2023—2024学年郑州市重点学校高三上学期12月月考
数 学
考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2.若函数在上是单调函数，则的取值可以是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
4.在 中，若 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5.在 中， ， 的平分线交BC于点D.若 ，则 （ ）
A. B. C.2 D.3
6.如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
7.某选拔性考试需要考查4个学科（语文、数学、物理、政治），则这4个学科不同的考试顺序中物理考试与数学考试不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.记 为等差数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A.28 B.27 C.26 D.25
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列说法中，正确的是（ ）
A.集合和表示同一个集合
B.函数的单调增区间为
C.若，，则
D.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时
10.已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.函数的图像关于直线对称
C.将图象上所有点向右平移个单位长度，可得图象
D.若，则
11.正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
12.设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 的最大值为
D. 的最大值为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知复数（为虚数单位），其共轭复数为，则的虚部为 .
14.函数是幂函数，则 .
15.已知公差不为 的等差数列 ，其前n项和为 ，若 成等比数列，则 的值为________.
16.已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知函数.
(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；
(2)求函数在区间上的值城.
18.（12分）已知首项为4的数列的前n项和为，且.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和.
19.（12分）如图，在长方体中，，，是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
20.（12分）圆：与轴的负半轴和正半轴分别交于两点，是圆与轴垂直非直径的弦，直线与直线交于点，记动点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)在平面直角坐标系中，倾斜角确定的直线称为定向直线.是否存在不过点的定向直线，当直线与轨迹交于时，；若存在，求直线的一个方向向量；若不存在，说明理由.
21.（12分）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为.
(1)若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望；
(2)若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.
22.（12分）已知双曲线经过点，且离心率为2.
(1)求的方程；
(2)过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点.设点为双曲线上的两个动点，直线的斜率分别为，若，求.
参考答案
一、单项选择题
1.【答案】C
【解析】当时，不等式化为，解集为空集，符合题意.
当时，不等式的解集不是空集，不符合题意.
当时，要使不等式的解集为空集，
则需，解得.
综上所述，的取值范围是.故选：C
2.【答案】B
【解析】因为当时，函数为单调递增函数，
又函数在上是单调函数，则需满足，解得，
所以实数的范围为，
所以满足范围的选项是选项B.故选：B.
3.【答案】C
【解析】由，则，
由，，则，
由，则.
则.
故选：C
4.【答案】A
【解析】 ，
，
,
，（其中 ），
，
，当 时等号成立.
的最大值为 .
故选A.
5.【答案】B
【解析】设 ，因为 ，所以 ，
又 是 的平分线，所以 ， ，
，
又 ，所以 ，
所以 .故选B.
6.【答案】B
【解析】直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面所成角，
连接，因为⊥平面，平面，
所以⊥，故为直线BP与上底面所成角，
则，
因为，所以，
故点P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，
故轨迹长度为.
故选：B
7.【答案】B
【解析】这4个学科不同的考试顺序有种，
先安排语文、政治形成3个空隙，再将数学、物理插入到其中2个空隙中，
则物理考试与数学考试不相邻的考试顺序共有种，
所以所求概率为.
故选：B.
8.【答案】B
【解析】解：在等差数列 中，满足 ，
所以 ，
故选：B
二、多项选择题
9.【答案】BC
【解析】对于选项A，集合中元素为数，集合为点，所以A错误；
对于选项B，根据解得函数的定义域为，因为函数为增函数，
根据复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为，所以B正确；
对于选项C，所以C正确；
对于选项D，因为当时，，当时，，
所以，
又因为是定义在R上的奇函数，所以，所以D错误.故选：BC.
10.【答案】BCD
【解析】因为，故错误；
函数的对称轴为，，得，，
所以函数的图像关于直线对称，故正确；
由题意知，所将图像上所有点向右平移个单位，得，故正确；
因为，且，所以，所以，
因为，得，故正确.
故选：.
11.【答案】AC
【解析】方法一：，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
方法二：
，故A正确；
由正方体的性质可知，，，
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：AC.
12.【答案】ABD
【解析】A项， 且 ，而 和 异号，由于 知 ， ，即 ，故A项正确；B项，从前面的求解过程知 ，说明 是单调递减的正项等比数列，且 ，所以 ，那么 ，故B项正确；C项， 是正项数列， 没有最大值.故C项错误；D项，从前而的分析过程可知 前6项均大于1，从 起全部在 上，所以 的最大值为 ，故D项正确，故选ABD.
三、填空题
13.【答案】
【解析】解：，
所以，
所以，故的虚部为，
故答案为：.
14.【答案】2或-1
【解析】是幂函数，
，解得，或.
故答案为: 2或-1.
15.【答案】2
【解析】∵ 成等比数列， ,
∴ .
16.【答案】
【解析】因为，
所以，，
所以，，共面，
又，，为底面圆周上三点，所以点为平面上一点，
由已知平面，
所以，
又圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以，
所以的最小值为，
故答案为：.
四、解答题
17.（10分）【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析
(2).
【解析】（1）易知，
设，且，
则，
又由，则，，，
所以，即在区间上单调递增；
（2）由上可知函数在区间上单调递增，则，
又，
故的值域为.
18.（12分）【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题意，即，故，
即，又，故数列是以-1为首项，-1为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，即.
数列的前n项和为，
数列的前n项和为，
故.
19.（12分）【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】（1）因为，，是的中点，所以，
因为，，所以，
因为平面，平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
所以，，，，
由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，所以，
因为，，所以，
令，则，，所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20.（12分）【答案】(1)
(2)存在，
【解析】（1）由题意得，
设，则
直线的方程为，直线的方程为
所以轨迹的方程为
（2）当定向直线的倾斜角为90°时，设，
由得
时，
所以，矛盾.
当定向直线的倾斜角不为90°时，假设存在定向直线
由得，
时，
设，则
由得即，
故，
，化简得，
所以或，
时，经验证，满足条件；当时，过点，不合题意
综上所述，当即直线的一个方向向量为时，
21.（12分）【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【解析】（1）
，，
，
所以X的分布为
X 0 10 20 30
P
所以
（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.
22.（12分）【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得，解得，
所以的方程为；
（2）由题意，点坐标为，点坐标为，设，
方法一：
①若直线斜率存在，设直线方程为，
，消去可得，
且，
且，
，
整理可得，
，
化简得，
即，
因为直线不过点，所以，
所以，即，
所以直线的方程为，恒过定点，
②若直线斜率不存在，则，
，
解得，所以直线的方程为，过定点，
综上，直线恒过定点，
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
.
方法二：
因为直线不过点，所以可设直线方程为，
由可得，
即，
，
得，
等式左右两边同时除以，
得，
，
，解得，
所以直线方程为，
即，恒过定点，
下同法一.
