2 平行四边形的判定
第一课时 平行四边形的判定(1)
测试时间:15分钟
一、选择题
1.如图,四边形ABCD中,AC、BD交于点O,0°<∠ABC<90°,AB∥CD,AD∥BC,下列结论正确的是( )
①∠AOD=∠BOC;②∠DAC=∠BCA;③∠BAD+∠ABC=180°;④∠ABC=∠ADC.
A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④
2.下列四组条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的为( )
①AB=CD,AD=BC;②AB=CD,AB∥CD;③AB=CD,AD∥BC;④AB∥CD,AD∥BC.
A.②③④ B.①②④
C.①②③ D.①③④
3.在四边形ABCD中,AB=CD,要判定此四边形是平行四边形,还需要满足的条件是( )
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°
4.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,若∠D=120°,则∠C的度数为( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
二、填空题
5.如图,将两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中的一张,重合的部分构成了一个四边形,这个四边形是 .
6.如图,点D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是 .
三、解答题
7.如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E,与AD交于点F,且点F恰好为边AD的中点,连接AE,BD.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形.
(2)若AG⊥BE于点G,BC=6,AG=2,求EF的长.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 D ∵∠AOD和∠BOC是对顶角,
∴∠AOD=∠BOC,故①正确;
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,故②正确;
∵AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°,故③正确;
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC,故④正确.
故选D.
2.答案 B 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故①符合题意;
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故②符合题意;
根据一组对边相等,另一组对边平行不能判定四边形ABCD是平行四边形,故③不符合题意;
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故④符合题意.
∴能判定四边形ABCD是平行四边形的为①②④.
故选B.
3.答案 D 当∠A+∠D=180°时,AB∥CD,又∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,
故选D.
4.答案 A ∵AB=CD,BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠C+∠D=180°,
∵∠D=120°,
∴∠C=60°.
故选A.
二、填空题
5.答案 平行四边形
解析 由题意可知AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
故答案为平行四边形.
6.答案 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
解析 由作图可得DC=AB,BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
三、解答题
7.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABE=∠BEC,
∵点F恰好为边AD的中点,
∴AF=DF,
又∵∠AFB=∠DFE,
∴△ABF≌△DEF(AAS),
∴DE=AB,
∵DE∥AB,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(2)由(1)知EF=BF,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,
∴∠AFB=∠CBF,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠AFB=∠ABF,∴AF=AB,
∵AF=DF,AD=BC=6,∴AB=AF=3,
∵AG=2,AG⊥BE,
∴BG=,
∵AF=AB,AG⊥BE,∴FG=BG,即BF=2BG,∴EF=BF=2BG=2.2 平行四边形的判定
第二课时 平行四边形的判定(2)
测试时间:15分钟
一、选择题
1.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为( )
A.6 B.12
C.20 D.24
2.(2023河北沧州二模)如图所示的是由边长为1的小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点称为格点,△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上,O是AC与网格线的交点,将△ABC绕着点O顺时针旋转180°.以下是嘉嘉和淇淇得出的结论,下列判断正确的是( )
嘉嘉:旋转后的三角形的三个顶点均在格点上.
淇淇:旋转前后的两个三角形可形成平行四边形.
A.只有嘉嘉对 B.只有淇淇对
C.两人都对 D.两人都不对
二、填空题
3.已知:线段AB,BC(AB与BC不共线).求作:平行四边形ABCD.
以下是甲同学的作业.
①连接AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点M;
②连接BM并延长,在延长线上取一点D,使MD=MB,连接AD,CD.四边形ABCD即为所求.如图,甲同学的作图依据是 .
三、解答题
4.如图, ABCD的对角线相交于点O,直线EF过点O分别交BC,AD于点E、F,G、H分别为OB、OD的中点,求证:四边形GEHF是平行四边形.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 D 在Rt△CBE中,CE==5,
∴AE=AC-CE=5,
∴AE=CE=5,
又BE=DE=3,
∴四边形ABCD为平行四边形.
∴S ABCD=BD·BC=6×4=24.
故选D.
2.答案 C 如图,取格点B',连接OB',OB,取格点E,F,连接EF,AE,CF.
∵∠AEO=∠CFO=90°,∠AOE=∠COF,AE=CF,
∴△AOE≌△COF,
∴OA=OC,
∴点A关于点O的对称点与点C重合,点C关于点O的对称点与点A重合.
同理可证点B与点B'关于点O对称,
∴旋转后的三角形(即△CB'A)的三个顶点均在格点上,
故嘉嘉的结论正确;
∵OA=OC,OB=OB',
∴四边形ABCB'是平行四边形,
∴旋转前后的两个三角形可形成平行四边形,
故淇淇的结论正确.
故选C.
二、填空题
3.答案 对角线互相平分的四边形是平行四边形
解析 由作图可知AM=MC,BM=MD,
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形.
三、解答题
4.证明 ∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BO=DO,AD=BC且AD∥BC,
∴∠ADO=∠CBO,
又∵∠EOB=∠FOD,
∴△EOB≌△FOD(ASA),
∴EO=FO.
∵G、H分别为OB、OD的中点,
∴GO=HO.
∴四边形GEHF为平行四边形.
