第3章 整式的乘除
3.3 多项式的乘法
第1课时 两个一次多项式相乘
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知识点1 两个一次多项式相乘
1.(2023浙江杭州萧山期末)计算(x-1)(x+2)的结果为( )
A.x2+21 B.x2-x-2 C.x2+x-2 D.x2-2
2.下列式子中,计算结果为x2+2x-15的是( )
A.(x+5)(x-3) B.(x-5)(x+3)
C.(x+5)(x+3) D.(x-5)(x-3)
3.计算:(1)(2a+1)(a-1)= ;
(2)(2x-4)(2x+1)= .
4.(2023浙江杭州西湖期末)已知ab=a+b+2 023,则(a-1)(b-1)的值为 .
5.计算下列各式:
(1)(a+2b)(a-b); (2)(3a-2)(2a+5);
(3)(3x-y)(x+2y);
(4)(3x-2y)(y-3x)-(2x-y)(3x+y).
知识点2 两个一次多项式相乘的应用
6.【数形结合思想】数形结合思想是一种常用的数学思想,其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式.例如,根据图1的面积可以说明(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,那么根据图2的面积可以说明( )
图1
图2
A.(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2
B.(a+3b)(a+b)=a2+3b2
C.(b+3a)(b+a)=b2+4ab+3a2
D.(a+3b)(a-b)=a2+2ab-3b2
7.【新独家原创】如图,某公园里有一个长为4a+3b,宽为2a+3b的长方形风景区,为方便游人欣赏,公园特意修建了两条宽为b的小路,则修建小路后剩余风景区的面积是多少
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8.(2023浙江温州乐清期中,7,★☆☆)若(x+2)(x-5)=x2+mx+n,则m,n的值分别是( )
A.-3,10 B.3,-10
C.3,10 D.-3,-10
9.(2023浙江宁波十五中期中,5,★☆☆)要使多项式(x+1)(x+q)的计算结果中不含x的一次项,则( )
A.q=-2 B.q=-1
C.q=0 D.q=1
10.(2022浙江杭州余杭期中,10,★★☆)已知9x=25y=15,那么代数式(x-1)(y-1)+xy+3的值是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
11.(2023浙江杭州拱墅月考,13,★☆☆)已知m+n=mn,则(1-m)(1-n)= .
12.(2023浙江宁波余姚期中,15,★★☆)小青和小红分别计算:(2x+a)(3x+b),小青由于抄错了a的符号,得到的结果为6x2-13x+6,小红由于抄错了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-x-6,则这道题的正确结果是 .
13.回答下列问题:
(1)计算:①(x+2)(x+3)= ,
②(x+7)(x-10)= ,
③(x-5)(x-6)= ;
(2)由(1)的结果,直接写出下列各式的结果:
①(x+1)(x+3)= ,
②(x-2)(x-3)= ,
③(x+2)(x-5)= ;
(3)总结公式:(x+a)(x+b)= ;
(4)已知a,b,m均为整数,且(x+a)(x+b)=x2+mx+6,则m所有可能的值为 .
14.有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动减去a,同时B区就会自动加上3a,且均显示化简后的结果,如图,已知A、B两区初始显示的分别是25和-16.
例如:第一次按键后,A、B两区显示的结果分别为25-a、-16+3a.
(1)第二次按键后,A区显示的结果为 ,B区显示的结果为 ;
(2)计算(1)中A、B两区显示的代数式的乘积,并求当a=2时,代数式乘积的值.
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15.【运算能力】【新课标例66变式】有些大数问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决,请先阅读下面的解题过程,再解答下面的问题.
例:若x=123 456 789×123 456 786,
y=123 456 788×123 456 787,试比较x、y的大小.
解析:设123 456 788=a,则x=(a+1)(a-2)=a2-a-2,y=a(a-1)=a2-a,
∵x-y=(a2-a-2)-(a2-a)=-2,∴x
问题:若x=20 072 007×20 072 011-20 072 008×20 072 010,y=20 072 008×20 072 012-20 072 009×20 072 011,试比较x、y的大小.
答案全解全析
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1.C 原式=x2+2x-x-2=x2+x-2,故选C.
2.A (x+5)(x-3)=x2-3x+5x-15=x2+2x-15,故A符合题意;(x-5)(x+3)=x2+3x-5x-15=x2-2x-15,故B不符合题意;(x+5)(x+3)=x2+3x+5x+15=x2+8x+15,故C不符合题意;(x-5)(x-3)=x2-3x-5x+15=x2-8x+15,故D不符合题意.故选A.
3.答案 (1)2a2-a-1 (2)4x2-6x-4
解析 (1)原式=2a2-2a+a-1=2a2-a-1.
(2)原式=4x2+2x-8x-4=4x2-6x-4.
4.答案 2 024
解析 ∵ab=a+b+2 023,
∴(a-1)(b-1)=ab-a-b+1=a+b+2 023-a-b+1=2 024.
5.解析 (1)原式=a2-ab+2ab-2b2=a2+ab-2b2.
(2)原式=6a2+15a-4a-10=6a2+11a-10.
(3)原式=3x2+6xy-xy-2y2=3x2+5xy-2y2.
(4)原式=3xy-9x2-2y2+6xy-(6x2+2xy-3xy-y2)=-9x2-2y2+9xy-6x2+xy+y2=-15x2-y2+10xy.
6.A 根据题图2,得(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2.故选A.
7.解析 修建小路后剩余风景区的面积为(4a+3b-b)(2a+3b-b)=(4a+2b)(2a+2b)=8a2+12ab+4b2.
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8.D ∵(x+2)(x-5)=x2-3x-10=x2+mx+n,
∴m=-3,n=-10.故选D.
9.B (x+1)(x+q)=x2+(q+1)x+q,
∵结果中不含x的一次项,
∴q+1=0,
解得q=-1,故选B.
10.A ∵9x=25y=15,∴9xy=15y,25xy=15x,
∴15x+y=(9×25)xy=(3×5)2xy=152xy,∴x+y=2xy,
∴(x-1)(y-1)+xy+3=xy-(x+y)+1+xy+3=2xy-(x+y)+4=2xy-2xy+4=4.故选A.
11.答案 1
解析 (1-m)(1-n)=1-(m+n)+mn,
∵m+n=mn,∴原式=1.
12.答案 6x2+5x-6
解析 ∵小青由于抄错了a的符号,得到的结果为6x2-13x+6,
∴(2x-a)(3x+b)=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2-13x+6,
∴2b-3a=-13①,
∵小红由于抄错了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-x-6,
∴(2x+a)(x+b)=2x2-x-6,
即2x2+(2b+a)x+ab=2x2-x-6,
∴2b+a=-1②,
解关于①②的方程组,可得a=3,b=-2,
∴(2x+a)(3x+b)=(2x+3)(3x-2)=6x2+5x-6.
13.解析 (1)①x2+5x+6.②x2-3x-70.③x2-11x+30.
(2)①x2+4x+3.②x2-5x+6.③x2-3x-10.
(3)x2+(a+b)x+ab.
(4)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx+6,
∴m=a+b,6=ab.
∵6=1×6或(-1)×(-6)或2×3或(-2)×(-3),∴m=7或-7或5或-5.
∴m所有可能的值为7,-7,5,-5.
14.解析 (1)-2a+25;6a-16.
(2)(-2a+25)(6a-16)=-12a2+32a+150a-400
=-12a2+182a-400,
当a=2时,代数式乘积的值=-12×22+182×2-400=-84.
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15. 解析 设20 072 007=a,
则x=a(a+4)-(a+1)(a+3)
=a2+4a-a2-3a-a-3
=-3,
y=(a+1)(a+5)-(a+2)(a+4)
=a2+5a+a+5-a2-4a-2a-8
=-3,
∴x=y.
