人教B版（2019）必修第二册《5.1.2 数据的数字特征》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知一组数据：的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别是
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.（5分）为了解我校高二年级学生某次考试数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是
A. 总体指的是参加这次考试的全体学生
B. 个体指的是名学生中的每一名学生
C. 样本容量指的是名学生
D. 样本是指名学生的数学考试成绩
3.（5分）是，，，的平均值，为，，，的平均值，为，，，的平均值，则
A. B. C. D.
4.（5分）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图如图所示，甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为
A. B.
C. D.
5.（5分）样本，，，，的平均数为，且不等式的解集为，则这个样本的标准差是
A. B. C. D.
6.（5分）在某次测量中得到的样本数据如下：，，，，，，，，，若样本数据恰好是样本数据都加后所得数据，则，两样本的下列数字特征对应相同的是
A. 标准差
B. 平均数
C. 中位数
D. 众数
7.（5分）已知数据，，的方差，则，，的方差为
A. B. C. D.
8.（5分）若，，，，的平均数为，则，，，的平均数为
A. B.
C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）数据，，，，，，，的第百分位数是，则实数的可能的值是
A. B. C. D.
10.（5分）下列叙述中，正确的是
A. 某班有名学生，若采用简单随机抽样从中抽取人代表木班参加社区活动，那么学号为的学生被抽到的可能性为
B. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层抽样的方法从该校四个年级的科生中抽取一个容量为的样木进行调查．已知该校一、二、三、四年级木科生人数之比为：：：，若从四年级中抽取名学生，则
C. 四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据的平均数为，方差为，则这组数据一定没有出现
D. 一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，其中，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均数是
11.（5分）某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾为主，随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计千克的生活垃圾，数据单位：千克统计如表：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾的总投放质量千克
可回收物的总投放质量千克
其他垃圾的总投放质量千克
根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是
A. 厨余垃圾投放正确的概率为
B. 居民生活垃圾投放错误的概率为
C. 该小区这三类垃圾中．其他垃圾投放正确的概率最低
D. 厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、”可回收物”箱，”其他垃圾”箱的投放量的方差是
12.（5分）一组数据，，…，的平均数是，方差为，关于数据，，…，，下列说法正确的是
A. 平均数是 B. 平均数是 C. 方差是 D. 方差是
13.（5分）给出如下数据：
第一组：，，，，，，，，
第二组：，，，，，，，，
则这两组数据的
A. 平均数相等 B. 中位数相等
C. 极差相等 D. 方差相等．
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知一组数据，，…，的平均值为，，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大，则这组数据的个数______.
15.（5分）一组数据，，，，的平均数为，则该组数据的方差为 ______ ．
16.（5分）某学校开展一次“五四”知识竞赛活动，共有三个问题，其中第、题满分都是分，第题满分是分．每个问题或者得满分，或者得分．活动结果显示，每个参赛选手至少答对一道题，有名选手只答对其中一道题，有名选手只答对其中两道题．答对第题的人数与答对第题的人数之和为，答对第的人数与答对第题的人数之和为，答对第题的人数与答对第题的人数之和为则参赛选手中三道题全答对的人数是 ；所有参赛选手的平均分是 ．
17.（5分）在去年的足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是，全年比赛失球个数的标准差为；二队每场比赛平均失球数是，全年失球个数的标准差是下列说法正确的是______；
平均说来一队比二队防守技术好；
二队比一队技术水平更稳定；
一队有时表现很差，有时表现又非常好；
二队很少不失球．
18.（5分）甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数及其标准差如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是______．
甲 乙 丙 丁
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽门功课，得到的观测值如表：
甲
乙
问：甲、乙的平均成绩谁较好？
谁的各门功课发展较平衡？
20.（12分）某大型超市抽查了天该超市的日纯利润数据，并分成了以下几组单位：万元：统计结果如表所示统计表中每个小组取中间值作为该组数据的替代值：
组别
频数
求这天该大型超市日纯利润的平均数及中位数；
利用上述样本分布估计总体分布，解决下面问题：该大型超市总经理根据每天的纯利润给员工制定了两种奖励方案：
方案一：记日纯利润为万元，当时，奖励每位员工元天；当时，奖励每位员工元天；当时，奖励每位员工元天；
方案二：日纯利润低于总体中位数时每名员工发放奖金元天，日纯利润不低于总体中位数时每名员工发放元奖金天；
“小张恰好为该大型超市的一位员工，则从统计角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？
21.（12分）在某地区进行某种疾病调查， 随机调查了位这种疾病患者的年龄， 得到如下样
本数据频率分布直方图.
估计该地区这种疾病患者的平均年龄同一组数据用该区间的中点值作代表
估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间的概率
已知该地区这种疾病患者的患病率为， 该地区年龄位于区间的人口数占该地区总人口数的，从该地区选出人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率精确到
22.（12分）甲、乙两人在相同的条件下各射靶次，每次命中的环数分别是：
甲：，，，，，，，，，；
乙：，，，，，，，，，
分别求甲、乙两人的平均数；
分别求出甲、乙两人的方差；
根据计算结果，估计两人谁发挥的较稳定？
23.（12分）在一个文艺比赛中，名专业评委和名观众代表各组成一个评委小组．给参赛选手甲，乙打分如下：用小组，小组代表两个打分组
小组：
甲：
乙：
小组：
甲：
乙：
选择一个可以度量打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组与小组那个更专业？
根据的判断结果，计算专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；
若用专业评委打分的数据．选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后．剩下个评委评分的平均分．那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？只判断不说明以上计算结果保留两位小数
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了平均数和方差，考查学生的计算能力，属于基础题.
根据平均数和方差的性质直接求解即可.
解：根据题意，一组数据的平均数为，方差是，
由平均数的性质将一组数据扩大倍平均数变为原来的倍，将一组数据加则平均数增加，
的平均数，
由方差的性质将一组数据扩大倍方差变为原来的倍，将一组数据加方差不变，
方差为，
故选
2.【答案】D;
【解析】
该题考查了总体、个体、样本容量和样本的应用问题，是基础题．
根据题意，分别写出总体、个体、样本容量和样本分别是什么，即可得出答案．
解：对于，总体是指我校高二年级学生该次考试数学成绩，A错误；
对于，个体是指我校高二年级学生该次考试每个同学的数学成绩，B错误；
对于，样本容量是，C错误；
对于，样本是指抽取的这名学生的数学考试成绩，D正确．
故选：．
3.【答案】A;
【解析】解：是，，，，的平均值，
为，，，，的平均值，
又是，，，，的平均值，
，
故选：．
由已知中是，，，，的平均值，为，，，，的平均值，我们可以计算出，，，，的和，代入平均数公式，即可得到的值．
该题考查了平均数的定义，其中正确理解平均的概念及其意义是解答本题的关键．
4.【答案】A;
【解析】解：根据三个频率分布直方图知，
第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端，数据偏离平均数远，最分散，其方差、标准差最大；
第三组数据是单峰的，数据分布均匀，方差、标准差小，
总上可知
故选：．
该题考查频率直方图的应用，涉及标准差的意义，需要从频率直方图分析波动的大小．
5.【答案】A;
【解析】
此题主要考查平均数、方差、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
由平均数定义及韦达定理得，由此求出，，从而能求出该样本的标准差．
解：一个样本，，，，的平均数为，且方程的两个根为，，
，
解得，，
该样本的标准差为：
故选
6.【答案】A;
【解析】
此题主要考查样本数据的众数、平均数、中位数和标准差的应用问题，属于基础题．
根据两组样本数据的关系，结合众数、平均数、中位数和标准差的数字特征，判断即可．
解：由题意知，设样本的数据为，，
则样本的数据为，；
则样本的众数样本的众数，
样本的平均数样本的平均数，
样本的中位数样本的中位数，
样本的标准差样本的标准差；
由此知，、两样本的标准差相同．
故选
7.【答案】D;
【解析】
此题主要考查方差的相关知识，根据方差的定义性质求解即可，难度较小.
解：已知数据，，的方差，
则，，的方差为，
故选
8.【答案】A;
【解析】解：，，，，的平均数为，
；
，，，的平均数为
．
故选：．
根据平均数的定义，利用，，，，的平均数表示出，，，的平均数即可．
该题考查了平均数的定义与计算问题，是基础题目．
9.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查百分位数，属于基础题.
先求，再利用百分位数的定义解决.
解：因为，所以这组数据的第百分位数是第项数据，
则，
故选
10.【答案】BC;
【解析】解：：学号为的学生被抽到的可能性为，错误，
：抽样比为，，正确，
：若这组数据有，则方差，正确，
：数据，，，，，其中的中位数为，众数为，
，，
该组数据的平均数是，错误．
故选：
求出学生被抽到的可能性，即可判断；根据抽样比列方程，求出，即可判断；假设这组数据有，求出方程，即可判断，求出众数，中位数，平均数，即可判断
此题主要考查简单抽样，分层抽样和方差、众数、中位数、平均数的求法，属于基础题．
11.【答案】ACD;
【解析】解：选项A，厨余垃圾投放正确的概率为，即A正确；
选项B，居民生活垃圾投放正确的概率为，所以错误的概率为，即B错误；
选项C，可回收物投放正确的概率为，其他垃圾投放正确的概率为，
由于，所以其他垃圾投放正确的概率最低，即C正确；
选项D，平均数为，
方差为，即D正确．
故选：．
以频率代替概率，逐一计算选项ABC中提到的对应概率；先计算平均数，再计算方差，可判断选项D．
此题主要考查方差、频率与概率，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．
12.【答案】BD;
【解析】解：数据，，…，的平均数是，方差为，
数据，，…，的平均数是，方差为
故选：
根据已知条件，结合平均数和方差的性质，即可求解．
此题主要考查了平均数和方差的性质，属于基础题．
13.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查的是平均数、众数、中位数和方差，极差，掌握它们的概念以及计算公式是解答该题的关键.
根据平均数的计算公式、众数和中位数的概念以及方差的计算公式计算，判断即可.
解：对于，第一组，平均数为，
第二组平均数为，错误，
由数据观察，中位数不相等，错误，
第一组极差：，第二组极差为，正确，
第一组的每个数据都加上，得到第二组对应同一个位置的数据，所以方差相等，正确，
故选：
14.【答案】17;
【解析】解：一组数据，，…，的平均值为，，
删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大，
设这组数据的个数为，
则，
解得
故答案为：
利用平均数、方差的定义和性质直接求解．
此题主要考查方差的运算，考查平均数、方差的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】;
【解析】
此题主要考查一组数据的平均数与方差，属于基础题．
根据这组数据的平均数是，写出平均数的表示式，得到关于的方程，求出其中的值，再利用方差的公式，写出方差的表示式，得到结果．
解：数据，，，，的平均数为，
，
，
这组数据的方差是，
故答案为．
16.【答案】;
【解析】
此题主要考查了求平均数以及应用问题，也考查了方程思想，是综合题．
列方程组求出答对题，题，题的人数，再求出全班人数，即可求得三道题全答对的人数与平均分．
解：设、、分别表示答对题，题，题的人数，
则有，
解得，，；
又只答对一题的人数为，只答对两题的人数为，
设答对三题的人数为，则全班人数为；
，
解得，三道题全答对的人数是；
所有参赛选手的平均分是
．
故答案为：，．
17.【答案】（1）（2）（3）（4）;
【解析】解：在去年的足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是，全年比赛失球个数的标准差为；
二队每场比赛平均失球数是，全年失球个数的标准差是．
在中，由一队每场比赛平均失球数是，二队每场比赛平均失球数是，
得到平均说来一队比二队防守技术好，故正确；
在中，一队全年比赛失球个数的标准差为，二队，全年失球个数的标准差是．
得到二队比一队技术水平更稳定，故正确；
由一队每场比赛平均失球数是，全年比赛失球个数的标准差为，
得到一队有时表现很差，有时表现又非常好，故正确；
由二队每场比赛平均失球数是，全年失球个数的标准差是．
得到二队很少不失球，故正确．
故答案为：．
利用平均数、标准差的定义和性质直接求解．
该题考查命题真假的判断，考查平均数、标准差等基础知识，考查计算能力，是基础题．
18.【答案】乙;
【解析】解：甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，
乙与丙中乙的标准差较小，说明乙的成绩比丙稳定，
综合平均数和标准差两个方面说明乙成绩即高又稳定，
乙是最佳人选．
故答案为：乙．
甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，乙与丙中乙的标准差较小，说明乙的成绩比丙稳定，从而得到乙是最佳人选．
该题考查随机抽样和一般估计总体的实际应用，考查对于平均数和标准差的实际应用，对于几组数据，标准差越小数据越稳定，这是经常考查的一种题目类型．
19.【答案】解：（1）=（80+90+85+70+90）=83，
=，
故乙的平均成绩较好．
（2）=[（80-83）2+（90-83）2+（85-83）2+（70-83）2+（90-83）2]=56，
=[（80-84）2+（100-84）2+（70-84）2+（90-84）2+（80-84）2]=102，
由，所以甲的各门功课发展较平衡． ;
【解析】分别求出和，得到乙的平均成绩较好．
分别求出甲、乙的方差，能求出甲的各门功课发展较平衡．
该题考查两组数据的平均数和方差的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．
20.【答案】解：（1）这100天该大型超市日纯利涧的平均数为：=（4.5×5+5.5×20+6.5×30+7.5×30+8.5×10+9.5×5）=6.85（万元），
前2组频率之和为：0.05+0.20=0.25＜0.5，前3组频率之和为：0.25+0.3=0.55＞0.5，故中位数位于第3组；
设中位数为t则有（t-6）×0.3+0.25=0.5
解得：t=；
即这100天该大型超市日纯利润的中位数为万元；
（2）设选择方案一时，小张每天的奖金为x元，
则x的可能取值为40，80，120，其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15，
所以获得奖金的平均数=40×0.25+80×0.6+120×0.15=76（元）
设选择方案二时小张每天的奖金为y元
则获得奖金的平均数=50×0.5+80×0.5=65（元）
因为x＞y，
所以从统计角度看，小张选择方案一更有利．;
【解析】
由样本数字特征及频率之和为的关系估算出中位数即可；计算两种方案的平均数进行比较可得哪个方案有利．
此题主要考查了样本的数字特征及频率分布表的应用，属于基础题．
21.【答案】解：平均年龄岁
设一人患这种疾病的年龄在区间，则
设任选一人年龄位于区间任选一人患这种疾病，
则由条件概率公式，得;
【解析】此题主要考查了平均数，概率的求法，考查频率分布直方图、条件概率等知识.
22.【答案】解：； ；
，；
； ，
乙发挥的较稳定．;
【解析】此题主要考查了数据的平均数、方差的求法，熟练掌握平均数与方差的计算公式是解答本题的关键．
23.【答案】解：（Ⅰ）对于小组A，
=（7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.5）=8.1，
=[（7.5-8.1）2+（7.5-8.1）2+（7.8-8.1）2+（7.8-8.1）2+（8.0-8.1）2+（8.0-8.1）2+（8.2-8.1）2+（8.3-8.1）2+（8.4-8.1）2+（9.5-8.1）2]==0.302．
小组B：
=（7.4+7.5+7.5+7.6+8.0+8.0+8.2+8.9+9.0+9.9）=8.2，
=[（7.4-8.2）2+（7.5-8.2）2+（7.5-8.2）2+（7.6-8.2）2+（8.0-8.2）2+（8.0-8.2）2+（8.2-8.2）2+（8.9-8.2）2+（9.0-8.2）2+（9.9-8.2）2]=，
∵0.302＜0.608，
∴小组A是专业评委．
（Ⅱ）=（7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.5）=8.1，
=（7.0+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5+8.5）=8.0．
（Ⅲ）=（7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4）=8，
=（7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5）=8.06．
排名有变化，我认为去掉最高分和最低分的评分方法更好．;
【解析】
根据题意，计算两个小组对甲组的评分的平均数和方差，比较，方差小的就是专业评委．
利用平均数公式直接求解．
利用平均数公式求解，得到排名有变化，我认为去掉最高分和最低分的评分方法更好．
此题主要考查平均数、方差的求法与应用，考查运算求解能力，是基础题．
