18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2023广东惠州月考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=10,D是AC的中点,则BD=( )
A.4 B.5 C.6 D.8
2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=60°,则∠OCB的度数为( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
3.(2023福建福州三牧中学期中)如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果∠ABD=50°,那么∠BAE的度数是( )
A.70° B.65° C.55° D.40°
4.(2023河北廊坊期末)如图,在矩形ABCD中,E是对角线BD上一点,F是BC的中点,连接CE,FE.已知AD=4,∠CBD=∠DCE,则EF的长为( )
A.3 B.2.5 C.2 D.1.5
5.如图,在矩形OABC中,点B的坐标是(1,2),则AC的长是( )
A.3 B.2 C. D.
二、填空题
6.(2023湖南娄底期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠ACD=3∠BCD,E是斜边AB的中点,则∠ECD= 度.
7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=5,AD=12,则OC= .
8.(2023浙江省瓯海中学期末)已知矩形ABCD中,AB=6 cm,AD=8 cm,过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F,则AE的长为 cm.
9.如图,已知在矩形ABCD中,O为对角线的交点,∠BOC=120°,AE⊥BO于点E,AB=4,则AE的长为 .
10.(2023天津外国语学校期末)如图,在矩形ABCD中,点E在BC边上,DF⊥AE于F,若EF=CE=1,AB=3,则线段AF的长是 .
三、解答题
11.如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证:△ABE≌△DFA;
(2)若AB=6,AD=10,求CE的长.
12.(2023湖南怀化期末)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AB=1,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.
13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,过点C作CE∥BD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AC=CE;
(2)若DE=9,CD=12,求△COD的周长.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 B 在△ABC中,∠ABC=90°,AC=10,D是AC的中点,
∴BD=AC=5.故选B.
2.答案 A ∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,
∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB,
∵∠AOB=∠OBC+∠OCB=60°,
∴∠OCB=30°,
故选A.
3.答案 A 如图,连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,AC=BD,OB=OC,
∵∠ABD=50°,∴∠CBD=40°,
又∵OB=OC,∴∠ACB=∠CBD=40°,
∵CE=BD,∴CE=AC,
∴∠E=∠CAE=∠ACB=20°,
∴∠BAE=90°-∠E=70°,
故选A.
4.答案 C ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°,BC=AD=4,
∴∠DBC+∠BDC=90°,
∵∠CBD=∠DCE,
∴∠DCE+∠BDC=90°,
∴∠CEB=∠DCE+∠BDC=90°,
∵F是BC的中点,∴EF=BC=2,
故选C.
5.答案 C 如图,连接OB,过B作BM⊥x轴于M,
∵点B的坐标是(1,2),∴OM=1,BM=2.
在Rt△OBM中,由勾股定理得OB===,
∵四边形OABC是矩形,
∴AC=OB=,
故选C.
二、填空题
6.答案 45
解析 ∵∠ACB=90°,∠ACD=3∠BCD,
∴∠BCD=90°×=22.5°,∠ACD=90°×=67.5°,
∵CD⊥AB,∴∠B=90°-22.5°=67.5°,
∵E是AB的中点,∠ACB=90°,
∴CE=BE,∴∠BCE=∠B=67.5°,
∴∠ECD=∠BCE-∠BCD=67.5°-22.5°=45°.
7.答案 6.5
解析 ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,AC=BD,OC=OA,
在Rt△ABD中,BD===13,
∴OC=AC=BD=×13=6.5.
8.答案
解析 如图,连接EB,
∵EF垂直平分BD,∴ED=EB,
设AE=x cm,则DE=EB=(8-x)cm,
在Rt△AEB中,AE2+AB2=BE2,
即x2+62=(8-x)2,解得x=,∴AE的长为 cm.
9.答案 2
解析 ∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OA=AC,OB=BD,∴OA=OB,
∵∠AOB=180°-∠BOC=180°-120°=60°,
∴△AOB为等边三角形,
∴AO=BO=AB=4,
∵AE⊥BO,∴BE=OE=BO=×4=2,
∴在Rt△ABE中,由勾股定理得AE===2.
10.答案 4
解析 如图所示,连接DE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠BCD=90°,AD=BC,
∴∠ADE=∠DEC,
∵DF⊥AE,∴∠DFE=90°,
又∵DE=DE,EF=CE,
∴Rt△DEF≌Rt△DEC(HL),
∴∠FED=∠CED,
∴∠FED=∠ADE,∴AE=AD=BC,
设AE=BC=x,则BE=x-1,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AB2+BE2=AE2,即32+(x-1)2=x2,
解得x=5,即AE=5,
∴AF=AE-EF=5-1=4.
三、解答题
11.解析 (1)证明:在矩形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,
∴∠FAD=∠BEA.
∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°=∠B.
在△ABE和△DFA中,
∴△ABE≌△DFA(AAS).
(2)∵AE=AD=10,AB=6,∠B=90°,
∴BE===8,
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=10,
∴CE=BC-BE=10-8=2.
12.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC,OB=OD,AC=BD.
∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE=CF.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°,
∴OA=OB,
∵∠AOB=∠COD=60°,
∴△AOB是等边三角形.
∴OA=AB=1,∴AC=2OA=2.
在Rt△ABC中,BC==,
∴矩形ABCD的面积=AB·BC=1×=.
13.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,BC∥AD,即BC∥DE,
又∵CE∥BD,
∴四边形DECB是平行四边形,
∴BD=CE,∴AC=CE.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,CO=DO=AC,
∴∠EDC=180°-∠ADC=90°,
在Rt△EDC中,DE=9,CD=12,
∴CE===15,
由(1)知AC=CE,∴AC=15,
∴△COD的周长=CO+DO+CD=AC+AC+CD=AC+CD=15+12=27.18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
测试时间:15分钟
一、选择题
1.如图,用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直,只需要用绳子分别测量并比较书架的两条对角线AC,BD的长就可以判断,其推理依据是( )
A.矩形的对角线相等
B.矩形的四个角是直角
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线相等的平行四边形是矩形
2.(2023山东青岛二十六中月考)已知在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,添加下列条件后,能够判定四边形ABCD是矩形的是( )
A.OA=OC B.AC=AD
C.AB∥CD D.AB2+BC2=AC2
3.(2023山东临沂模拟)依据所标数据,下列四边形不一定为矩形的是( )
4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点,过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,连接EF,则EF的最小值是( )
A.1.2 B.1.5 C.2 D.2.4
二、填空题
5.(2023湖南永州期末)如图,在 ABCD中,AC、BD相交于点O,AC=12,当OD= 时,
ABCD是矩形.
6.如图,在 ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=55°,则∠OAB的度数为 .
7.在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且AC,BD互相平分,若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形,则这个条件可以是 (填写一个即可).
8.如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,小明按如下步骤作图:①以A为圆心,BC长为半径作弧,以C为圆心,AB长为半径作弧,两弧相交于点D;②连接DA,DC,则四边形ABCD为 .
9.在四边形ABCD中,有以下四个条件:①AB∥CD;②AD=BC;③AC=BD;④∠ADC=∠ABC.从中选取三个条件,可以判定四边形ABCD为矩形,则应选择的条件序号是 .
10.(2023湖南常德模拟)如图,在 ABCD中,M、N是BD上的两点,BM=DN,连接AM、MC、CN、NA.请你添加一个条件: ,使得四边形AMCN是矩形.
三、解答题
11.(2023湖南长沙长郡中学期末)如图,在 ABCD中,点E,F分别是边BC,AD上的点,且∠BAE=∠DCF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若∠AEC=90°,求证:四边形AECF是矩形.
12.(2023福建福州励志中学期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,过点A作BC的平行线,过点B作AD的平行线,两直线交于点E.
(1)求证:四边形ADBE是矩形;
(2)连接DE,交AB于点O,若BC=16,DO=5,求四边形ADBE的面积.
13.如图,在平行四边形ABCD中,点P是AB边上一点(不与A,B重合),CP=CD,过点P作PQ⊥CP,交AD边于点Q,连接CQ.
(1)若∠BPC=∠AQP,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)在(1)的条件下,当AP=4,AD=12时,求AQ的长.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 D 推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形,故选D.
2.答案 D A.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,故选项A不符合题意;
B.添加条件AC=AD后,不能判定平行四边形ABCD是矩形,故选项B不符合题意;
C.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,故选项C不符合题意;
D.∵AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形,故选项D符合题意.
故选D.
3.答案 D A.∵AB=CD=3,AD=BC=4,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC=5,∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形,故选项A不符合题意;
B.如图,设AC、BD交于点O,
∵OA=OC=2.5,OB=OD=2.5,
∴四边形ABCD是平行四边形,AC=OA+OC=5,BD=OB+OD=5,
∴AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形,故选项B不符合题意;
C.∵∠A=∠B=∠D=90°,
∴四边形ABCD是矩形,故选项C不符合题意;
D.如图,设AC、BD交于点O,
∵∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=40°,
∴AD∥BC,OA=OD,OB=OC,
由已知不能判定四边形ABCD是平行四边形,更不能判定四边形ABCD是矩形,故选项D符合题意.
故选D.
4.答案 D 连接AP,如图,
∵PE⊥AB,PF⊥AC,
∴∠AEP=∠AFP=90°,
∵∠BAC=90°,
∴四边形AFPE是矩形,∴EF=AP,
∴要使EF最小,只要AP最小即可,
当AP⊥BC时,AP取得最小值,
∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,
∴BC===5,
∵△ABC的面积=×4×3=×5AP,
∴AP=2.4,即EF的最小值为2.4,故选D.
二、填空题
5.答案 6
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当BD=AC=12时,四边形ABCD是矩形,
此时OD=BD=6,
∴当OD=6时,四边形ABCD是矩形.
6.答案 35°
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵OA=OD,∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
∵∠OAD=55°,
∴∠OAB=∠DAB-∠OAD=35°.
7.答案 AC=BD(答案不唯一)
解析 ∵对角线AC与BD互相平分,
∴四边形ABCD是平行四边形,
当AC=BD时,四边形ABCD是矩形.(答案不唯一)
8.答案 矩形
解析 由作图知AD=BC,AB=DC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.
9.答案 ①③④
解析 当具备①③④这三个条件时,能得到四边形ABCD是矩形.理由如下:
∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,∵∠ABC=∠ADC,AC=CA,∴△ABC≌△CDA(AAS),
∴∠ACB=∠DAC,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.故答案为①③④.
10.答案 OM=AC(答案不唯一)
解析 答案不唯一.例:OM=AC.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=AC,OB=OD,
∵BM=DN,∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,
∴四边形AMCN是平行四边形,
∵OM=AC,∴MN=AC,
∴平行四边形AMCN是矩形.
三、解答题
11.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AF∥EC,∴∠AEB=∠EAF.
又∵∠AEC=90°,
∴∠AEB=∠AEC=∠EAF=90°.
由(1)知,△ABE≌△CDF,
∴∠CFD=∠AEB=90°.
∴∠AFC=∠AEC=∠EAF=90°.
∴四边形AECF是矩形.
12.解析 (1)证明:∵AE∥BC,BE∥AD,
∴四边形ADBE是平行四边形,
∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,
∴四边形ADBE是矩形.
(2)∵BC=16,AD是BC边上的中线,
∴BD=8.
由(1)知,四边形ADBE是矩形,
∴DE=AB=2DO=10.
在Rt△ADB中,AD===6.
∴S矩形ADBE=6×8=48.
13.解析 (1)证明:∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP,∠BPC=∠AQP,
∴∠CPQ=∠A,
∵PQ⊥CP,∴∠A=∠CPQ=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=90°=∠CPQ,
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中,
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL),∴DQ=PQ,
设AQ=x,则PQ=DQ=12-x,
在Rt△APQ中,AQ2+AP2=PQ2,
∴x2+42=(12-x)2,解得x=,∴AQ的长是.
