第一章 三角形的证明
2 直角三角形
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知识点1 直角三角形的性质及其判定
1.(2023四川川大附中第一次月考)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.a2=b2-c2
B.a=6,b=8,c=10
C.∠A=∠B+∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=5∶12∶13
2.(2022浙江台州椒江期末)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成,其中OA1=A1A2=A2A3=……=An-1An=1,若OA5·OAn的值是整数,且1≤n≤50,则符合条件的n有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.【新独家原创】将一副三角尺按如图所示的方式摆放,∠D=∠C=90°,∠B=30°,∠DAE=45°,若DE∥AB,DE交AC于点F,AD=3,则AF= .
4.如图所示的是一个机器零件示意图,∠ACD=90°是衡量这个零件合格的一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm,∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90° 请说明理由.
知识点2 互逆命题、互逆定理
5.下列命题中,逆命题是真命题的是 (只填写序号).
①在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行;
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;
③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;
④如果三角形的三边长a、b、c(c为最长边)满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
6.写出下列各命题的逆命题,并判断真假.
(1)全等三角形的对应角相等;
(2)如果两个数相等,那么它们的绝对值相等;
(3)两直线平行,内错角相等;
(4)如果两个角都是45°,那么这两个角相等.
知识点3 斜边、直角边定理
7.如图,AC⊥AB,AC⊥CD,若要使得△ABC≌△CDA,且以“HL”为依据,则需添加的条件是( )
A.BC=DA B.AB=CD
C.∠B=∠D D.∠ACB=∠CAD
8.如图,在∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,求证:OP平分∠AOB.
9.如图,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE与CF交于点D,DE=DF,连接AD.求证:
(1)∠FAD=∠EAD;
(2)BF=CE.
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10.(2023安徽灵璧第一初中第一次学情调研,5,★☆☆)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B,C).若线段AD的长为整数,则符合题意的点D有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【分类讨论思想】(2023河北中考,13,★★☆)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,AC=A'C'=4.已知∠ACB=n°,则∠A'C'B'=
( )
A.30° B.n°
C.n°或180°-n° D.30°或150°
12.(2023广东深圳中考,10,★★☆)如图1,在Rt△ABC中,动点P从A点运动到B点再到C点后停止,速度为2个单位长度/s,其中BP的长与运动时间t(单位:s)的关系如图2所示,则AC的长为( )
A.
13.【新考法】(2022江西中考,11,★★☆)沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形,再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示),则长方形对角线的长为 .
14.(2023陕西西安长安一中月考,20,★★☆)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CBF;
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF度数.
15.【项目式学习试题】(2023四川遂宁中考,22,★★☆)某实践探究小组想测得湖边两处的距离,数据勘测组通过勘测,得到了如下记录表:
实践探究活动记录表
活动内容:测量湖边A、B两处的距离
成员 组长:××× 组员:××××××××××××
测量工具:测角仪,皮尺等
说明:因为湖边A、B两处的距离无法直接测量,数据勘测组在湖边找了一处位置C.可测量C处到A、B两处的距离.通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数
角的度数 ∠A=30°
∠B=45°
∠C=105°
边的长度 BC=40.0米
AC=56.4米
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析.他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离.于是数据处理组写出了以下过程,请补全内容.
已知:如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°, .(从记录表中再选一个条件填入横线)
求:线段AB的长.(为减小结果的误差,若有需要,取1.41,取1.73,取2.45进行计算,最后结果保留整数)
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16.【推理能力】(2023福建龙岩期中)如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,在线段DA上取点E使得ED=CD,DF平分∠ADB交AB于点F,连接EF.
(1)若AB=4,AD=8,求CD的长;
(2)若EF⊥AB,求证:BD+ED=DF.
答案全解全析
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D ∵a2=b2-c2,∴a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形,故A不符合题意;∵a2+b2=62+82=100,c2=102=100,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,故B不符合题意;∵∠A=∠B+∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠A=180°,
∴∠A=90°,∴△ABC是直角三角形,故C不符合题意;∵∠A∶∠B∶
∠C=5∶12∶13,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°×=78°,
∴△ABC不是直角三角形,故D符合题意.故选D.
2.C 由勾股定理得OA2=,
OA3=,
OA5=,
……
OAn=,
∴OA5·OAn=,
∵OA5·OAn的值是整数,且1≤n≤50,n为整数,∴n=5或n=20或n=45,∴符合条件的n有3个,故选C.
3.2
解析 在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=90°-30°=60°,∵DE∥AB,∴∠AFD=∠CAB=60°,
∴∠DAF=90°-∠AFD=30°,∴AF=2DF,设DF=x,则AF=2x,
在Rt△ADF中,AD2+DF2=AF2,即32+x2=(2x)2,∴x=(负值已舍去),
∴AF=2.故答案为2.
4.解析 能.理由:在Rt△ABC中,∵AB=4 cm,BC=3 cm,∠ABC=90°,∴AC==5(cm).
在△ACD中,∵AD=13 cm,CD=12 cm,AC=5 cm,
∴AD2=CD2+AC2,∴∠ACD=90°.
5.①②④
解析 ①的逆命题是在同一平面内,若两直线平行,则它们垂直于同一条直线,是真命题;②的逆命题是等边三角形是有一个角为60°的等腰三角形,是真命题;③的逆命题是如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等,是假命题;④的逆命题是直角三角形的三边长a,b,c(c为最长边)满足a2+b2=c2,是真命题.故答案为①②④.
6.解析 (1)逆命题:三个角分别对应相等的两个三角形全等,是假命题.
(2)逆命题:如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等,是假命题.
(3)逆命题:内错角相等,两直线平行,是真命题.
(4)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角都是45°,是假命题.
7.A ∵AC⊥AB,AC⊥CD,∴∠BAC=∠ACD=90°,
∴△ABC和△CDA是直角三角形,∵△ABC和△CDA有公共直角边AC,∴以“HL”为依据判定△ABC≌△CDA,需要添加斜边相等,即BC=DA,故A正确.故选A.
8.证明 ∵PM⊥OA,PN⊥OB,∴∠OMP=∠ONP=90°,在Rt△OMP和Rt△ONP中,
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL),∴∠MOP=∠NOP,
∴OP是∠AOB的平分线.
9.证明 (1)∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠AFD=∠AED=90°,
在Rt△AFD和Rt△AED中,
∴△AFD≌△AED(HL),∴∠FAD=∠EAD.
(2)在△BDF和△CDE中,
∴△BDF≌△CDE(ASA),∴BF=CE.
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10.C 如图,过A作AE⊥BC于E,
∵AB=AC,∴EC=BE=BC=4,∴AE==3,∵D是线段BC上的动点(不含端点B、C),∴3≤AD<5,∵AD的长为整数,∴AD=3或4,当AD=3时,点D与点E重合,当AD=4时,点D可以在AE左侧,也可以在AE右侧,即符合题意的点D有3个,故选C.
11.C 过A作AD⊥BC于点D,过A'作A'D'⊥B'C'于点D',
∵∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,∴AD=A'D'=3.当B、C在点D的两侧,
B'、C'在点D'的两侧时,如图,
∵AC=A'C'=4,AD=A'D'=3,∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL),∴∠A'C'B'=∠ACB=n°;当B、C在点D的两侧,B'、C'在点D'的同侧时,如图,
∵AC=A'C'=4,AD=A'D'=3,∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL),∴∠A'C'D'=∠ACB=n°,∴∠A'C'B'=180°-∠A'C'D'=180°-n°.综上,∠A'C'B'=n°或180°-n°.故选C.
C 由题图2可知,当t=0时,BP=15,此时点P与点A重合,∴AB=15,∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2=7.5 s,∴点P从点B运动到点C所需的时间为11.5-7.5=4 s,∴BC=2×4=8.
在Rt△ABC中,AC==17.故选C.
13.
解析 根据图形可知,长方形的长与正方形对角线的长相等,长方形的宽等于正方形对角线长的一半,
∴长方形的长为2,宽为1,∴长方形的对角线长=.故答案为.
14.解析 (1)证明:∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°,在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°,
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.
15.解析 (1)填入AC=56.4米.
如图,过点C作CD⊥AB于D,
在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=56.4米,
∴CD=AC=28.2米,∴AD=28.2米,
在Rt△BCD中,∠B=45°,
∴△BCD为等腰直角三角形,
∴BD=CD=28.2米,
∴AB=AD+BD=28.2+28.2≈77(米).
答:线段AB的长约为77米.
(2)填入BC=40.0米.
如图,过点C作CD⊥AB于D,
在Rt△BCD中,∠B=45°,
∴BD=CD,∵BD2+CD2=BC2,BC=40.0米,∴BD=CD=20米,
在Rt△ACD中,∠A=30°,DC=20米,
∴AC=2CD=40米,∴AD=米,
∴AB=AD+BD=20≈77(米).
答:线段AB的长约为77米.
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16.解析 (1)∵BD⊥AC,∴∠ADB=∠CDB=90°,
在Rt△ADB中,AB=4,AD=8,∴BD==4,
在Rt△CDB中,BC=,BD=4,
∴CD==1.
(2)证明:∵∠ADB=∠CDB=90°,DF平分∠ADB,
∴∠BDF=∠ADF=45°,
如图,过点F作FH⊥FD,垂足为F,FH与AC交于点H,则∠DFH=90°,∴△DFH是等腰直角三角形,
∴∠FHD=45°,DH=DF,
∵EF⊥AB,BD⊥AC,∴∠BFE=∠BDE=90°,
∴∠FED+∠DBF=180°,
∵∠FED+∠FEH=180°,∴∠FEH=∠DBF,
在△EHF和△BDF中,
∴△EHF≌△BDF(AAS),∴EH=BD,
∴BD+ED=HE+DE=DH=DF.
