2024年中考数学一轮复习练习题：相似
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 B．两个矩形一定相似
C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D．相似三角形一定不是全等三角形
2．在中，AD平分交边BC于点D，点E在线段AD上，若，则与的面积比为（ ）
A．16：45 B．1：9 C．2：9 D．1：3
3．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图：为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点距离6m，与树相距15m，那么这棵的高度为（ ）
A．5米 B．7米 C．7.5米 D．21米
5．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为( )
A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．∶
7．如图是由一些边长为1的等边三角形组成的网格，其中A、B、D、E均是等边三角形的顶点，延长交于点C，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知点轴于点C．点P为线段上一点，且．则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，平行四边形中，E为延长线上的一点，且，交于点F.若，则的长为 .
10．如图，与位似，位似中心是点，若，则与的周长比是 .
11．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1∶2，，．若，则点C的坐标为 ．
12．如图，在 中， ， ，点 、 分别在 边和 边上，沿着直线 翻折 ，点 落在 边上，记为点 ，如果 ，而且 ，则 .
13．如图，矩形纸片，，点E，F分别在，上，把纸片如图沿折叠，点A，B的对应点分别为，，连接并延长交线段于点G，则的值为 ．
三、解答题
14．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC， = ，OB=4，求AO和AB的长．
15．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D为AB边上一点，连结CD，过D作DE⊥AB交AC于E.
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若CD=CB，，求.
16．如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
17．如图，中，，点O为上一点，以点O为圆心，为半径的与相切于点D，交延长线于点E.
（1）求证：.
（2）若，求的长.
18．在中，，以AB为一边向外做正方形，连接对角线交于点O.
（1）如图1，若，连接且，问：
①的度数；
②的面积.
（2）如图2，若，，连接与和分别交于点F和点G，求线段的长度.
参考答案
1．A
2．C
3．B
4．A
5．C
6．C
7．D
8．D
9．2.5
10．
11．（1，1）
12．
13．
14．解：
∵△OBD∽△OAC，
∴ = = ，
∴ = ，解得OA=6，
∴AB=OA+OB=4+6=10
15．（1）证明：∵∠ACB=90°，DE⊥AB交AC于E，
∴∠ACB=∠ADE=90°.
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB
（2）过点C作CF⊥AB于点F，
∴∠CDE+∠DCF=90°.
∵DE⊥AB，
∴∠CDE+∠BDC=90°.
∴∠DCF=∠CDE.
∵CD=CB，
∴∠B=∠BDC.
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°.
∴∠CDE=∠A.
∵∠ACD=∠DCE，
∴△ACD∽△DCE，
∴ .
∵ ，
∴ ，即 .
易证△AFC∽△BFC，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 = .
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，，，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵
∴
∴
∴.
17．（1）证明：连接，
∵，是的切线，
∴是的切线，，
∵，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）解：，
∴，
，
，
，
即，
∴，
设半径为，则，
，，
，
，
，
，
.
18．（1）解：如图1，过O作交延长线于H，则，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴①；
②，
∴，
∴
（2）解：如图2，过G作于K，过B作交延长线于N，则，
∵，
∴点E、A、C、B四点共圆，
∴，则，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，
在中，，，
由勾股定理得，
解得（负值舍去），
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
由得，
由得.
