广州市育才实验学校2023学年第一学期第三次综合练习
九年级数学试卷
一、选择题（本大题每题3分，共30分）
1．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程通过配方变形成的形式，下列选项变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．若⊙P的半径为4，圆心P的坐标为（-3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )
A． B． C． D．
6．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（ ）
A．40° B．30° C．38° D．15°
7．如图，是的直径，是上两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．根据下表中的对应值：
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-1.01 -0.64 -0.25 0.16 0.59
判断方程的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点E，F分别为平行四边形的边上的点，且，，与交于点H，若的面积为2，则五边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，圆内接四边形，，对角线平分，过点作交的延长线于点，若．，则的面积为（）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题每题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 .
12．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ．
13．已知、是方程的两根，则代数式的值为 ．
14．若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是
15．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为 ．
16．如下图抛物线的图象交轴于和点，交轴负半轴于点，且．下列结论：①；②；③；④其中正确的序号有 ．
三、解答题（本大題共8题，共72分）
17．解方程：
18．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点与点，共线．，，测得，，．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽．
19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点均在网格线的交点上．以点为旋转中心．将按顺时针方向旋转，得到，请画出并求旋转过程中的长度．
20．一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，5）．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）连接AC、BC，求△ABC的面积．
22．某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱.设每箱水果降价元.
(1)当时，每箱利润___________元，平均每天可售出___________箱水果；
(2)设每天销售该水果的总利润为元.
①求与之间的函数解析式；
②试判断能否达到8200元，如果能达到，求出此时的值；如果不能达到，求出的最大值.
23．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG，已知AG＝EG．
（1）求证：AG为⊙O的切线；
（2）已知AG＝2，填空：
①当四边形ABOF是菱形时，∠AEG＝ °；
②若OC＝2DC，△AGE为等腰直角三角形，则AB＝ ．
24．已知抛物线的顶点A在x轴上．，是抛物线上两点，若，则；若，则，且当y的绝对值为1时，为等腰直角三角形（其中）．
(1)求抛物线的解析式；（用含有m的式子表示）
(2)当，过点Q作轴，若，探究与之间数量关系；
(3)直线交抛物线于点D，将抛物线以直线为对称轴向右翻折得到新抛物线，直线y=kx经过点D，交原抛物线的对称轴于点E，交新抛物线于另一点H，问的面积是否存在最大值或最小值，若存在，求出面积最值和m的值，若不存在，请说明理由．
25．【学习新知】
（1）如图，已知半径为的外，有一点，满足，则点与上任意一点的连线最小值为______，最大值为______．
（2）如图，在中，，，求的最大面积．
【应用新知】
（3）如图，在等边中，，点为中点，点、分别在、上，且，连接、，，请问在内部是否存在一个点，使得，且满足到点A的距离最小，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.是中心对称图形，
故选：D
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．A
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3．D
【分析】本题考查的是位似变换，根据位似变换的性质将的顶点的纵、横坐标分别乘以或，得到答案．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，把缩小为原来的，得到，，
∴点A的对应点的坐标为或，即或，
故选：D．
4．C
【分析】首先求得点O与圆心P之间的距离，然后和圆的半径比较即可得到点O与圆的位置关系．
【详解】由勾股定理得：OP2=32+42=25，
∴OP=5
∵圆O的半径为4，
∴点O在圆P外．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，求出点到圆心的距离是解决本题的关键．
5．C
【详解】试题分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴C正确．故选C．
考点：相似三角形的判定与性质．
6．A
【详解】解：由题意得，∠AOD=30°，∠BOC=30°，又∠AOC=100°，
∴∠DOB=100°-30°-30°=40°．
故选A．
7．A
【分析】首先根据邻补角互补得到，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】∵
∴
∵
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，邻补角互补，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．C
【分析】先求出抛物线的对称轴为，根据a=1>0，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，根据表格确定函数值的符号， y=0时，有0.5
∴抛物线的对称轴为，
∵a=1>0，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
根据表格x=0.5，y=-0.25<0，x=0.6时，y=0.16>0，
∴y=0时，有0.5
【点睛】本题考查一元二次方程与抛物线的关系，掌握函数的性质，一元二次方程的根与抛物线与x轴相交的关系是解题关键．
9．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．
通过证明，可得，求出，，由面积数量关系可求解．
解题的关键是识别平行四边形中的相似三角形模型．
【详解】解：如图，过点B作于点M，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴五边形的面积，
故选：D．
10．B
【分析】在上截取，由题意可得，进一步得和为等边三角形，由圆周角定理可得，证得，则有，得到等边的边长为5，即可求得面积．
【详解】解：在上截取，如图，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
则，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
则，
在和中
∴
∴，
则，
即等边的边长为5，
那么，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的对角互补、圆周角定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是找到辅助线，并熟练等边三角形相关知识．
11．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点“横、纵坐标都互为相反数”，即可解答．
【详解】点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特点．掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题关键．
12．
【分析】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键．根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标即可求解．
【详解】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点是，
∴关于x的一元二次方程的两根为：．
故答案为：．
13．
【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可．
【详解】解：由题意得
，
原式．
故答案：．
【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．
14．9cm
【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．
【详解】解：设母线长为l，则=2π×3 ，
解得：l=9 cm．
故答案为：9 cm．
【点睛】本题考查圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
15．2
【详解】解：连接OB交AC于M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，
∴＝，∠AOC＝90°，
∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，
在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2）2，
∴OM＝2，
∴点O到AC距离为2，
故答案为：2．
16．①②③④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的联系，求出抛物线与y轴的交点C坐标，即可求出B坐标，从而得出和为一元二次方程的两根，由根与系数的关系建立等式可判断②③；由，代入抛物线的解析式即可判断①；由，即可判断④．
【详解】解：观察图象可知，
∴，故④正确；
令，得，
∵，则点B坐标为，
故和为一元二次方程的两根，
由根与系数的关系可得，
解第二个等式可得：，故②正确；
把代入第一个等式得：,
移项得：，故①正确；
把B坐标代入函数中得：，
∴，即，
故③正确；
正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
17．，
【分析】方程利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程--因式分解因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．18米
【分析】由题意先证明，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得的长．
【详解】解：∵，，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∵，，，
∴．
解得．
∴河宽为18米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．，图见解析，
【分析】本题考查了旋转作图和弧长的计算，根据旋转的性质，画出图形即可，再根据扇形的弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：即为所求：
的半径，
的弧长
20．(1)
(2)2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
【详解】（1）解：∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为： ．
故答案为：；
（2）解： 画树状图，如图所示：
共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为．
【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
21．（1）；（2）
【分析】（1）由条件直接设出抛物线的顶点式，把C点的坐标代入解析式就可以求出值，从而求出解析式；
（2）连接AC、BC，利用解析式求出A、B的坐标，从而求出AB的值，由三角形的面积公式就可以求出△ABC的面积．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，
把C（0，4）代入中得：
，
，
抛物线的解析式为：；
（2）如图所示：
连接AC、BC，
抛物线的解析式为，
当时，则，
，，
，，
，
．
【点睛】本题考查二次函数综合题，设计了抛物线的顶点式以及三角形面积的求法，熟练掌握待定系数法和x轴交点的求法是解题的关键．
22．(1)50，160
(2)①，②不能，8100元
【分析】（1）利用每箱利润＝60﹣每箱降低的价格及平均每天的销售量＝120+20，即可求出结论；
（2）①设每箱应降价x元，则每箱利润为（60﹣x）元，平均每天可售出（4x+120）箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润＝每箱的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的函数解析式，②利用二次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为60﹣10＝50（元），平均每天可售出120+20160（箱）．
故答案为：50；160．
（2）①设每箱应降价x元，则每箱利润为（60﹣x）元，平均每天可售出120+20（4x+120）箱，依题意得： w与x之间的函数解析式为
；
②w不能达到8200元；
.
∵-4<0，
∴当时，w取到最大值，，
∴w不能达到8200元，w的最大值是8100元.
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用的应用，找准等量关系，正确列出一函数关系式是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）①60，②4．
【分析】（1）连接OA，证明∠OAG=90°，即可证得AG为⊙O的切线；
（2）①连接OA，AF，OF，当四边形ABOF为菱形，则△AOB为等边三角形，从而求出∠ACB，∠DEC的度数，根据对顶角相等即可得到∠AEG的度数；
②若△AGE为等腰直角三角形，则可以得出△DEC, △ABC均为等腰三角形，通过证明四边形AODG是矩形，得到DC=AG，从而得到BC的长度，根据等腰直角三角形的性质，即可求出AB的长．
【详解】（1）证明：连接OA．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵GA＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DG⊥BC，
∴∠EDC＝90°，
∴∠OCA+∠DEC＝90°，
∵∠CED＝∠GEA＝∠GAE，
∴∠OAC+∠GAE＝90°，
∴∠OAG＝90°，
∴OA⊥AG，
∴AG是⊙O的切线．
（2）①如图2中，连接OA，AF，OF．
∵四边形ABOF是菱形，
∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°
∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∵ED⊥BC，
∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，
∴∠AEG＝∠DEC＝60°．
故答案为60．
②如图3中，连接OA．
∵△AGE是等腰直角三角形，
∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形，
∵OB＝OC，
∴AO⊥OC，
∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°，
∴四边形AODG是矩形，
∴AG＝OD＝2，
∴OC＝2OD＝4，
∴BC＝2OC＝8，
∴AB＝AC＝4，
故答案为4．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
24．(1)
(2)
(3)存在，的面积有最小值，此时；的面积有最大值，此时．
【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，然后再用顶点式和待定系数法解答即可；
（2）如图2：过点P作轴交于点E，令，则，可得，再根据列式求得，进而得到，最后根据正切函数即可解答；
（3）先求出D点坐标，再求得抛物线翻折后的解析式为，然后确定H点的坐标，进而确定面积的表达式，然后根据m的取值范围确定最大值和最小值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点A在x轴上，
∴抛物线的顶点的纵坐标为0，
∵，则，则，
∴直线是抛物线的对称轴，且，
∴抛物线顶点为，
∴抛物线的解析式为，
当时，，解得或
∵，
∴，
如图1：过点A作交于点H，
∴，
∴，解得a=1
∴．
（2）解：如图2：过点P作轴交于点E，
令，则，
∵，
∴
∵，
∴
∴，解得：或（舍），
∴
∴
∴
∴，
∴．
（3）解：当时，，
∴，
∵直线经过点D，
∴，
∴
当时，，
∴，
抛物线翻折后的解析式为，
当时，解得或，
∴
∴
∵，
∴
∴当时，的面积有最小值，此时；
当时，的面积有最大值，此时．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合、二次函数与几何的综合、求二次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数的性质、灵活应用数形结合思想是解答本题的关键．
25．（1）学习新知：1；7；（2）；（3）存在，的最小值为
【分析】（1）观察图形可得答案；
（2）以为边作等边，使、在的同侧，以为圆心，为半径作，则在上，连接交于，根据等边三角形，得，，即有，是满足条件的点，要使面积最大，只要边上的高取最大值，此时动点运动到优弧的中点位置，可得，，在中，，故CH，从而，即的最大面积为；
（3）以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作于，过A作于，取中点，以为圆心，为半径作，连接交于，证明∽，可得，又，是等边三角形，即得、、、四点共圆，有，是满足条件的点，当A、、共线时，最小，根据已知可得，，，即可得，，故，即的最小值为．
【详解】解：学习新知：
（1）点与上任意一点的连线最小值为，最大值为，
故答案为：；．
（2）以为边作等边，使、在的同侧，以为圆心，为半径作，则在上，连接交于，如图：
等边三角形，
，，
，即是满足条件的点，
要使面积最大，只要边上的高取最大值，此时动点运动到优弧的中点位置，
∴，
过圆心，
，，
在中，，
，
，
即的最大面积为；
应用新知：
（3）在内部存在一个点，使得，且满足到点A的距离最小，理由如下：
以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作于，过A作于，取中点，以为圆心，为半径作，连接交于，如图所示：
是等边三角形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，点为中点，，
，，
，即，
为中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
、、、四点共圆，
，
，即是满足条件的点，
当A、、共线时，最小，
在中，，，
，
，是中点，
，
，
在中，，，
，
，
，
即的最小值为．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及三角形面积，锐角三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造满足条件的圆，本题难度较大．
