18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 正方形
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2023江西新余一中期末)如图,正方形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,点E在BD上,且BE=BC,则∠ACE的度数为( )
A.22.5° B.27.5° C.30° D.35°
2.(2022山东济宁期末)如图,在正方形ABCD的外侧作等边三角形DCE,则∠EAC=( )
A.15° B.28° C.30° D.45°
3.(2022山东聊城期末)如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,点F是正方形ABCD的边CB的延长线上一点,且DE=FB,若四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长为( )
A.4 B.2 C.6 D.2
4.如图,小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD中任选两个作为补充条件,使 ABCD为正方形.现有下列四种选法,你认为其中错误的是( )
A.②③ B.①③ C.①② D.③④
5.(2023青海西宁期末)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,且DE∥CA,DF∥AB.下列四个判断中,错误的是( )
A.四边形AEDF是平行四边形
B.如果AD=EF,那么四边形AEDF是矩形
C.如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形
D.如果AB=AC且AD⊥BC,那么四边形AEDF是正方形
二、填空题
6.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,则以AC为边的正方形ACEF的周长为 .
7.如图,四边形ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,AB=AD,添加一个条件: ,可使它成为正方形.(只填一个即可)
8.(2023天津八十中期末)如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,若DE=5,BF=8,则EF的长为 .
9.(2023北京顺义牛栏山一中期末)如图,正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G,则CG= .
10.如图,在正方形ABCD中,点E是BC上的一定点,且BE=5,EC=7,点P是BD上的一动点,则PE+PC的最小值是 .
三、解答题
11.(2022湖北随州期末)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点O的直线EF交BC于点E,交AD于点F,连接AE、CF.
(1)判断四边形AECF的形状,并说明理由.
(2)当OE与AC有何关系时,四边形AECF为正方形 请说明理由.
12.(2023山东济南外国语学校期末)如图,在 ABCD中,AC、BD相交于点O,点E、F在AC上,AE=CF.
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
(2)若∠BAC=∠DAC,DO=EO,求证:四边形EBFD是正方形.
13.如图,在△ABC中,AB=AC,D、F分别为BC、AC的中点,连接DF并延长到点E,使DF=FE,连接AE、AD、CE.
(1)求证:四边形AECD是矩形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AECD是正方形 并说明理由.
14.(2023四川成都树德中学期中)如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F.以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形;
(2)求CE+CG的值.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 A ∵四边形ABCD是正方形,∴∠CBD=∠ACB=45°,
∵BE=BC,
∴∠BCE=∠BEC=(180°-45°)÷2=67.5°,
∴∠ACE=67.5°-45°=22.5°,故选A.
2.答案 C ∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAC=45°,∠ADC=90°,AD=DC,
∵三角形DCE是等边三角形,∴∠CDE=60°,DC=DE,
∴∠ADE=90°+60°=150°,AD=CD=DE,
∴∠DAE==15°,
∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=45°-15°=30°.
故选C.
3.答案 D ∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠D=∠ABC=∠ABF=90°,
在△ADE与△ABF中,
∴△ADE≌△ABF(SAS),∴S△ADE=S△ABF,
∴正方形ABCD的面积等于四边形AECF的面积,
∵四边形AECF的面积为20,
∴正方形ABCD的面积为20,
∴AD2=20,
在Rt△ADE中,AE===2,
故选D.
4.答案 A A.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,
根据AC=BD,无法得出矩形ABCD是正方形,故此选项错误,符合题意;
B.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,
∴当AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故此选项正确,不符合题意;
C.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,
∴当∠ABC=90°时,菱形ABCD是正方形,故此选项正确,不符合题意;
D.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当AC=BD时,平行四边形ABCD是矩形,
∴当AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形,故此选项正确,不符合题意.
故选A.
5.答案 D A.∵DE∥CA,DF∥BA,
∴四边形AEDF是平行四边形,
故A选项正确,不符合题意.
B.∵四边形AEDF是平行四边形,
∴如果AD=EF,那么四边形AEDF是矩形,
故B选项正确,不符合题意.
C.∵AD平分∠EAF,
∴∠EAD=∠FAD,
∵DE∥CA,
∴∠FAD=∠EDA,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,
又∵四边形AEDF是平行四边形,
∴四边形AEDF是菱形,
故C选项正确,不符合题意.
D.∵AD⊥BC且AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵DE∥CA,∴∠FAD=∠EDA,
∴∠EAD=∠EDA,
∴AE=DE,
∴四边形AEDF是菱形,
根据已知无法推出四边形AEDF是正方形,故D选项错误,符合题意.
故选D.
二、填空题
6.答案 8
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,
∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=2,
∵四边形ACEF是正方形,
∴AF=EF=EC=AC=2,
∴正方形ACEF的周长=4×2=8.
7.答案 ∠BAD=90°(答案不唯一)
解析 因为四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,
所以平行四边形ABCD是菱形,
如果∠BAD=90°,
那么菱形ABCD是正方形.(答案不唯一)
8.答案 13
解析 ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=90°,AB=AD,
∵BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,
∴∠DEA=∠BFA=90°=∠BAD,
∴∠BAF+∠DAE=90°,∠BAF+∠ABF=90°,
∴∠DAE=∠ABF,
又∵AB=AD,∠DEA=∠BFA,∴△ABF≌△DAE(AAS),
∴AF=DE=5,AE=BF=8,
∴EF=AF+AE=13.
9.答案 7
解析 如图,连接AG,EG,
∵HG垂直平分AE,∴AG=EG,
∵正方形ABCD的边长为8,
∴∠B=∠C=90°,AB=BC=CD=8,
∵E是CD的中点,∴CE=4,
设CG=x,则BG=8-x,
由勾股定理,得EG2=CG2+EC2=x2+16,AG2=AB2+BG2=64+(8-x)2,
∴x2+16=64+(8-x)2,解得x=7,即CG=7.
10.答案 13
解析 如图,连接AE交BD于点P',连接CP',当点P在P'位置时,PE+PC有最小值,AE的长就是PE+PC的最小值,∵四边形ABCD是正方形,BE=5,EC=7,∴AB=BC=12,∴AE==13,∴PE+PC的最小值是13.
三、解答题
11.解析 (1)四边形AECF是平行四边形.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,
∴∠AFO=∠CEO,∠FAO=∠ECO,
∴△OAF≌△OCE,∴OF=OE,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)当OE=AC,且OE⊥AC时,四边形AECF为正方形.
理由:∵OE=EF,OE=AC,
∴EF=AC,∴平行四边形AECF是矩形,
∵EF⊥AC,∴矩形AECF是正方形,
∴当OE=AC,且OE⊥AC时,四边形AECF为正方形.
12.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,
∵AE=CF,∴OE=OF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,
∵∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,
∴DA=DC,∴平行四边形ABCD为菱形,
∴DB⊥EF,∴平行四边形EBFD是菱形.
∵DO=EO,∴BD=EF,
∴四边形EBFD是正方形.
13.解析 (1)证明:∵F为AC的中点,∴CF=FA,
又∵DF=FE,∴四边形AECD是平行四边形,
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∴平行四边形AECD是矩形.
(2)当∠BAC=90°时,四边形AECD是正方形.
理由:∵∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD=BD=CD,
由(1)得四边形AECD是矩形,
∴矩形AECD是正方形.
14.解析 (1)证明:如图所示,过点E作EM⊥CD于M,EN⊥BC于N,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACB=∠ACD.
∵EM⊥CD,EN⊥BC,∴EM=EN.
∵∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°,
∴四边形EMCN是矩形.∴∠MEN=90°.
∵四边形DEFG是矩形,
∴∠DEF=90°.∴∠DEM=∠FEN.
∵∠EMD=∠ENF=90°,EM=EN,
∴△EMD≌△ENF(ASA).∴ED=EF.
∴矩形DEFG是正方形.
(2)∵四边形DEFG是正方形,四边形ABCD是正方形,
∴DE=DG,AD=CD=AB=4,∠ADC=∠EDG=90°.
∴∠ADE=∠CDG.
∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG.
∴CE+CG=CE+AE=AC===8.
