2023-2024学年度上学期九年级数学学科12月份限时性作业
一、选择题
1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为（ ）．
A．3 B．5 C．2 D．4
4．如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从处背着灯柱方向走到处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ）
A．由长逐渐变短 B．由短逐渐变长
C．先变长后变短 D．先变短后变长
5．某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
频率 0.60 0.30 0.50 0.36 0.42 0.38 0.41 0.39 0.40 0.40
A．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”
B．掷一枚一元的硬币，正面朝上
C．不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
6．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
7．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力F关于动力臂l的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
9．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（ ）
A．25 mm B．20mm C．15 mm D．8mm
10．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． 下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数），其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤
二、填空题
11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
12．如图，过轴上任意点作轴的平行线，分别与反比例函数，的图象交于点和点． 连接、，则的面积为 ．
13．小明家的客厅有一张直径为1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是 ．
14．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线的图像上，则的值为 .
三、解答题
15．如图，，，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转度得到，当是直角三角形时，的长为 ．
16．计算
(1)
(2)
17．为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A、B、C表示)三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．
18．如图，在平行四边形中，连接DB，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)如果，求的长．
19．数学社团的同学们想用边长为的正方形铝板，设计小组会徽，下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题：
“兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”．
“智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为．
解决问题：
(1)“兴趣小组”设计的方案中，小矩形的长约等于 （精确到）．
(2)请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少？
20．图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，）
(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．
21．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点．
(1)m与n的数量关系是( )
A． B． C． D．
(2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合．
①求点P的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为_____；
(3)若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
22．某公园要在小广场上建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
23．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形中，已知，，点是边上的一个动点．
【操作判断】
(1)如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为______；的度数为______；
【迁移探究】
(2)如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，求此时的长；
【综合应用】
(3)如图3，点在边上运动，且始终满足，以为折叠，将翻折，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义分别判断即可．解题的关键是掌握一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意；
B、不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、，当时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：．
2．A
【分析】主视图是从几何体正面观察到的视图．
【详解】解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高，
故选A．
【点睛】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键．
3．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是根据题意可得：在中，，从而可得，进行计算即可解答．
【详解】解：滑坡的坡度是，
在中，，，
，
故选：C．
4．B
【分析】因为等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长；已知人是从点处背着灯柱方向走到处，也就是从光源近处走向光源远处，据此进行解答．
【详解】解：根据中心投影的特征可知人远离灯光时，其影子逐渐变长．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是中心投影的相关知识，解题的关键是明确中心投影的特征．
5．C
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断.
【详解】、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”的概率为：，不符合题意；
、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意；
、不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，符合题意；
、三张扑克牌，分别是、、，背面朝上洗均后，随机抽出一张是5的概率为，不符合题意.
故选：.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率.
6．C
【分析】由对角线的相等不能判定平行四边形，可判断A，两个角为不能判定矩形，可判断B，对角线的交点到四个顶点的距离相等，可判断矩形，从而可判断C，由两组对边分别相等判断的是平行四边形，可判断D，从而可得答案．
【详解】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项C符合题意；
D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本题的关键．
7．B
【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．
【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为和
∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：，
即，是反比例函数，
又∵动力臂，
故B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键．
8．B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
9．A
【分析】连接图2、图3中的BD，图2中证明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，在图3中证明四边形EFDB是矩形，求得BD，进而作差即可求解．
【详解】解：如图2，连接BD，
∵AE=CF=28，BE=DF=35 ，
∴，又∠EAF=∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，又EF=20，
∴，解得：BD=45，
如图3，连接BD，
∵BEDF，BE=DF，
∴四边形EFDB是平行四边形，
∵∠BEF=90°，
∴四边形EFDB是矩形，则BD=EF=20，
∴从闭合到打开B，D之间的距离减少了45-20=25（mm），
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的应用、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，理解题意，会利用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解答的关键．
10．D
【分析】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线对称轴为直线，故②正确；
∴，
∴，
∴，故①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选：D．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意得出，求解即可得到答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义，设出点坐标，分别表示点坐标，求出的面积即可得答案．
【详解】解：设点坐标为,
则点坐标为，点坐标为
∴
．
故答案为：．
13．
【分析】根据相似三角形的相似比等于对应高的比，列方程求出DE，进而求出OE，确定点E的坐标．
【详解】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F，
由题意得，BF=0.75，BC=1，
∵BCDE，
∴△ABC∽△ADE，
∴=，
即：，
解得：DE=1.6，
∴OE=2+1.6=3.6，
∴E（3.6，0），
故答案为：（3.6，0）．
【点睛】考查中心投影的意义，将中心投影的问题转化为相似三角形的问题进行解答是常用的方法．
14．
【详解】如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴∠BOC=45°，OB=1×= ，
过点B作BD⊥x轴于D，
∵OC与x轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD=45°-15°=30°，
∴BD=OB= ,OD= ,
∴点B的坐标为（,- ）,
∵点B在抛物线的图象上，
∴，
∴，
故答案为-．
15．或
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，旋转的性质．根据勾股定理可求出，先根据全等三角形的性质和旋转的性质，得到，从而得到．再分情况讨论：①当时；②当时，利用勾股定理分别求解，即可得到答案．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【详解】解：，，，
由勾股定理得：，
，
，
绕点D顺时针旋转得到，
，
点D为的中点，
，
①当时，
，
，
；
②当时，
在中，，
在中，，
综上可知，的长为5或．
故答案为：5或．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
（2）根据化简二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
即
即
∴或
解得：；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程；实数的混合运算，化简二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂；熟练掌握以上知识是解题的关键．
17．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出抽取两本书中有《九章算术》的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：画树状图为：
共有种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为种，
所以抽取两本书中有《九章算术》的概率为
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出再从中选出符合事件或的结果数目然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质可得出，结合可得出，再由即可证出；
（2）由，利用相似三角形的性质可求出BF的长度，由可得出，再利用相似三角形的性质及即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴，即，
∵，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用两角对应相等，两个三角形相似证出；（2）牢记相似三角形对应边的比相等．
19．(1)
(2)小直角三角形的短直角边为，长直角边为
【分析】（1）由黄金矩形结合题意可得，再分别求解，可得答案；
（2）由题意可得：正方形，，，可得正方形的边长为，设，，则，，再解方程即可．
【详解】（1）解：如图，
∵矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比，黄金矩形，
∴，
∵正方形，，
∴，
（2）如图，由题意可得：正方形，，，
∴正方形的边长为，
设，，
∴，，
∴，
整理可得：，
解得：，（负数舍去）
∴，
答：小直角三角形的短直角边为，长直角边为．
【点睛】本题考查的是黄金矩形的含义，勾股定理的应用，一元二次方程的应用，正方形的性质，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的解题工具是解本题的关键．
20．(1)车后盖最高点到地面的距离为
(2)没有危险
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【详解】（1）如图，作，垂足为点，
在中，
，，
，
，
平行线间的距离处处相等，
，
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）没有危险，理由如下：
如图，过作，垂足为点，
，，
，
，
，
在中，，
．
平行线间的距离处处相等，
到地面的距离为．
，
没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
21．(1)B
(2)①，反比例函数的表达式为，②8
(3)存在，或
【分析】（1）把分别代入得：，即可解答；
（2）①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明，得出，，，，根据， ， 即可求出m和n的值，进而得到点P坐标，用待定系数法可求出反比例函数的表达式； ②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C，
求出所在直线函数表达式为，再求出，则，最后根据即可求解；
（3）根据M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，设，根据平行四边形的性质和中点坐标公式，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把分别代入得：，
∴，整理得：，
故选：B．
（2）解：①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
∴，
∴，
∵点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合
∴，，
∴，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数的表达式为过，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C，
将代入得：
，解得：，
∴所在直线函数表达式为，
把代入得，
解得：，
∴，则，
∴，
故答案为：8．
（3）解：∵M在反比例函数的图象上，点N在y轴上，
∴设，
∵以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴以A、B、M、N为顶点的四边形对角线互相平分，
①当为对角线时，
，解得：，
∴；
②当为对角线时，
，解得：，
∴；
∵，
∴不符合题意，舍去
③当为对角线时，
，解得：，
∴
综上：存在，或．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质．
22．(1)
(2)
(3)米
【分析】（1）由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标，故设抛物线解析式为，将代入得，求值，进而可得在第一象限内的抛物线解析式；
（2）当时，，解得：，，由二次函数的图象与性质确定的取值范围即可；
（3）由题意知，，，设平行于直线且与抛物线只有一个交点的直线的解析式为，则联立方程，整理得，，令，解得，即直线的解析式为，如图，记直线与轴的交点为，则，则，根据光线与抛物线水流之间的最小垂直距离是直线到直线的距离，即为，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标，故设抛物线解析式为，
将代入得，
解得，，
在第一象限内的抛物线解析式为；
（2）解：当时，，
解得：，，
的取值范围是；
（3）解：由题意知，，，
设平行于直线且与抛物线只有一个交点的直线的解析式为，
则联立方程，即，整理得，，
令，
解得，
∴直线的解析式为，
如图，记直线与轴的交点为，则，
∴，
∵，
∴直线到直线的距离为，
∵光线与抛物线水流之间的最小垂直距离是直线到直线的距离，
∴光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数综合，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23．(1)，
(2)或
(3)面积的最大值，
【分析】（1）由折叠得：，，再根据线段垂直平分线的判定定理即可得证；证明是等边三角形即可求出角度．
（2）对点分别落在对角线、上进行分类讨论，①当点落在对角线上点时，设，分别求出、、，用勾股定理即可求解；当点落在对角线上点时，过作，设，，证明∽，从而求出，再求出、，用勾股定理即可求解．
（3）设，分别求出当和时，面积所满足的函数关系式，并在的取值范围内求出各自的最大值，对最大值再进行比较取较大的最大值．
【详解】（1）解：
．
理由：由折叠得：，，
、都在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
；
．
理由：将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
．
（2）解：①如图，当点落在对角线上点时，
在矩形中
，，
，
设，由折叠得：
，，，，
，
，
，
解得：，
；
②如图，当点落在对角线上点时，
过作，交于，交于，
，
，
由折叠得：，
，
，
∽，
，
设，，
，，，，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
．
综上所述：的长为或．
（3）
解：，
，
设，
，
解得：，
如图，翻折后的三角形为，
，，
①当点在于之间或在对角线上时，如上图：
，
，
此时折叠后与重叠部分面积：，
，
在，当时， ；
②当点在对角线的右侧时，交于，交于，
如图：
，
由翻折得：，
，
，，
，
，
，
，
同理可证：，
，，
，
，
，
此时折叠后与重叠部分面积：
，
在，当时， ；
综合①②：，
折叠后与重叠部分面积的最大值是，此时．
【点睛】本题考查了以矩形为背景的典型折叠问题，考查的主要知识有折叠的性质、等边三角形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二次函数等；熟练掌握典型折叠问题的解法及找出函数关系式是解题的关键．
