2023～2024学年第一学期二调考试
高二年级数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线与直线平行，则实数（ ）
A. B.1 C. D.3
2.数列，7，，13，…的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ）
A. B. C.1 D.2
4.一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
5.设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
6.在四面体中，点满足，为的中点，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
7.已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知圆：和点，，若点在圆上，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
10.已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（ ）
A. B. C. D.
11.如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（ ）
A. B.异面直线，所成角为
C.点到直线的距离为 D.的面积是
12.某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有的学生选择甲餐厅.设开学后第天选择甲餐厅就餐的学生比例为，则（ ）
A.
B.是等比数列
C.第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为
D.开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有5750人次
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列的前项和为，若，则______.
14.若为圆：上任意一点，点，则的取值范围为______.
15.已知，，，，则点到平面的距离为______.
16.已知，分别是双曲线：的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值及取得最小值时的值.
18.（本小题满分12分）
已知半径为4的圆与直线：相切，圆心在轴的负半轴上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线：与圆相交于，两点，且的面积为8，求直线的方程.
19.（本小题满分12分）
已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过双曲线的右顶点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求线段的长度.
20.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知数列的首项，且满足.
（1）证明：是等比数列；
（2）数列满足，，记，求数列的前项和.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆：过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知的下顶点为，不过的直线与交于点，，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
2023~2024学年第一学期二调考试·高二年级数学
参考答案
1.B由两直线平行，得，解得.
当时，直线与直线平行，故.故选B.
2.B由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是.故选B.
3.C当时，，所以，解得，.故选C.
4.A由题意设双曲线的方程为，
将点（，）代入双曲线方程得，
所以双曲线的方程为，即.故选A.
5.A在等差数列中，，，，成等差数列，即，
设，则，所以，解得，所以.故选A.
6.D由为的中点，得，
又，所以，
由，得，即，所以.故选D.
7.B不妨设，，，则①，②，②①，得，
所以，因为，所以，所以，
由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立），所以.故选B.
8.C设，由，得，
即点在圆上，圆心为，半径.
圆的圆心为，半径，又点在圆上，故圆与圆有公共点，
所以，解得，
即的取值范围是.故选C.
9.BD当截距为0时，过点和原点，所以的方程为，即；
当截距不为0时，设的方程为，由过点，得，解得，
所以的方程为.故选BD.
10.ACD依题意，抛物线：的准线为，
因为为上一点，且，则，解得，故A正确；
抛物线：，焦点为，因为为上一点，则，
所以，所以，故B错误；
直线的方程为，代入：，得，
整理得，解得或，
因为为上一点且在轴下方，所以，所以，所以，故C正确；
，故D正确.故选ACD.
11.ACD由题意知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
又，分别是线段，的中点，所以，，
所以，，
又，不共线，所以，故A正确；
，，设异面直线，所成角为，则，
又，所以，即异面直线，所成角为，故B错误；
由，，得，
所以点到直线的距离为，故C正确；
因为，所以到的距离即为到的距离，
所以的面积.故D正确.故选ACD.
12.ABD由题意，得，故A正确；，
又，所以，是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
，即，所以，故C错误；
，又有1920名学生，所以开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有人次，故D正确.故选ABD.
13.3，又，所以.
14.圆：化为标准方程，得，
所以的取值范围为.
15. ，，，
设平面的法向量，则即
令，则，，所以平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
16. 由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，由轴，可知轴，所以可设，又在渐近线上，所以，所以，因为的离心率的取值范围是，所以，，又，所以.
17.解：（1）设等差数列的公差为，
由，，得，，解得，，
所以.
（2）方法一：由知是递增数列，
当时，；当时，.
所以，
所以当时，最小，最小值为.
方法二：，
又，所以当时，最小，最小值为.
18.解：（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍），
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，则，，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或.
19.解：（1）双曲线：中，，，
所以，解得，所以双曲线的右焦点为.
所以可设抛物线的标准方程为，
其焦点为，所以，即，
所以抛物线的标准方程为.
（2）由，得双曲线的右顶点为，因为直线过点且斜率为2，
所以直线的方程为，
设，，联立直线与抛物线的方程，
消去，得，
所以，，
所以.
20.（1）证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，所以，，
又为的中点，，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）解：在直三棱柱中，平面，又，平面，
所以，，又，故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，则
令，得，，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
21.（1）证明：由题意，得，所以，
又，所以，所以，
所以是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）解：由（1），得，所以.
由，得，
所以，，…，
当时，；
当时，，满足上式，所以.
，
所以，①
，②
①－②，得，
所以.
22.解（1）依题意，得又，解得（负值舍去）
所以椭圆方程为.
（2）因为，，
所以，，
又为线段的中点，所以，因此.
根据题意可知直线的斜率一定存在，设的方程为，，，
联立消去，
得，，
根据韦达定理可得，，
因为，所以，
所以，
整理得，解得或.
又直线不经过点，所以舍去，
于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足，
所以直线恒过定点，定点坐标为.
