第4章 平行四边形
4.6 反证法
基础过关全练
知识点1 反证法
1.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设( )
A.a不平行于b B.a不垂直于c
C.b不垂直于c D.a,b都不垂直于c
2.【新课标例74变式】用反证法证明:如图,在△ABC中,点D、E分别在AC、AB上,BD、CE相交于点O.求证:BD和CE不可能互相平分.
知识点2 平行线的传递性
3.在同一平面内,a、b、c是直线且互不重合,下列说法正确的是 ( )
A.若a⊥b,b∥c,则a∥c
B.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
C.若a∥b,b⊥c,则a∥c
D.若a∥b,b∥c,则a∥c
4.【教材变式·P102T4】如图,∠B=∠BGD,∠BGC=∠F.求证:∠B+∠F=180°.
能力提升全练
5.(2023浙江宁波海曙兴宁中学期中,6,★★☆)用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中 ( )
A.每一个内角都小于60°
B.每一个内角都大于60°
C.有一个内角大于60°
D.有一个内角小于60°
6.如图,给出下面的推理,其中正确的是( )
①∵∠B=∠BEF,∴AB∥EF.
②∵∠B=∠CDE,∴AB∥CD.
③∵∠B+∠BEF=180°,∴AB∥EF.
④∵AB∥CD,CD∥EF,∴AB∥EF.
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
7.【一题多变·三线两两平行,判断选项的正确性】如图,若AB∥CD,EF∥CD,则下列结论中一定正确的是( )
A.∠BCD=∠DCE
B.∠ABC+∠BCE+∠CEF=360°
C.∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD
D.∠ABC+∠BCE-∠CEF=180°
[变式1·利用三线两两平行,求角之间的关系]如图,若AB∥CD,CD∥EF,那么∠BCE等于( )
A.∠1+∠2 B.∠2-∠1
C.180°-∠2+∠1 D.180°-∠1+∠2
[变式2·利用三线两两平行,求角度]如图,AB∥CD,AB∥GE,∠B=110°,∠C=100°.求∠BFC的度数.
[变式3·利用三线两两平行及一角度数,求多个角的度数]如图,AB∥CD,CD∥EF,BC∥ED,∠B=70°,求∠C,∠D和∠E的度数.
8. 如图,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内的一点,且∠APB>∠APC,求证:PB
(1)如图①,探究∠AME,∠MEN,∠ENC的数量关系,并说明理由;
(2)如图②,∠AME=30°,EF平分∠MEN,NP平分∠ENC,EQ∥NP,求∠FEQ的度数;
(3)如图③,点G为CD上一点,∠AMN=m∠EMN,∠GEK=m∠GEM,EH∥MN交AB于点H,直接写出∠GEK,∠BMN,∠GEH之间的数量关系.(用含m的式子表示)
第4章 平行四边形
4.6 反证法
答案全解全析
基础过关全练
1.A 根据反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,反面成立解答即可.
2.证明 如图,连结DE,
假设BD和CE互相平分,
∴四边形EBCD是平行四边形,∴BE∥CD,
∵在△ABC中,点D、E分别在AC、AB上,
∴BE不可能平行于CD,与已知出现矛盾,
∴假设不成立,∴原命题正确,
∴BD和CE不可能互相平分.
3.D
选项 理由 判断
A 在同一平面内, ∵a⊥b,b∥c, ∴a⊥c 错误
B 在同一平面内, ∵a⊥b,b⊥c, ∴a∥c 错误
C 在同一平面内, ∵a∥b,b⊥c, ∴a⊥c 错误
D 在同一平面内, ∵a∥b,b∥c, ∴a∥c 正确
故选D.
4.证明 ∵∠B=∠BGD(已知),
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),
∵∠BGC=∠F(已知),
∴CD∥EF(同位角相等,两直线平行),
∴AB∥EF(平行线的传递性),
∴∠B+∠F=180°(两直线平行,同旁内角互补).
能力提升全练
5.A “大于或等于”的反面是“小于”,所以用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中每一个内角都小于60°,故选A.
6.B ∵∠B=∠BEF,∴AB∥EF(内错角相等,两直线平行),故①正确;
∵∠B=∠CDE,∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),故②正确;
由∠B+∠BEF=180°不能证明AB与EF平行,故③错误;
∵AB∥CD,CD∥EF,∴AB∥EF(在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),故④正确.
∴正确的是①②④.故选B.
7.D 如图,延长DC到G,
∵EF∥CD,∴∠GCE=∠CEF,
∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCG=180°,
∴∠ABC+∠BCE-∠GCE=180°,
∴∠ABC+∠BCE-∠CEF=180°.
[变式1]C ∵AB∥CD,CD∥EF,
∴∠1=∠BCD,∠DCE+∠2=180°,
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=∠1+180°-∠2.
[变式2]解析 ∵AB∥GE,∴∠B+∠BFG=180°,
∵∠B=110°,∴∠BFG=180°-110°=70°,
∵AB∥CD,AB∥GE,∴CD∥GE,∴∠C+∠CFE=180°,∵∠C=100°,∴∠CFE=180°-100°=80°,
∴∠BFC=180°-∠BFG-∠CFE=180°-70°-80°=30°.
[变式3]解析 ∵AB∥CD,CD∥EF,
∴∠C=∠B=70°,∠E=∠D,
∵BC∥DE,∴∠C+∠D=180°,∴∠D=110°,∴∠E=110°.
∴∠C,∠D和∠E的度数分别是70°,110°,110°.
8.证明 假设PB≥PC.
把△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACD,连结PD,则BP=CD,∠APB=∠ADC,
∵PB≥PC,PB=CD,∴CD≥PC,∴∠CPD≥∠CDP,
∵AP=AD,∴∠APD=∠ADP,
∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP,即∠APC≥∠ADC,
又∵∠APB=∠ADC,
∴∠APC≥∠APB,与∠APB>∠APC矛盾,
∴PB≥PC不成立,∴PB
9. 解析 (1)∠MEN=∠AME+∠ENC.理由如下:如图,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,∴EF∥AB∥CD,
∴∠MEF=∠AME,∠NEF=∠CNE.
∵∠MEN=∠MEF+∠NEF,
∴∠MEN=∠AME+∠ENC.
(2)∵EF平分∠MEN,NP平分∠ENC,
∴∠NEF=∠MEN,∠ENP=∠ENC.
∵EQ∥NP,∴∠QEN=∠ENP=∠ENC.
由(1)可得∠MEN=∠AME+∠ENC,
∴∠MEN-∠ENC=∠AME=30°.
∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ=(∠MEN-∠ENC)=×30°=15°.
(3)∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°.
详解:∵∠AMN=m∠EMN,∠GEK=m∠GEM,
∴∠EMN=∠AMN,∠GEM=∠GEK.
∵EH∥MN,∴∠HEM=∠EMN=∠AMN.
∵∠GEH=∠GEM-∠HEM=∠GEK-∠AMN,
∴m∠GEH=∠GEK-∠AMN.
∵∠BMN+∠AMN=180°,
∴∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°.
