第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
5 一元一次不等式与一次函数
基础过关全练
知识点1 一元一次不等式与一次函数的关系
1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=ax+b与两坐标轴的交点分别为(2,0),(0,3),则不等式ax+b>0的解集为( )
A.x>2 B.x<2 C.x>3 D.x<3
2.(2023安徽蚌埠一模)如图,直线l1:y=x+a与直线l2:y=bx-2交于点M(-3,1),则关于x的不等式x+a≤bx-2的解集为( )
A.x<1 B.x≤1 C.x<-3 D.x≤-3
3.【新独家原创】如图,直线y=ax+b与x轴交于点A,与直线y=2x交于点B,若不等式2x
(1)求m的值;
(2)平移后的直线在x轴下方的部分的自变量x的取值范围是 .
5.(2023河北石家庄二十七中期中)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=kx与一次函数y=-x+b的图象相交于点A(4,3),过点P(2,0)作x轴的垂线,交正比例函数的图象于点B,交一次函数的图象于点C,连接OC.
(1)观察图象,直接写出不等式kx>-x+b的解集;
(2)求这两个函数解析式;
(3)求△OBC的面积.
知识点2 借助一次函数构建一元一次不等式解决实际应用问题
6.如图所示的是甲、乙两商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象,下列说法:①买2件时,甲、乙两商店售价一样;②买1件时,买乙商店的合算;③买3件时,买甲商店的合算;④在乙商店买1件时,售价为3元.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡共2 000只进行饲养,已知甲种小鸡每只2元,乙种小鸡每只3元.
(1)若购买这批小鸡共用了4 500元,求甲、乙两种小鸡各购买了多少只.
(2)相关资料表明:甲、乙两种小鸡的成活率分别为94%和99%,若要使这批小鸡的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最少,问:应选购甲、乙两种小鸡各多少只 总费用最少是多少元
8.【教材变式·P52例题】某区街道办事处计划印制并发放一批彩色宣传页.现有甲、乙两个广告公司提供印制业务.甲公司的收费方式是每份彩色宣传页印制按定价1.2元的八五折收费,另收取1 500元的服务费,乙公司的收费方式是每份彩色宣传页印制按定价1.2元收费,1 500元的服务费按七折优惠,且甲、乙两个广告公司都规定一次印制数量至少为1 500份.设一次印制彩色宣传页x(x≥1 500)份,甲、乙两个广告公司所收费用分别为y1元、y2元.
(1)分别写出y1、y2与 x的函数关系式.
(2)街道办事处选用哪个广告公司所需费用较少 请说明理由.
能力提升全练
9.(2023广东佛山文翰中学第二次月考,8,★★☆)如图,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,1),则关于x的不等式kx+b>1的解集是( )
A.x>0 B.x<0 C.x>1 D.x<1
10.(2023广东佛山儒林初级中学第一次月考,8,★★☆)如图,一次函数y=kx-2k(k<0)的图象经过点P(1,1),当0
(1)求该函数的解析式及点A的坐标;
(2)当x>0时,对于x的每一个值,函数y=x+n的值都大于函数y=kx+b(k≠0)的值,直接写出n的取值范围.
12.【社会主义先进文化】(2022四川成都中考,24,★★☆)随着“公园城市”建设的不断推进,成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”,绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚.甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行,甲骑行的速度是18 km/h,乙骑行的路程s(km)与骑行的时间t(h)之间的关系如图所示.
(1)直接写出当0≤t≤0.2和t>0.2时,s与t之间的函数表达式;
(2)何时乙骑行在甲的前面
素养探究全练
13.【模型观念】(2021江苏连云港中考)学校购进了一批消毒液,已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元,5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元.
(1)这两种消毒液的单价各是多少元
(2)学校准备购进这两种消毒液共90瓶,且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的,请设计出最省钱的购买方案,并求出最少费用.
答案全解全析
基础过关全练
1.B ∵直线y=ax+b与x轴的交点为(2,0),且y随x的增大而减小,∴不等式ax+b>0的解集为x<2,故选B.
2.D 由题图可知,当x<-3时,直线l2:y=bx-2在直线l1:y=x+a的上方,当x=-3时,直线l1与直线l2相交,∴不等式x+a≤bx-2的解集为x≤-3.故选D.
3.(2,4)
解析 ∵不等式2x
把(-2,-6)代入,得-6=2×(-2)+5-m,
解得m=7.
(2)由(1)知平移后所得直线对应的函数解析式为y=2x+5-7=2x-2,令y<0,则2x-2<0,解得x<1,
∴平移后的直线在x轴下方的部分的自变量x的取值范围是x<1.
5.解析 (1)观察图象可知,在点A(4,3)的右侧,正比例函数的图象位于一次函数图象的上方,
∴不等式kx>-x+b的解集为x>4.
(2)将点A的坐标代入正比例函数y=kx,得3=4k,
解得k=,∴正比例函数的解析式为y=x.
将点A的坐标代入y=-x+b,得3=-4+b,
解得b=7,∴一次函数的解析式为y=-x+7.
(3)把x=2代入y=x,得y=,∴B,把x=2代入y=-x+7,得y=5,∴点C(2,5),
∴BC=5-,
∴△OBC的面积=BC·OP=×2=.
6.C 由题中图象知,①正确.当x=1时,y甲>y乙,故②正确.当x=3时,y乙>y甲,故③正确.设y乙=kx+b(k≠0),则∴y乙=x+1,当x=1时,y乙=×1+1=2.5≠3,故④不正确.故选C.
7.解析 (1)设购买甲种小鸡x只,乙种小鸡y只,根据题意得
答:购买甲种小鸡1 500只,乙种小鸡500只.
(2)设购买甲种小鸡a只,购买小鸡的总费用为w元,则购买乙种小鸡(2 000-a)只,
∴w=2a+3(2 000-a)=-a+6 000.
由题意得94%a+99%(2 000-a)≥2 000×96%,
∴a≤1 200.
由一次函数的性质可知,w随a的增大而减小,
∴当a=1 200时,w最小,w最小=-1 200+6 000=4 800,
此时2 000-a=2 000-1 200=800.
答:购买甲、乙两种小鸡分别为1 200只和800只时,总费用最少,最少总费用为4 800元.
8.解析 (1)根据题意得y1=1.2×0.85x+1 500=1.02x+1 500,
y2=1.2x+1 500×0.7=1.2x+1 050.
(2)①若甲广告公司收费较少,则1.02x+1 500<1.2x+1 050,解得x>2 500.
②若甲、乙两个广告公司收费相同,则1.02x+1 500=1.2x+1 050,解得x=2 500.
③若乙广告公司收费较少,则1.02x+1 500>1.2x+1 050,解得x<2 500,
∴1 500≤x<2 500.
答:当一次印制数量多于2 500份时,甲广告公司收费较少;当一次印制数量为2 500份时,甲、乙两个广告公司收费一样;当一次印制数量大于或等于1 500份且少于2 500份时,乙广告公司收费较少.
能力提升全练
9.B 由一次函数的图象可知,y随x的增大而减小,
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,1),
∴关于x的不等式kx+b>1的解集是x<0.故选B.
10.D ∵一次函数y=kx-2k(k<0)的图象经过点P(1,1),∴1=k-2k,解得k=-1,∴一次函数的解析式为y=-x+2,令y=0,则-x+2=0,解得x=2,由图象可知,当0
∴函数的解析式为y=x+1.
当x=0时,y=1,∴点A的坐标为(0,1).
(2)由题意得x+n>x+1,解得x>2-2n,
∵x>0,∴2-2n≤0,
解得n≥1,
∴n的取值范围为n≥1.
12.解析 (1)由函数图象可知,当0≤t≤0.2时,s与t为正比例函数关系,∴设s=kt(k≠0),将(0.2,3)代入,得k==15,∴s=15t,
当t≥0.2时,s与t为一次函数关系,∴设s=at+b(a≠0),将(0.2,3),(0.5,9)代入,得
解得∴s=20t-1.
综上,S=
(2)由(1)可知0≤t≤0.2时,乙骑行的速度为15 km/h,而甲骑行的速度为18 km/h,∴甲在乙前面,
当t>0.2时,乙骑行的速度为20 km/h,甲骑行的速度为18 km/h,
设x小时后,乙骑行在甲的前面,
则18x<20x-1,解得x>0.5.
答:0.5小时后乙骑行在甲的前面.
素养探究全练
13.解析 (1)设A型消毒液的单价是x元,B型消毒液的单价是y元.
由题意得
答:A型消毒液的单价是7元,B型消毒液的单价是9元.
(2)设购进A型消毒液a瓶,购买费用为W元,则购进B型消毒液(90-a)瓶.
由题意得W=7a+9(90-a)=-2a+810,
∵-2<0,∴W随a的增大而减小,∴当a取最大值时,W有最小值.
∵90-a≥a,∴a≤67.5.
∵a是整数,∴a的最大值为67,
∴90-a=90-67=23,W最小=-2a+810=-2×67+810=676,
故最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶,购进B型消毒液23瓶,最少费用为676元.
