第五章 分式与分式方程
单元大概念素养目标
单元大概念素养目标 对应新课标内容
了解分式的概念,能确定分式有(无)意义、分式的值为0的条件,能利用分式的基本性质进行约分和通分 了解分式和最简分式的概念.【P56】 知道分式的分母不能为零,能利用分式的基本性质进行约分、通分,并化简分式【P59】
掌握分式的加、减、乘、除、乘方运算法则,能进行分式的各种运算 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将运算结果化为最简分式【P59】
理解分式方程的定义,掌握分式方程的解法 能解可化为一元一次方程的分式方程【P56】
会通过建立分式方程模型解决简单的实际问题 能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理【P59】
1 认识分式
基础过关全练
知识点1 分式的概念
1.(2023安徽阜阳阶段练)下列代数式属于分式的是( )
A. C.
2.(1)一箱苹果的售价为a元,箱子与苹果的总质量为m千克,箱子的质量为n千克,则每千克苹果的售价是 元;
(2)已知A、B两地相距10千米,甲从A地到B地步行需要t小时,乙骑自行车走同样的路程比甲少用1小时,则乙的速度可表示为 千米/时.
知识点2 分式有(无)意义及分式值为0的条件
3.(2023江苏苏州星湾学校月考)若分式有意义,则x的取值范围是( )
A.x>0 B.x≠0 C.x>1 D.x≠-1
4.(2023陕西宝鸡阶段练)若分式的值为0,则x的值为 .
5.已知分式.
(1)若分式无意义,求x的值;
(2)若分式的值为0,求x的值.
知识点3 分式的基本性质
6.(2023安徽蚌埠月考)若把分式(x,y均为正数)中x和y的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( )
A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的
C.缩小为原来的 D.扩大为原来的4倍
7.(2023广东茂名一模)下列等式中正确的是( )
A.
C.
8.分式可变形为( )
A.
知识点4 分式的约分和最简分式
9.下列分式中,是最简分式的是( )
A.
C.
10.(2023安徽阜阳统考)若=2,则的值为( )
A.-3 B.3 C.-
11.【新独家原创】如图,若x为正整数,则表示分式的值落在( )
A.段①处 B.段②处
C.段③处 D.段④处
12.约分.
(1);
(3).
能力提升全练
(2023陕西西安长安一中第一次月考,3,★☆☆)分式①
中,最简分式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.(2023陕西西安长安一中第一次月考,14,★★☆)当x= 时,分式的值为0.
15.(2023黑龙江齐齐哈尔中考,13,★★☆)在函数y=中,自变量x的取值范围是 .
16.(2023安徽中考,15,★☆☆)先化简,再求值:,其中x=-1.
素养探究全练
17.【运算能力】已知x2-3x+1=0,求x2+的值.
对于x2-3x+1=0,易知x≠0.x2-3x+1=0的两边同时乘得x-3+=0,即x++2·x·-2=32-2=7.
根据以上材料,解答下列问题.
已知x2-4x+1=0.
(1)求x+的值;
(2)求x2+的值.
18.【新考向·代数推理】【推理能力】阅读理解:对于任意正实数a,b,
∵()2≥0,
∴a-2+b≥0,
∴a+b≥2,
∴当a=b时,a+b有最小值,为2.
根据上述内容,回答下列问题:
(1)若m>0,只有当m= 时,m+有最小值;
(2)若m>0,求m为何值时,2m+有最小值,并求出这个最小值.
答案全解全析
基础过关全练
1.C A.分母中不含字母,是整式,故不符合题意;B.是整式,故不符合题意;C.是分式,故符合题意;D.x2-是整式,故不符合题意.故选C.
2.(1) (2)
解析 (1)由题意得,一箱苹果的质量为(m-n)千克,则每千克苹果的售价为元.
(2)由题意得,乙骑自行车走10千米的路程所用时间为(t-1)小时,故乙的速度为千米/时.
3.D ∵分式有意义,∴x+1≠0,∴x≠-1.故选D.
4.1
解析 根据题意得x2-1=0且x+1≠0,解得x=1.
故答案为1.
5.解析 (1)∵分式无意义,∴(3-x)(x-2)=0,
解得x=3或x=2.
(2)∵分式的值为0,∴解得x=-2.
6.A 用2x和2y代替式子中的x和y,得=2×,则分式的值扩大为原来的2倍.故选A.
7.A ,故A正确;不一定相等,故B错误;不一定相等,故C错误;当<0时,>0,即不一定相等,故D错误.
故选A.
8.D 原式=.故选D.
9.C A.,故本选项不符合题意;B.,故本选项不符合题意;C.是最简分式,故本选项符合题意;D.,故本选项不符合题意.故选C.
10.D ∵=2,∴x=2y,∴,故选D.
11.C ,∵x为正整数,∴0<≤1,
∴1<1+≤2,∴分式的值落在段③处,故选C.
12.解析 (1)原式=.
(2)原式=.
(3)原式=.
(4)原式=.
能力提升全练
13.B ①是最简分式;②,故②不是最简分式;③,故③不是最简分式;④是最简分式.∴最简分式有2个,故选B.
14.-2
解析 ∵分式的值为0,∴x2-4=0且x2-4x+4≠0,解得x=-2,故答案为-2.
15.x>1且x≠2
解析 依题意得x-1>0,x-2≠0,∴x>1且x≠2.故答案为x>1且x≠2.
16.解析 =x+1,
当x=-1时,原式=.
素养探究全练
17.解析 对于x2-4x+1=0,易知x≠0.
(1)∵x2-4x+1=0,∴x-4+=0,∴x+=4.
(2)由(1)得x+=4,
∴+2·x·+2=16,
∴x2+=14,
∴+2·x2·+2=196,
∴x4+=194.
18.解析 (1)由题意知当m=时,m+有最小值,
∴m2=3,∵m>0,∴m=,故答案为.
(2)由题意知当2m=时,2m+有最小值,最小值为2,
∵2m=,∴2m2=12,∴m2=6,
∵m>0,∴m=,
即当m=时,2m+有最小值,最小值为4.
