2022~2023学年江苏省苏州市工业园区星汇学校八年级（上）月考数学试卷（10月）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.分第届冬奥会将于年月日至日在北京和张家口举办，北京是全世界唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列组成本届冬奥会会徽的四个图案中是轴对称图形的是
( )
A. B.
C. D.
2.分的算术平方根是
( )
A. B. C. D.
3.分下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是
( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.分近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，，，三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使，，三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到，，三地距离都相等的地方，则高铁站应建在
( )
A. ，两边垂直平分线的交点处 B. ，两边高线的交点处
C. ，两边中线的交点处 D. ，两内角的平分线的交点处
5.分如图，一个长方形的纸条按如图所示方法折叠压平，则的度数等于
( )
A. B. C. D.
6.分放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是米分，小红用分钟到家，小颖分钟到家，则小红和小颖家的直线距离为
( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.分如图，点在锐角的内部，连接，，点关于、所在直线的对称点分别是、，则、两点之间的距离可能是
( )
A. B. C. D.
8.分如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计范围是
( )
A. B. C. D.
9.分如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为
( )
A. B. C. D.
10.分有一个边长为的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.分已知一个正数的平方根为与，则 ．
12.分如图，是的平分线上一点，，，垂足分别为，，若，则的长是 ．
13.分如果一个等腰三角形的两边长分别是、，那么它的周长是 ．
14.分如图，在中，，，，点为的中点，则的值是 ．
15.分把图中长和宽分别为和的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图所示的正方形，则图中小正方形的面积为 ．
16.分如图，一根旗杆在离地面米处断裂，旗杆总长为米，则旗杆顶部落在离旗杆底部 米处．
17.分把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕应形成的角度是 度．
18.分如图，中，，是的中点，过点作的垂线，交于，连接，，，，则 ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
分若，满足等式．
求，的值；
求的平方根．
20.本小题分
分如图，在中，是边的中点，是边的中点，连接，．
若，，，求证：；
若，，，求的面积．
21.本小题分
分在由单位正方形每个小正方形边长都为组成的网格中，的顶点均在格点上．
把向左平移个单位，再向上平移个单位得到，请画出，并写出点的坐标；
请画出关于轴对称的，并求出的面积．
22.本小题分
分如图，点是的角平分线上的一点，过点作交于点，交于点．
求证：点在的垂直平分线上；
若，，求的长．
23.本小题分
分在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点与重合，折痕为．
如果，，可得的周长为 ；
如果，可得的度数为 ；操作二：如图，李静拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点与点重合，若，，请求出的长．
24.本小题分
分阅读材料：
如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，定值．
类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，，，等边的高为，试证明定值．
理解与应用中，，，，，内部是否存在一点，点到各边的距离相等？__填“存在”或“不存在”，若存在，请直接写出这个距离的值，__若不存在，请说明理由．
25.本小题分
分如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
用的代数式表示
当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
当点在边上运动时，出发__秒后，是以或为底边的等腰三角形？
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解： 不是轴对称图形，故 错误；
不是轴对称图形，故 错误；
不是轴对称图形，故 错误；
是轴对称图形，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2.【答案】
【解析】一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．利用概念即可解决问题．
【解答】解： 的平方根为 ，
的算术平方根为 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，弄清概念是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解： ， ，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
， ，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
， ，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
， ，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4.【答案】
【解析】根据线段垂直平分线的性质作出判断即可．
【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以判断出将高铁站修建在到 ， ， 三地距离都相等的地方，则高铁站应建在 ， 两边垂直平分线的交点处，
故选： ．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】利用翻折不变性解决问题即可．
【解答】解：如图，
由翻折不变性可知： ，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查折叠的性质，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：根据题意得：如图：
米 ．
米 ．
在直角 中， 米 ．
故选： ．
【点评】本题考查勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角三角形是本题的关键．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
7.【答案】
【解析】由轴对称的性质可得 ， ，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【解答】解：连接 ， ， ，
点 关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，
， ，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系定理，解本题的关键是熟练掌握轴对称性和三角形三边关系定理．
8.【答案】
【解析】画出图形，使 为饮料罐的底面直径， 为底面圆心， 为上底面中心，作射线 、射线 ，则 ，先根据勾股定理求出吸管在罐内的最大长度 的值，当吸管底端与点 重合时，则露在罐外部分最短；当吸管底端与点 重合时，则露在罐外部分最长，分别求出相应的 的值即可．
【解答】解：如图， 为饮料罐的底面直径， 为底面圆心， 为上底面中心，作射线 、射线 ，
， ， ，
，
，
当吸管底端与点 重合时，则露在罐外部分 最短，此时 ；
当吸管底端与点 重合时，则露在罐外部分 最长，此时 ，
的取值范围是 ，
故选： ．
【点评】此题重点考查勾股定理及其应用，正确地画出图形并且根据勾股定理求出吸管在罐内的最大长度是解题的关键．
9.【答案】
【解析】过 作 于 ，根据角平分线的性质得出 ，求出 ，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：过 作 于 ，
，
，
，
，
，
即 ，
， 和 分别平分 和 ，
， ，
，
，
，
，
的面积为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【解答】解：由题意得，正方形 的面积为，
由勾股定理得，正方形 的面积 正方形 的面积 ，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
同理可得，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为．
故选： ．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 ， ，斜边长为 ，那么 ．
11.【答案】
【解析】一个正数的平方根有个，它们互为相反数，由此得出这个正数的两个平方根互为相反数，即它们的和为，由此列出关于 的方程，从而求得 的值．
【解答】解： 一个正数的平方根为 与 ，
，
解得 ．
故答案为：．
【点评】本题考查平方根，熟练平方根的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】根据角平分线的性质定理可得答案．
【解答】解： 是 的平分线 上一点， ， ，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
13.【答案】
【解析】解决本题要注意分为两种情况：为底或为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答．
【解答】解： 等腰三角形有两边分别是和，
此题有两种情况：
为底边，那么就是腰，则等腰三角形的周长为 ，
底边，那么是腰， ，所以不能围成三角形．
该等腰三角形的周长为，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形性质；解题时涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
14.【答案】
【解析】根据 角的直角三角形的性质得到 ，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到结果．
【解答】解： ， ， ，
，
又 为 的中点，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质及 角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形各性质定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】根据题意得出小正方形的边长，然后根据面积公式计算即可．
【解答】解：由题意知，小正方形 的面积为 ，
故答案为：．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明，熟练根据图形列出代数式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
【解答】解：由题意得，折断的旗杆为 米，
旗杆顶部距离旗杆底部的距离为： ，
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．
17.【答案】
【解析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，
而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，
所以当剪口线与折痕成 角，菱形就变成了正方形．
故答案为：．
【点评】本题考查了剪纸的问题，同时考查了菱形和正方形的判定及性质，以及学生的动手操作能力．
18.【答案】
【解析】由直角三角形斜边上的中线可求 ，根据线段垂直平分线的性质可得 ，再利用勾股定理求得 的长，进而可求解 的长．
【解答】解： ， 是 的中点， ，
，
，
垂直平分 ，
，
，
，
解得 ，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质与判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
19.【答案】【小题】
解：由题意得， ， ，
解得： ，
【小题】解：
．
的平方根为 ，
的平方根为 ．
【解析】 直接利用算术平方根以及绝对值的性质分析得出答案
结合中所求，结合平方根的定义分析得出答案．
20.【答案】【小题】
证明： 是边 的中点， 是边 的中点， ， ，
， ，
，
，
是直角三角形，
【小题】
解： 是边 的中点， ，
．
在 中， ， ， ，
，
，
的面积 ．
【解析】 根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可证明
根据中点的定义求出 ，根据勾股定理求出 ，再求出 ，然后利用三角形面积公式列式计算即可求解．
21.【答案】【小题】
解：如图， 即为所求．
点 的坐标为 ．
【小题】
解： 的面积为 ．
【解析】 根据平移的性质作图，由图可得点 的坐标．
根据轴对称的性质作图，利用割补法求三角形的面积即可．
22.【答案】【小题】
证明： 点 是 的角平分线上的一点，
，
，
，
，
，
点 在线段 的垂直平分线上
【小题】
解：过点 作 于点 ，如图所示：
平分 ， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
．
【解析】 根据角平分线和平行线的性质可得 ，即可得证；
过点 作 于点 ，根据角平分线的性质可得 ，根据含 角的直角三角形的性质可得 ，进一步求解即可．
23.【答案】【小题】
解：操作一：翻折的性质可知： ，
．
的周长 ．
故答案为： ．
【小题】
设 ，则 ．
由翻折的性质可知： ，
，
．
解得； ．
．
．
故答案为： ．
操作二：在 中， ．
由翻折的性质可知： ， ．
，
．
．
在 中， ．
．
．
【解析】 操作一：由翻折的性质可知： ，于是 ，从而可知 的周长 ；
设 ，则 ，由翻折的性质可知 ，然后根据直角三角形两锐角互余可知： ．
操作二：先利用勾股定理求得 的长，然后利用面积法求得 的长，在 中，利用勾股定理可求得 的长，由翻折的性质可知： ，最后根据 计算即可．
24.【答案】【小题】
证明：连接 ， ， ．
则 ，
即 ，
是等边三角形，
，
定值；
【小题】
存在．
．
【解析】 连接 ， ， 根据三角形 的面积的两种计算方法进行证明
根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．
25.【答案】【小题】
【小题】
当点 在边 上运动， 为等腰三角形时，则有 ，
即 ，解得 ，
出发 秒后， 能形成等腰三角形；
【小题】
当 是以 为底边的等腰三角形时： ，如图所示，
则 ，
，
．
，
，
，
，
，
；
当， 是以 为底边的等腰三角形时： ，如图所示，
则 ，
，
综上所述：当 为或时， 是以 或 为底边的等腰三角形．
故答案为：秒或．
【解析】 根据题意即可用 可分别表示出
解：由题意可知 ， ，
，
，
故答案为：
结合，根据题意再表示出 ，然后根据等腰三角形的性质可得到 ，可得到关于 的方程，可求得
用 分别表示出 和 ，利用等腰三角形的性质可分 和 三种情况，分别得到关于 的方程，可求得 的值．
第1页，共1页
