条AB自由转动至AB'的位置.在转动过程中,下面的量是常量的为( )
A.∠BAC的度数 B.AB的长度
C.BC的长度 D.△ABC的面积
知识点2 函数的概念及函数值
4.【教材变式·P82T7】下列曲线中表示y是x的函数的是( )
A B C D
5.【跨学科·物理】(2023广东佛山期末)已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关,在一定范围内,其关系如表所示,下列说法错误的是( )
温度(℃) -20 -10 0 10 20 30
传播速度(m/s) 318 324 330 336 342 348
A.自变量是传播速度,因变量是温度
B.温度越高,传播速度越快
C.当温度为10 ℃时,声音10 s可以传播3 360 m
D.温度每升高10 ℃,传播速度增加6 m/s
6.在函数y=3x+4中,当x=1时,函数值为 ,当x= 时,函数值为10.
7.一种圆环如图所示,它的外圆直径是8 cm,环宽1 cm.
圆环扣在一起并拉紧,总长度、个数如下表:
圆环个数 1 2 3 4 5 …
圆环总长度 8 14 20 26 32 …
如果用x个这样的圆环扣在一起并拉紧,长度为y cm,则y与x之间的关系式是 .
8.【跨学科·地理】在学习地理时,我们知道:“海拔越高,气温越低”,海拔h(千米)与此高度处气温t(℃)的关系如表.
海拔h (千米) 0 1 2 3 4 5 …
气温t(℃) 20 14 8 2 -4 -10 …
根据上表,回答以下问题:
(1)写出气温t与海拔h的关系式.
(2)当气温是-40 ℃时,其海拔是多少
9.【教材变式·P74例1】一辆汽车的油箱中现有汽油50 L,它在高速公路上匀速行驶时每千米的耗油量固定不变.行驶了100 km时,油箱中剩下汽油40 L.假设油箱中剩下的油量为y(单位:L),已行驶的路程为x(单位:km).
(1)在这个变化过程中,y是x的函数吗
(2)写出y与x之间的函数关系式.
(3)汽车行驶了200 km时,油箱中还剩下多少汽油 行驶了320 km呢
知识点3 自变量的取值范围
10.(2022江苏无锡中考)函数y=中自变量x的取值范围是( )
A.x>4 B.x<4 C.x≥4 D.x≤4
11.(2023内蒙古包头一模)在函数y=中,自变量x的取值范围是( )
A.x≥3 B.x>3
C.x≠3 D.x≤3且x≠2
能力提升全练
12.(2022江苏常州中考,5,★☆☆)某城市市区人口x万人,市区绿地面积50万平方米,平均每人拥有绿地y平方米,则y与x之间的函数表达式为 ( )
A.y=x+50 B.y=50x
C.y= D.y=
13.(2023辽宁本溪期末,8,★★☆)根据如图所示的程序计算函数y的值,当输入的x值为-1和5时,输出的y值相等,则b等于( )
A.4 B.-4 C.-2 D.2
14.【易错题】(2023黑龙江齐齐哈尔中考,13,★☆☆)在函数y=+中,自变量x的取值范围是 .
15.(2022浙江宁波外国语学校月考改编,18,★★☆)将长为40 cm,宽为15 cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来,黏合部分的宽为5 cm.
(1)根据图形,将表格补充完整:
白纸张数 1 2 3 4 5 …
纸条长度(cm) 40 110 145 …
(2)设x张白纸黏合后的总长度为y cm,求y与x之间的关系式(不用写x的取值范围).
(3)你认为将若干张白纸黏合起来的总长度可能为2 024 cm吗 为什么
素养探究全练
16.【推理能力】将一张长方形的纸对折,如图①,可得到一条折痕,继续对折,对折时每条折痕与上次的折痕保持平行,如图②,连续对折3次后,可以得到7条折痕,如图③.
回答下列问题:
(1)对折4次可以得到 条折痕;
(2)写出折痕的条数y与对折次数x之间的函数关系式;
(3)求出对折10次后的折痕条数.
答案全解全析
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1.C 常量是固定不变的量,变量是变化的量,单价是不变的量,而金额随着油量的变化而变化,故选C.
2.C 根据变量与常量的定义可得,在C=2πr中,2,π为常量,r是自变量,C是因变量.故选C.
3.B 木条AB绕点A自由转动至AB'的过程中,AB的长度始终不变,故AB的长度是常量;而∠BAC的度数、BC的长度、△ABC的面积一直在变化,均是变量.故选B.
4.D 只有选项D满足“对于自变量x的每一个值,因变量y都有唯一确定的值与它对应”,其他选项都不满足.故选D.
5.A 自变量是温度,因变量是传播速度,故选项A说法错误;温度越高,传播速度越快,故选项B说法正确;当温度为10 ℃时,声音10 s可以传播3 360 m,故选项C说法正确;温度每升高10 ℃,传播速度增加6 m/s,故选项D说法正确.故选A.
6.答案 7;2
解析 当x=1时,y=3x+4=3×1+4=7.当函数值为10时,3x+4=10,解得x=2.
7.答案 y=6x+2
解析 由题意可得,把2个这样的圆环扣在一起并拉紧,其长度为8+(8-1-1)=14 cm,把3个这样的圆环扣在一起并拉紧,其长度为8+2×(8-1-1)=20 cm,把4个这样的圆环扣在一起并拉紧,其长度为8+3×(8-1-1)=26 cm,……,所以把x个这样的圆环扣在一起并拉紧,其长度y与x之间的关系式是y=8+(8-1-1)(x-1)=6x+2.
8.解析 (1)由题表可知,海拔每升高1千米,气温就减少6 ℃,所以t=20-6h.
(2)当t=-40时,20-6h=-40,解得h=10.
答:当气温是-40 ℃时,其海拔是10千米.
9.解析 (1)在这个变化过程中,y是x的函数.
(2)y=50-x.
(3)当x=200时,y=30;当x=320时,y=18.
答:汽车行驶了200 km时,油箱中还剩下30 L汽油,行驶了320 km时,油箱中还剩下18 L汽油.
10.D 由题意得4-x≥0,解得x≤4,故选D.
11.A 由题意得x-3≥0且2-x≠0,解得x≥3.故选A.
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12.C 由题意可得y与x之间的函数表达式为y=.
故选C.
13.A 当x=-1时,y=-3+b,当x=5时,y=6-5=1,
由题意得-3+b=1,解得b=4,故选A.
14.答案 x>1且x≠2
解析 由题意得x-1>0,且x-2≠0,
解得x>1且x≠2.
易错点 在求函数自变量的取值范围时,当二次根式在分母时,容易因忽视分母不等于0的情况而导致错误.
15.解析 (1)补充表格如下:
白纸张数 1 2 3 4 5 …
纸条长度 (cm) 40 75 110 145 180 …
(2)由(1)中表格可知,每增加1张白纸,总长度增加35 cm,所以y与x之间的关系式为y=40+35(x-1)=35x+5.
(3)不可能.理由如下:
当y=2 024时,2 024=35x+5,解得x=,
因为x为整数,所以将若干张白纸黏合起来的总长度不可能为2 024 cm.
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16.解析 (1)第1次对折有2-1=1条折痕,第2次对折有22-1=3条折痕,第3次对折有23-1=7条折痕,第4次对折有24-1=15条折痕,所以对折4次可以得到15条折痕.
(2)根据(1)可得到y=2x-1(x为正整数).
(3)当x=10时,y=210-1=1 023,
所以对折10次后的折痕条数为1 023.
