第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
基础过关全练
知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1.方程3x2-6x+2=0的解是( )
A.x=2
B.x=3
C.x1=+1,x2=-+1
D.x1=-1,x2=--1
2.【一题多变·根据方程特征,选择合适的变形进行配方】用配方法解一元二次方程2x2-3x-2=0时,下列变形正确的是( )
A.= B.= C.= D.=
[变式1·根据配方结果,求待定字母的值]用配方法解方程5x2-20x+4=0时,将方程变为(x-m)2=的形式,则m的值为( )
A.-2 B.2 C.-25 D.25
[变式2·根据配方结果,解原方程]一个一元二次方程能配方成(x-2)2=5,且它的二次项系数为,这个方程的一般形式为 ,它的根为 .
[变式3·利用配方结果,求代数式的值]用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时,将它化为(x+a)2=b的形式,则a+b的值为 .
3.方程7x2-x-4m=0的一个根是x=-1,则另一个根是 .
4.【教材变式·P34例6】(2023浙江丽水青田二中期中)解方程:
(1)【一题多解】3x2-21x=0; (2)2x2-2x-3=0.
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5.(2022黑龙江佳木斯中考,5,★★☆)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了45场,共有多少支队伍参加了比赛 ( )
A.8 B.10 C.7 D.9
在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,文本框①中是小贤做的,文本框②中是小淇做的,对于两人的做法,下列说法正确的是( )
A.两人都正确
B.小贤正确,小淇不正确
C.小贤不正确,小淇正确
D.两人都不正确
7.【教材变式·P35T4】用配方法解下列方程:
(1)-0.2x2+x-0.6=0; (2)-x2+3x-=0.
8.一个容器盛满纯药液45升,第一次倒出一部分纯药液后,用水加满;第二次又倒出同样多的药液,若此时容器内剩下的纯药液是20升,则每次倒出的液体是多少升
9.【生命安全与健康】为了倡导节能低碳的生活,某公司对集体宿舍用电收费的规定如下:一间宿舍一个月用电量若不超过a千瓦时,则一个月的电费为20元;若超过a千瓦时,则除了交20元外,超过部分每千瓦时要交元.某宿舍3月份用电80千瓦时,交电费35元;4月份用电45千瓦时,交电费20元.求a的值.
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10.【推理能力】阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.
例如:(x-1)2+3、(x-2)2+2x或(x+2)2-6x、+x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出x2-4x+2的三种不同形式的配方;
(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);
(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的
一元二次方程
答案全解全析
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1.C 3x2-6x+2=0,
方程两边同除以3,得x2-2x+=0,
移项,得x2-2x=-,
方程两边同加上1,得x2-2x+1=-+1,
即(x-1)2=,
开平方,得x-1=或x-1=-,
解得x1=+1,x2=-+1.
2.D 2x2-3x-2=0,
方程两边同除以2,得x2-x-1=0,
移项,且两边同加上,得x2-x+=1+,
即=.故选D.
[变式1]B 5x2-20x+4=0,
方程两边同除以5,得x2-4x+=0,
移项,得x2-4x=-,
方程两边同加上4,得x2-4x+4=-+4,
即(x-2)2=,
因为用配方法解方程5x2-20x+4=0时,将方程变为(x-m)2=的形式,所以m=2.
[变式2]答案 x2-2x-=0;x1=+2,x2=-+2
解析 (x-2)2=5,
去括号,得x2-4x+4=5,
移项,得x2-4x+4-5=0,即x2-4x-1=0,
因为这个一元二次方程能配方成(x-2)2=5,且它的二次项系数为,所以将x2-4x-1=0两边同除以2,得x2-2x-=0,此方程即为所求的方程.
因为这个一元二次方程能配方成(x-2)2=5,
所以x-2=或x-2=-,解得x1=+2,x2=-+2.
[变式3]答案
解析 3x2+6x-1=0,
移项,得3x2+6x=1,
方程两边同除以3,得x2+2x=,
方程两边同加上1,得x2+2x+1=+1,即(x+1)2=,
∵用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时,将它化为(x+a)2=b的形式,
∴a=1,b=,∴a+b=.
3 答案 x=
解析 因为方程7x2-x-4m=0的一个根是x=-1,
所以7+1-4m=0,解得m=2,所以这个方程为7x2-x-8=0,解得x1=-1,x2=,所以另一个根为x=.
4 解析 (1)解法一:【因式分解法】方程两边同除以3,得x2-7x=0,
方程左边分解因式,得x(x-7)=0,
所以x=0或x-7=0,解得x1=0,x2=7.
解法二:【配方法】方程两边同除以3,得x2-7x=0,
方程两边同加上,得=,
开平方,得x-=或x-=-.
解得x1=7,x2=0.
(2)方程两边同除以2,得x2-x-=0,
移项,得x2-x=,
方程两边同加上,得x2-x+=+,即=,
开平方,得x-=或x-=-,
解得x1=,x2=.
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5.B 设共有x支队伍参加了比赛,
可列方程为=45,
解得x1=10,x2=-9(舍去),
∴共有10支队伍参加了比赛.故选B.
6.A 先移项并将二次项系数化为1,再配方,变形后即可判断小贤的做法是否正确;
先移项并将二次项系数化为4,再配方,变形后即可判断小淇的做法是否正确.
7 解析 (1)-0.2x2+x-0.6=0,
方程两边同乘-10,得2x2-10x+6=0,
方程两边同除以2,得x2-5x+3=0,
移项,得x2-5x=-3,
方程两边同加上,得x2-5x+=-3+,即=,开平方,得x-=±,
解得x1=+,x2=-.
(2)-x2+3x-=0,
方程两边同除以-,得x2-x+1=0,
移项,得x2-x=-1,
方程两边同加上,得x2-x+=-1+,所以=-<0,所以原方程无实数根.
8.解析 设每次倒出的液体是x升,则第一次倒出再加满水后药液的浓度为×100%,
根据题意得(45-x)·×100%=20,
解得x1=15,x2=75(不合题意,舍去).
∴每次倒出的液体是15升.
9.解析 由题意得(80-a)+20=35,
解得a1=50,a2=30,
∵4月份用电45千瓦时,交电费20元,
∴a≥45,∴a只能取50,∴a的值为50.
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10.解析 (1)x2-4x+2=(x-2)2-2,
x2-4x+2=(x+)2-(2+4)x
=(x-)2+(2-4)x,
x2-4x+2=(x-)2-x2.
(2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab,
a2+ab+b2=+b2,
a2+ab+b2=+a2.
(3)∵a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,
∴+(b-2)2+(c-1)2=0,
∴解得∴a+b+c=4.
