第4章 平行四边形
4.2 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形的边和角的性质
基础过关全练
知识点1 平行四边形的定义
1.【新独家原创】如图,直线a∥b,点A、D在直线a上,点B在直线b上,点C为直线b上一动点,则当∠BCD= 时,四边形ABCD是平行四边形.
2.【一题多变·拼接相同平行四边形,数平行四边形个数】有3块形状、大小都相同的平行四边形巧克力,如图1,将这3块巧克力拼成图2中的图形,则图2中有 个平行四边形.
[变式·分割平行四边形,数平行四边形个数]如图,在 ABCD中,EF∥AD,HG∥AB,则图中平行四边形有 个.
3.如图,在四边形ABCD中,∠A与∠B互为补角,∠B与∠C互为补角,求证:四边形ABCD是平行四边形.
知识点2 平行四边形的对角相等
4. (2023浙江衢州柯城风华学校期中)如图,在 ABCD中,∠A+∠C=80°,则∠D=( )
A.80° B.40° C.70° D.140°
5.如图,在平行四边形ABCD中,CE⊥AB,E为垂足,如果∠D=60°,那么∠BCE=( )
A.30° B.40° C.60° D.120°
知识点3 平行四边形的对边相等
6.如图,在 ABCD中,AB=6,BC=4,BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC,分别交CD、AB于点E、F,则AF+DE的值是( )
A.1 B.2 C.5 D.6
7.【教材变式·P81例1】【新独家原创】如图,点E、F是 ABCD的边DC所在直线上两点,且∠AFD=∠E.求证:CE=FD.
8.(2023四川南充中考)如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.
求证:(1)AE=CF;
(2)BE∥DF.
知识点4 四边形的不稳定性
9. 如图所示的是一张电动伸缩门的图片,电动门能伸缩的几何原理是 .
10.【一题多变·要使四边形不变形,求要钉的木条根数】如图,要使四边形木架不变形,至少要钉上 根木条.
[变式·要使多边形不变形,求要钉的木条根数]要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形,至少需要加钉1根木条固定,要使五边形木架不变形,至少需要加钉2根木条固定,要使六边形木架不变形,至少需要加钉3根木条固定,……,那么要使一个n边形木架不变形,至少需要加钉 根木条固定.
能力提升全练
11.如图,点A,B,C在同一直线上,点D,E,F,G在同一直线上,且AC∥DG,AD∥BE∥CF,AF∥BG,则图中平行四边形有( )
A.4个 B.5个 C.3个 D.6个
12.【新考向·尺规作图】如图,在 ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,若BF=6,AB=5,则AE的长为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
13.【易错题】(2023浙江衢州柯城风华学校期中,16,★★☆)在平面直角坐标系中,有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,2),C(x,2),若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则x= .
14.【一题多变·平行四边形与角平分线综合,求周长】在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,且点E把AD分成5 cm与4 cm的两部分,则平行四边形ABCD的周长是 .
[变式1·平行四边形与角平分线综合,求一边长]如图,在 ABCD中,AE=2,AD=5,∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E,则CD的长为 .
[变式2·平行四边形与角平分线、线段中点综合,求线段长]如图,在 ABCD中,DE平分∠CDA,且点E是线段BC的中点,BC=10,AE=6,则DE的长为 .
15.在如图所示的 ABCD中,AB=2,AD=3,将△ACD沿AC折叠,若点D落在△ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则△ADE的周长等于 .
16.如图,在 ABCD中,点E是BC上一点,过点E作直线EF,交AD于点F,分别交AB、CD的延长线于点G、H,且EG=FH.求证:BE=DF.
17.(2022浙江杭州滨江期末,20,★★☆)如图,在 ABCD中,点E为边CD的中点,连结AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证:△ADE≌△FCE;
(2)若AD=5,求BF的长.
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18.【推理能力】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形,其中A(4,0),B(6,2),将 OABC沿x轴向下翻折再沿x轴正方向平移1个单位得 O1A1B1C1,记为第1次操作;然后将 O1A1B1C1沿x轴向上翻折再沿x轴正方向平移1个单位得 O2A2B2C2,记为第2次操作;…….求第3次操作后,C点的对应点的坐标与第2 021次操作后,C点的对应点的坐标.
第4章 平行四边形
4.2 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形的边和角的性质
答案全解全析
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1.答案 115°
解析 当∠BCD=115°时,∵∠ABC=65°,
∴∠ABC+∠BCD=65°+115°=180°,∴AB∥CD,
∵直线a∥b,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
2.答案 5
解析 ①②③都是平行四边形,①与②组成的四边形也是平行四边形,①②③组成的四边形也是平行四边形,共有5个平行四边形.
[变式]答案 9
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∵EF∥AD,HG∥AB,
∴AD∥EF∥BC,AB∥HG∥CD,
∴四边形BEOG、四边形DFOH、四边形DHGC、四边形BEFC、四边形BAHG、四边形AEOH、四边形AEFD、四边形OGCF都是平行四边形,
∴题图中平行四边形有9个.
3.证明 ∵∠A与∠B互为补角,∠B与∠C互为补角,∴AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
4.D ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠A+∠D=180°.
∵∠A+∠C=80°,∴∠A=∠C=40°.
∴40°+∠D=180°,∴∠D=140°.
5.A 因为四边形ABCD是平行四边形,∠D=60°,所以∠B=∠D=60°,因为CE⊥AB,E为垂足,所以∠B+∠BCE=90°,所以60°+∠BCE=90°,所以∠BCE=30°.
6.D ∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,CD=AB=6,AD=BC=4,
∴∠ABE=∠CEB,∠AFD=∠CDF,
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC,
∴∠ABE=∠CBE,∠ADF=∠CDF,
∴∠CBE=∠CEB,∠ADF=∠AFD,
∴CE=BC=4,AF=AD=4,
∴DE=CD-CE=6-4=2,∴AF+DE=4+2=6.
故选D.
7.证明 ∵∠AFD=∠E,∴BE∥AF,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,
∴AB∥EF,∴四边形ABEF是平行四边形,
∴AB=EF,∴CD=EF,
∴EF-FC=CD-FC,即CE=FD.
8.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAF=∠BCE,
在△ADF与△CBE中,
∴△ADF≌△CBE(ASA),∴AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF.
(2)∵△ADF≌△CBE,∴∠AFD=∠CEB,
∴BE∥DF.
9.答案 四边形的不稳定性
解析 电动伸缩门的每一小格都是平行四边形,它能伸缩是利用了四边形的不稳定性.
10.答案 1
解析 根据三角形具有稳定性,在四边形的对角线上添加一根木条后,可使四边形木架不变形.
[变式]答案 (n-3)
解析 过n边形的一个顶点可以作(n-3)条对角线,把多边形分成(n-2)个三角形,所以要使一个n边形木架不变形,至少需要加钉(n-3)根木条固定.
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11.B 如图,
图中的平行四边形有 ABED, ABGF, BCFE, ACFD, PBQF,共有5个平行四边形.故选B.
12.C 设AE与BF交于点O(图略).∵AG平分∠BAD,
∴∠BAE=∠FAE,
∵AF=AB,∴AE⊥BF,OB=BF=3.在Rt△AOB中,AO==4.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC. ∴∠FAE=∠BEA,∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE,∴AE=2AO=8,故选C.
13.答案 4或-2
解析 本题考查了平行四边形的性质及点的坐标.
当OB∥AC时,
∵以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,
∴OA=BC,OB=AC,
∵点O(0,0),A(3,0),B(1,2),C(x,2),
∴x-1=3-0,∴x=4.
当OC∥AB时,
∵以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,
∴OA=BC,AB=OC,
∵点O(0,0),A(3,0),B(1,2),C(x,2),
∴1-x=3-0,∴x=-2.
易错点 易忽视原题中没有规定点的顺序而漏解.
14.答案 26 cm或28 cm
解析 ∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠CBE,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠CBE=∠AEB,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE.
①当AE=5 cm时,四边形ABCD的周长为(5+5+4)×2=28(cm);
②当AE=4 cm时,四边形ABCD的周长为(4+4+5)×2=26(cm).
[变式1]答案 3
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD=BC=5,AB=CD,∴∠E=∠DCE,
∵CE是∠BCD的平分线,∴∠BCE=∠DCE,∴∠E=∠BCE,∴BE=BC=5,∴CD=AB=BE-AE=5-2=3.
[变式2]答案 8
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,BC=AD=10,∴∠ADE=∠DEC,
∵DE平分∠CDA,∴∠ADE=∠EDC,∴∠EDC=∠DEC,∴EC=CD,
∵点E是线段BC的中点,∴EC=CD=BE=5,
∴AB=CD=5,∴AB=BE,∴∠BAE=∠AEB,
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,∴∠BAE=∠DAE,
∴AE平分∠BAD,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD+∠ADC=180°,∴∠DAE+∠ADE=90°,∴∠AED=90°,
∴△AED是直角三角形,
∵AE=6,AD=10,∴DE===8.
15.答案 10
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,CD=AB=2,∴∠DAC=∠ACB,
由折叠的性质可知,∠DAC=∠EAC,
∴∠ACB=∠EAC,∴OA=OC.
∵AE过BC的中点O,∴AO=OB=OC,
∴∠B=∠BAO,∠OAC=∠OCA,
∴∠BAC=∠BAO+∠OAC=×180°=90°,
∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC=90°,
由折叠性质可知,∠ACE=∠ACD=90°,
∴E、C、D三点共线,∴DE=2CD=4,
由折叠性质可知,AE=AD=3,
∴△ADE的周长为3+3+4=10.
16.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠ABC=∠ADC,
∴∠G=∠H,∠EBG=∠FDH,
在△BEG和△DFH中,
∴△BEG≌△DFH(AAS).∴BE=DF.
17.解析 (1)证明:∵E是边CD的中点,∴DE=CE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BF,∴∠D=∠DCF,
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE(ASA).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=5,
∵△ADE≌△FCE,∴AD=CF=5,
∴BF=BC+CF=5+5=10.
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18.解析 由题意得,奇数次操作后,平行四边形在x轴的下方;偶数次操作后,平行四边形在x轴的上方.
∵四边形OABC是平行四边形,A(4,0),B(6,2),
∴点C的坐标为(2,2),
由题意得,每次操作后点C的横坐标增加1,
∴第3次操作后,C点的对应点的坐标为(5,-2),
第2 021次操作后,C点的对应点的坐标为(2 023,-2).
