2 图形的旋转
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一、选择题
1.如图,在正方形网格中,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列旋转方式中,符合题意的是( )
A.逆时针旋转90° B.顺时针旋转90°
C.逆时针旋转45° D.顺时针旋转45°
2.(2023浙江杭州模拟)如图,把△ABC绕着点A顺时针旋转50°得到△ADE,边DE与边AB交于点F.当BF=EF时,点E恰好在边BC上,则∠BAC的大小是( )
A.35° B.50° C.55° D.65°
3.(2023广东佛山三模)如图,已知A(2,0),C(0,4),将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AB,则点B的坐标为( )
A.(6,2) B.(2,6) C.(2,4) D.(4,2)
二、填空题
4.如图,三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的,则其旋转中心是点 ,逆时针方向旋转了 度.
5.(2019河南中考)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,将直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF.若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF= .
6.(2020山东滨州中考)如图,点P是正方形ABCD内一点,且点P到点A、B、C的距离分别为2、4,则正方形ABCD的面积为 .
三、解答题
7.(2023广东河源期中)如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°,得到△ADC,连接OD.
(1)判断△COD的形状,并证明.
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由.
(3)直接写出α为多少度时,△AOD是等腰三角形.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 A 根据图形可知将△ABC绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE,
故选A.
2.答案 D ∵△ABC绕着点A顺时针旋转50°得到△ADE,
∴∠EAC=∠DAF=50°,AE=AC,∠AED=∠C,
∴∠C=∠AEC==65°,
∴∠AED=65°,
∴∠DEB=180°-∠AED-∠AEC=180°-65°-65°=50°,
∵BF=EF,
∴∠B=∠BEF=50°,
∵∠B+∠BAC+∠C=180°,
∴∠BAC=180°-50°-65°=65°,
故选D.
3.答案 A 过点B作BD⊥x轴于点D,如图,
则∠AOC=∠BDA=90°,
∵A(2,0),C(0,4),
∴OC=4,OA=2,
∵线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AB,
∴AC=BA,∠BAC=90°,
∴∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠DAB=90°,
∴∠OCA=∠DAB,
在△OAC和△DBA中,
∴△OAC≌△DBA(AAS),
∴OC=DA=4,OA=DB=2,
∴OD=OA+DA=2+4=6,
∵点B在第一象限,
∴点B的坐标为(6,2).
故选A.
二、填空题
4.答案 N;90
解析 如图,
∴三角形甲绕点N逆时针旋转90°可得到三角形乙.故答案为N;90.
5.答案
解析 由旋转的性质可得AE=AB=3,AF=AC=2,
∵∠B+∠BAC=90°,且α+β=∠B,
∴∠BAC+α+β=90°,∴∠EAF=90°,
∴EF=.
6.答案 14+4
解析 如图,将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM,连接PM,过点B作BH⊥PM于H.
则BP=BM=,∠PBM=90°,
∴PM==2,
又∵PC=4,
∴PC2=CM2+PM2,
∴∠PMC=90°,
易知∠BPM=∠BMP=45°,
∴∠CMB=∠APB=135°,
∴∠APB+∠BPM=180°,
∴A,P,M共线,
∵BH⊥PM,PB=MB,
∴PH=HM,
易知△PHB为等腰直角三角形,∴BH=PH=HM=PM=1,
∴AH=2+1,
∴AB2=AH2+BH2=(2,
∴正方形ABCD的面积为14+4.
故答案为14+4.
三、解答题
7.解析 (1)△COD是等边三角形.
证明:∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC,
∴CO=CD,∠OCD=60°,
∴△COD是等边三角形.
(2)当α=150°时,△AOD是直角三角形.
理由:∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC,
∴△BOC≌△ADC,
∴∠BOC=∠ADC=150°,
由(1)可知∠ODC=60°,
∴∠ADO=150°-60°=90°,
∴当α=150°时,△AOD是直角三角形.
(3)∵∠AOB=110°,∠BOC=α,
∴∠AOC=250°-α,
∵△OCD是等边三角形,
∴∠DOC=∠ODC=60°,
∴∠ADO=α-60°,∠AOD=190°-α,
①当AD=OD时,∠DAO=∠DOA,此时2(190°-α)+α-60°=180°,解得α=140°;
②当AO=AD时,∠AOD=∠ADO,此时190°-α=α-60°,解得α=125°;
③当OA=OD时,∠OAD=∠ODA,此时190°-α+2(α-60°)=180°,解得α=110°.
综上,当α为110°,140°或125°时,△AOD是等腰三角形.
