第5章 特殊平行四边形
5.3 正方形
第1课时 正方形的判定
基础过关全练
知识点1 正方形的定义
1.如图,在平行四边形ABCD中,AB=BC,则下列条件中,能使四边形ABCD是正方形的是( )
A.AC与BD互相平分 B.AB∥CD
C.AB=AD D.AB⊥BC
第1题图 第2题图
2.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=BC=CD,试补充一个条件: ,使四边形ABCD是正方形.
知识点2 正方形的判定
3.(2023浙江杭州上城东城实验中学期中)下列命题错误的是( )
A.如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形
B.如果一个四边形的对角线互相垂直平分,那么它一定是菱形
C.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.四条边相等,且有一个角是直角的四边形是正方形
4.【一题多变·线段垂直且相等,证正方形】【十字架模型】已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边CD、AD上的点,AE⊥BF,且AE=BF.求证:矩形ABCD是正方形.
[变式1·角平分线+垂直,证矩形内正方形]如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,与AD相交于点E,EF⊥BC,垂足为F.求证:四边形ABFE是正方形.
[变式2·角平分线+垂直,证矩形外正方形]如图,在矩形ABCD中,AE平分∠DAB交DC的延长线于点E,过点E作EF⊥AB,垂足F在边AB的延长线上.求证:四边形ADEF是正方形.
5.【教材变式·P124例1】如图,在四边形ABCD中,点E是线段AD上的任意一点(E与A,D不重合),G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.连结EF,若BE⊥EC,EF⊥BC,说明:四边形EGFH是正方形.
6.如图,已知菱形ABCD,E、F是对角线BD所在直线上的两点,且∠AED=45°,DF=BE,连结CE、AE、AF、CF.求证:四边形AECF是正方形.
能力提升全练
7.(2022浙江绍兴中考,8,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,BC上的动点.下列四种说法:
①存在无数个平行四边形MENF;
②存在无数个矩形MENF;
③存在无数个菱形MENF;
④存在无数个正方形MENF.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图,AD是△ABC的中线,过点A、B分别作BC、AD的平行线,两平行线相交于点E.
(1)求证:AE=CD.
(2)当AB、AC满足什么条件时.
①四边形AEBD是矩形 请说明理由.
②四边形AEBD是菱形 请说明理由.
③四边形AEBD是正方形 请说明理由.
素养探究全练
9.【推理能力】如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)探究线段OE与OF的数量关系,并说明理由;
(2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形 请说明理由.
第5章 特殊平行四边形
5.3 正方形
第1课时 正方形的判定
答案全解全析
基础过关全练
1.D ∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,
在平行四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.故选D.
2.答案 AB∥CD(答案不唯一)
解析 答案不唯一.补充条件为AB∥CD.
∵AB=CD,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠A=90°,AB=BC,
∴ ABCD是正方形.
3.C 对角线相等的菱形是正方形,所以A正确,不符合题意;对角线互相垂直平分的四边形是菱形,所以B正确,不符合题意;一组对边平行,另一组对边相等的四边形,不能保证两组对边分别平行或两组对边分别相等,所以这个四边形不一定是平行四边形,所以C错误,符合题意;四条边相等的四边形是菱形,有一个角是直角的菱形是正方形,所以这个四边形是正方形,所以D正确,不符合题意.故选C.
4.证明 ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAF=∠ADE=90°,
∴∠ABF+∠AFB=90°,
∵AE⊥BF,
∴∠DAE+∠AFB=90°,
∴∠ABF=∠DAE,
在△ABF和△DAE中,
∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形.
[变式1]证明 ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,AD∥BC,
∵EF⊥BC,∴EF⊥AD,∴∠AEF=∠BFE=90°,
∴四边形ABFE是矩形,
∵AE∥BF,∴∠AEB=∠EBF,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBF,
∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,
∴四边形ABFE是正方形.
[变式2]证明 ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠DAB=90°,
∵AE平分∠DAB,∴∠EAF=45°,
∵EF⊥AB,∴∠D=∠DAF=∠F=90°,
∴四边形ADEF是矩形,
∵∠EAF=45°,∴∠AEF=45°,∴∠EAF=∠AEF,
∴AF=EF,∴矩形ADEF是正方形.
5.证明 如图,连结GH,
∵G、F分别是BE、BC的中点,∴GF∥EC,
同理可证FH∥BE,
∴四边形EGFH是平行四边形,
∵G、H分别是BE、CE的中点,∴GH∥BC,
∵EF⊥BC,∴EF⊥GH,
又∵四边形EGFH是平行四边形,
∴四边形EGFH是菱形,
∵BE⊥EC,∴菱形EGFH是正方形.
6.证明 如图,连结AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,
∵BE=DF,∴BE+OB=DF+DO,
∴EO=FO,
∴EF与AC垂直且互相平分,
∴四边形AECF是菱形,
∴∠AEF=∠CEF,
又∵∠AED=45°,∴∠AEC=90°,
∴菱形AECF是正方形.
能力提升全练
7.C 如图,连结AC交BD于点O,过点O作直线MN,交AD于点M,交BC于点N.
序号 理由 判断
① ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD, ∵BE=DF,∴OE=OF, 易证△DOM≌△BON,∴OM=ON, ∴四边形MENF是平行四边形, ∵点E,F是BD上的动点, 点M,N分别是边AD,BC上的动点, ∴存在无数个平行四边形MENF 正确
② 当MN=EF时, 四边形MENF是矩形, ∵点E,F是BD上的动点, 点M,N分别是边AD,BC上的动点, ∴存在无数个矩形MENF 正确
③ 当MN⊥EF时, 四边形MENF是菱形, ∵点E,F是BD上的动点, ∴存在无数个菱形MENF 正确
④ 当MN=EF,MN⊥EF时, 四边形MENF是正方形, 易知只存在一个正方形MENF 错误
故选C.
8.解析 (1)证明:∵AE∥BD,AD∥BE,
∴四边形AEBD是平行四边形,∴AE=BD,
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,∴AE=CD.
(2)①当AB=AC时,四边形AEBD是矩形.理由如下:
∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∴AD⊥BC,∴∠BDA=90°,
∵四边形AEBD是平行四边形,
∴四边形AEBD是矩形.
②当AB⊥AC时,四边形AEBD是菱形.理由如下:
∵AB⊥AC,AD是△ABC的中线,
∴BD=AD,
∵四边形AEBD是平行四边形,
∴四边形AEBD是菱形.
③当AB=AC,且AB⊥AC时,四边形AEBD是正方形.理由如下:
∵AB=AC,且AB⊥AC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=AD,BD⊥AD,
∵四边形AEBD是平行四边形,
∴四边形AEBD是正方形.
素养探究全练
9.解析 (1)OE=OF.理由如下:
∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=∠BCE,
∵MN∥BC,∴∠NEC=∠ECB,
∴∠NEC=∠ACE,
∴OE=OC,
∵CF是∠ACD的平分线,∴∠OCF=∠FCD,
∵MN∥BC,
∴∠OFC=∠FCD,
∴∠OFC=∠OCF,
∴OF=OC,
∴OE=OF.
(2)当点O运动到AC的中点,且△ABC满足∠ACB为直角时,四边形AECF是正方形.
理由如下:当点O运动到AC的中点时,AO=CO,
又∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵FO=CO,∴AO=CO=EO=FO,
∴AO+CO=EO+FO,
∴AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
∵MN∥BC,∠ACB=90°,
∴∠AOE=90°,∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
