人教B版（2019）必修第二册《第六章 平面向量初步》单元测试2
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）如图，在中，为的中点，，则
A. B.
C. D.
2.（5分）若为空间三个单位向量，，且与所成的角均为，则
A. B. C. D.
3.（5分）在中，，则
A. B.
C. D.
4.（5分）在直角梯形中，，，，为的中点，若，则
A. B. C. D.
5.（5分）已知向量，，则
A. B. C. D.
6.（5分）设是的外接圆圆心、且，则
A. B. C. D.
7.（5分）如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，设，，则
A. B.
C. D.
8.（5分）点是平行四边形所在平面上一点，，，满足，点是平行四边形内一点不包括边界，且，若，则的取值范围为
A. B.
C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知，，为单位向量，若，则
A. B.
C. D.
10.（5分）已知向量，，则
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与的夹角为
D. 若与垂直，则
11.（5分）如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”如图的两个顶点，动点在“六芒星”上内部以及边界，若，则的取值可能是
A. B. C. D.
12.（5分）如图，在等腰直角三角形中，，，，分别为，上的动点，设，，其中，，则下列说法正确的是
A. 若，则
B. 若，则与不共线
C. 若，记三角形的面积为，则的最大值为
D. 若，且，分别是，边的中点，则的最小值为
13.（5分）在中，是的中点若，，则
A. B.
C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知向量，，若，则______.
15.（5分）已知平面向量，，若，则______.
16.（5分）中，为最大角，，，为的内心，若，则______．
17.（5分）给出下列命题：①平面内的单位向量只有个；②方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量；③若向量是共线向量，，则与是方向相同的向量；④长度相等的共线向量是相等的向量；⑤若是单位向量，则其中正确的是________填序号
18.（5分）在中，是的中点，是的中点若，则______ .
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知向量，，，且为的内角.
求角的大小；
若中，角，，的对边分别为，，，，，求边上的中线的长.
20.（12分）如图，在中，已知，，单位圆与交于，，为单位圆上的动点．
若，求的值；
记的最小值为，求的表达式及的最小值．
21.（12分）在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若点为中点，且，求．
22.（12分）已知向量，，在下列条件下分别求的值：
与平行；
与的夹角为
23.（12分）如图，在中，是重心，过点，，，若，则______．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：
故选：
根据向量加法和减法、数乘的几何意义以及向量的数乘运算即可表示出
此题主要考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：根据题意，为空间三个单位向量，，且与所成的角均为，
，
变形可得：，
故选：
根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得，进而计算可得答案．
本题空间向量数量积的应用，涉及空间向量模的计算，属于基础题．
3.【答案】A;
【解析】解：，
，
即，
即，
故选：．
根据平面向量基本定理，结合向量运算法则进行化简即可．
此题主要考查向量的基本定理的应用，结合向量的运算法则是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】B;
【解析】解：连接，为中点，
，且，
，
，
．
故选：．
可连接，根据条件可得出，，进行向量的数乘运算即可求出，然后根据平面向量基本定理即可得出的值．
该题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘和加法的几何意义，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标运算，属于基础题.
解：，，
6.【答案】B;
【解析】解：因为，所以，
两边平方得：，设，
，
，
，
，
．
故选：．
将，利用平面向量数量积运算变形为，解出即可的答案．
该题考查平面向量数量积的运算，考查学生的转化与能力与运算能力，属于中档题．
7.【答案】B;
【解析】解：由图可设，，，，
则由已知可得
，
又，
所以，解得，
所以，
故选：
由图可设，，，，然后根据三角形法则分别表示向量，然后建立方程求出，，由此即可求解．
此题主要考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】A;
【解析】【分析】
本题考察平面向量的基本定理以及应用，解题方法是：先确定平行四边形为矩形，再通过建立坐标系求解.
【解答】
由题意知，，故
在三角形中，由余弦定理可得，
故，即
如图，建立直角坐标系：
可知点，，，，
设点，则；由可得，
则有，由于在平行四边形内且不含边界，故且
由可知，的取值范围为
综上所述，故选
9.【答案】AC;
【解析】解：，
，
，，
又，，，
，，
，，
故，同向，，反向，，反向，
故，
故选项错误；
故，
故选项正确；
，
故选项正确；
，
故选项错误；
故选：
由平面向量的数量积的运算可知，从而对四个选项依次判断即可．
此题主要考查了平面向量的运算的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD;
【解析】【分析】
本题主要考查了向量的数量积公式，向量的模长公式，向量垂直的条件，平行的条件，夹角，属于基础题.
根据向量的数量积、向量的垂直、夹角的知识逐个判断即可得出结果.
【解答】
解：向量，，
、，
，故正确
、若，则，，
所以，故正确
、若，则，
，，故不正确
、由题可得：，若与垂直，
则，解得，故正确
故选
11.【答案】BC;
【解析】解：如图，
设，，求的最大值，只需考虑图中个顶点的向量即可，讨论如下：
若点在点处，，；
若点在点处，，；
若点在点处，，；
若点在点处，，；
若点在点处，，；
若点在点处，，
的最大值为
根据其对称性，可知的最小值为
故的取值范围是，
观察选项，选项、均符合题意．
故选：
根据题意，画出图形，结合图形，得出求的最大值时，只需考虑图中个顶点的向量即可，分别求出即得结论．根据其对称性，可知的最小值．
本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题，解题时应根据题意，画出图形，结合图形解答问题．
12.【答案】ACD;
【解析】解：选项，因为，，所以，所以，故正确；
选项，若，则，所以，所以，共线，故错误；
选项，若，则，所以，
当且仅当时取得等号．即，所以的最大值为，故正确；
选项，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为，，，
所以，，，，
因为，分别是，的中点，
所以，，
因为，
所以在单位圆上，，
所以，
当且仅当，，三点共线时取得等号，
所以的最小值为故正确．
故选：
对于，结合图形，以及条件推得，可判断；对于，由平行线的判定可判断是否共线；对于，求得，运用基本不等式可得最大值，可判断；建立坐标系，运用向量的坐标，推得，，结合圆的性质可得的最小值，可判断
本题考查向量基本定理的运用，以及基本不等式和三点共线的性质的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
13.【答案】BC;
【解析】解：根据题意，在中，是的中点．
则，
故，则错误，正确；
对于，，正确，
对于，，错误；
故选：
根据题意，由向量线性运算可得，据此分析选项，即可得答案．
此题主要考查向量模的计算，涉及向量的线性运算，属于基础题．
14.【答案】-10;
【解析】解：由题意可得，，，
故答案为：
由题意可得 ，解得 ，故
本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式的应用，求出，
是解题的关键．
15.【答案】;
【解析】解：平面向量，，
，
，
，
解得
故答案为：
推导出，再由，列方程能求出的值．
本题考查实数值的求法，考查向量平行等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】;
【解析】解：为最大角，，，
为直角三角形，为直角，不妨设，，为的内心，
内切圆半径
，
，
故答案为．
由题知此三角形为直角三角形从而得的值．
本题涉及平面向量基本定理和解三角形的知识．
17.【答案】②⑤;
【解析】
【分析】
本题考查了单位、零、共线、相反、相等向量的概念，根据向量的知识逐一判断，即可得出结论.
【解答】
解：平面内的单位向量有无数个，故①错误；
共线向量是方向相同或相反的向量，故②正确；
若向量是共线向量，，向量与向量的方向相同或相反，故③错误；
长度相等的共线向量，方向不一定相同，故④错误；
是单位向量，单位向量的长度为，故⑤正确.
故答案为②⑤.
18.【答案】-;
【解析】解：如图
中，为的中点，为的中点，
，
，，则
故答案为：
利用三角形法则以及中线的结论即可求解
本题考查了平面向量的三角形法则的应用及平面向量基本定理的应用，是基础题．
19.【答案】解：（1）因为向量=（-，sinA），=（1，cosA），∥，
所以-cosA=sinA，
所以tanA=-，
因为0＜A＜π，
所以A=．
（2）因为A=，所以sinA=，
又a=14，b=10，
所以在△ABC中，由正弦定理，可得sinB===，
所以cosB==，
所以在△ABC中，cosC=-cos（A+B）=cos（-B）=coscosB+sinsinB=．
在△ABC中，由余弦定理，可得=+-2abcosC=100+196-2×=36，
所以c=6．
在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2-2AB BD cosB=36+49-2×=19，
所以AD=．;
【解析】
由已知利用平面向量共线的坐标表示，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求的值．
在中，由正弦定理，可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角差的余弦公式可求的值，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可求得的值．
本题主要考查了平面向量共线的坐标表示，同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角差的余弦公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：（1）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系
记∠POB=α则P（cosα，sinα），A（2，0），B（0，2），C（1，0）
由O
得16λ2-4λ=0 λ=0或λ=（5分）
（2）法1：=（2-2λ-cosα，2λ-sinα）
≥16λ2-8λ+5-
∴f（x）=-1（4分）
∵16λ2-8λ+4=16（λ-）2+3≥3
∴f（x）min=f（）=-1（2分）
法2：≥当且仅当P在线段OD上等号成立
∴f（λ）=（4分）
∵16λ2-8λ+4=16（λ-）2+3≥3
∴f（x）min=f（）=-1（2分）;
【解析】
以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，记，由得，从而可求
法：由可得，结合二次函数的性质可求
法：当且仅当在线段上等号成立可得下同法一
这道题主要考查了向量与三角函数的综合应用，向量的坐标表示及二次函数的最值的求解，属于综合试题
21.【答案】解：Ⅰ向量，，且，
，
由正弦定理，得，
又，，
，．
Ⅱ取中点，连结，
则，令，则，
由Ⅰ知，
，
，
由正弦定理知，
．;
【解析】这道题主要考查向量平行、正弦定理，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．
Ⅰ向量，，且，，由正弦定理，得，求角的大小；
Ⅱ取中点，连结，则，令，则，由Ⅰ知，求．
22.【答案】解：（1）∵，，∴，．
又与平行，∴=，即-k=k+2，解得k=-1．
（2）∵，，∴．
∵与夹角为，∴（+） （k-）=|+| |k-| cos，
即，解得．;
【解析】
首先求出与，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可．
首先利用向量数量积的坐标运算求出，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可．
此题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
23.【答案】3;
【解析】解：过点，
存在实数，使得．
为的重心，取边中点，
则，
，，
消去得：，
故答案为：．
利用向量共线定理可得：存在实数使得由于为的重心，可得，再利用向量共面定理即可得出．
该题考查了向量共线定理、三角形的重心性质、向量共面定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
