沪科版（安徽）2023-2024学年九上数学12月份段考模拟试卷（含答案）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．已知，则下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形网格中：的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，．按照如下步骤作图：①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②连接直线，交于点；③以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点；④连接，．下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．函数与在同一坐标系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，为的中点，、相交于点．若的面积为，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，与，直角顶点重合于点，点在上，且，连接，若，，则长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形纸片，满足，将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中的长为（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
11．当为锐角，且时，的取值范围是 ．
12．若点，，都在抛物线上，用“＞”连接的大小关系应该是 ．
13．五角星是我们常见的图形，如图点，分别是线段的黄金分割点，，则 ．
14．如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F．①若是边上的中线，则 ；②若平分，则 ．
三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)以原点为位似中心，在轴的右侧按放大，画出的一个位似；
(2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
(3)与是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标，若不是请说明理由．
四、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
17．图，已知在中，，，点为边延长线上一点，连接．求的正切值．
18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
五、（本大题2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在中，，点从运动到，且．
(1)求证：；
(2)若，，求当长为多少时，．
20．为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图，为桌面，嘉琪同学眼睛看作业本的俯角为，身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．
(1)通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求；
(2)为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离和眼睛到桌面的距离保持不变的情况下，需将作业本沿方向移动到点处，求作业本移动的距离．（结果精确到）（参考数据：，，．）
六、（本题12分）
21．如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为．
(1)当为何值时，的面积为？
(2)为何值时，以，，为顶点的三角形与相似．
七、（本题12分）
22．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC AE；
（3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明．
八、（本题14分）
23．已知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），点是直线上方抛物线上一点，连接，若的面积为4，求点的坐标；
(3)如图（2），设直线（k≠0）与抛物线交于两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长为定值．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质分别判断即可，熟练掌握比例的性质是关键．
【详解】解：A．∵，
∴，故本选项不符合题意；
B．∵，
∴，故本选项符合题意；
C．∵，
∴，故本选项不符合题意；
D．∵，
∴，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．D
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，对各选项进行判断即可．
【详解】解：A、∴，，
∴，
∴，
故选项不符合题意，
B、∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选项不符合题意，
C、∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选项不符合题意，
D、，但不是对应边的夹角，不能判定，故选项符合题意，
故选：．
3．C
【分析】利用余弦的定义即可判断A、B，根据同角的余角相等可得，再根据余弦的定义即可判断C、D，即可得到答案．
【详解】解：，
，
在中，，故A正确，不符合题意；
，
在中，，故B正确，不符合题意；
，，
，
在中，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了余弦的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
4．D
【分析】根据网格信息，运用勾股定理算出的长，从而判断，再根据三角形外角的关系即可求解．
【详解】解：根据题意得，，，，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
如图所以，延长交于点，点是小正方形的对角线，
∴，
∵是的外角，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理与网格，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
5．D
【分析】根据作图可知是的垂直平分线，易得，即可判断选项A；根据等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和定理可解得，再求得，即可证明，结合相似三角形的性质可判断选项B；首先证明，进而可得，即可计算的度数，判断选项C；首先计算，再结合，即可判断选项D．
【详解】解：由题意知，是的垂直平分线，
∴，
故选项A正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
故选项C正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂线、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，结合题意确定是的垂直平分线是解题关键．
6．B
【分析】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象，分类讨论：当时，则，当时，则，得出反比例函数的图象及二次函数的图象，进而可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：当时，则，
反比例函数图象经过一、三象限，二次函数开口向下，且与y轴交于正半轴，
当时，则，反比例函数图象经过二、四象限，二次函数开口向上，且与y轴交于负半轴，
则满足条件的图象为： ，
故选B．
7．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断是解决问题的关键．
【详解】解：选项A，∵，，
∴，故选项A不符合题意．
选项B，如图，设与交于点，
∵，，
∴，故选项B不合题意；
选项C，∵，，
∴，故选项C不合题意；
选项D中没有相似三角形，符合题意．
故选：D．
8．C
【分析】根据平行四边形的性质得出，证明，进而得出，，根据平行四边形的性质得出，进而根据四边形的面积是，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边，
∴，
∴四边形的面积是，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
9．D
【分析】先利用勾股定理求出，然后证，接着利用相似三角形的性质和已知条件即可求出的长．
【详解】解：，，
，
在中，，
，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．
10．B
【分析】如图3中，由折叠的性质可得PQ＝BC＝b，A1F＝a﹣b，△PEQ是等腰直角三角形，进而可得△MNE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得EG =，而，进一步即可求得答案．
【详解】解：如图3中，由折叠的性质可得PQ＝BC＝b，A1F＝a﹣b，∠EPQ=，∠EQP=，
∴∠PEQ=90°，
∴△PEQ是等腰直角三角形，
如图4，∵MN∥PQ，
∴△MNE是等腰直角三角形，
∵EG⊥MN，
∴EG=MG=NG=，
∵=a﹣2（a﹣b）＝b﹣a，
∴MN=2EG=．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，正确理解题意、熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性．根据及即可求解，
熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键，此题基础题，比较简单，也是一道常考试题.
【详解】解：，且，，为锐角，
，
故答案为：
12．##
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，再根据开口向上离对称轴越远函数值越大进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵点，，都在抛物线上，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．
【分析】本题考查黄金分割的知识，根据为的黄金分割点，求出，再由五角星的性质可得，继而求出的长．
【详解】解：为的黄金分割点，
，
，
；
故答案为：．
14．
【分析】①由勾股定理得出，利用三角形面积公式得出，再利用勾股定理，即可求出的长；
②过点作于点，先证明和是等腰直角三角形，进而得到，再利用角平分线的性质定理，得到，即可得到答案．
【详解】解：①，是边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②如图，过点作于点，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
平分，，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形面积，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
15．
【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂公式，乘方计算即可，熟练掌握三角函数值，公式是解题的关键．
【详解】
．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)是，
【分析】（1）把、的横纵坐标都乘以2得到、的坐标，然后描点即可；
（2）利用点平移的坐标规律写出、、的坐标，然后描点即可；
（3）延长、、，它们相交于点，则可判断与是位似图形．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）和是位似图形；
如图，点为所求，坐标为．
【点睛】本题考查了作图位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
17．
【分析】本题主要考查解直角三角形，运用了三角函数概念，勾股定理和等腰三角形三线合一的性质．
【详解】解：过点A作与交点H．
∵在中，，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
故答案为：．
18．(1)；；
(2)
【分析】（1）把点代入求得，得反比例函数解析式为，把点代入求得，可得，再把、代入求出k，b的值即可得出一次函数解析式；
（2）求出点C坐标，结合函数图象可得不等式的解集．
【详解】（1）把点代入，得：
，
解得，，
∴反比例函数解析式为；
把点代入，得：
，解得，，
∴，
把、代入，得：
，
解得，，
∴一次函数的解析式为；
（2）对于，当时，
∴，
由函数图象知，当直线在x轴下方，反比例函数图象上方时，，
所以，不等式的解集为：．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据得出，证明，得出，根据相似三角形性质得出，即可证明结论；
（2）根据平行线的性质得出，证明，得出，根据，，求出，即可得出当时，．
【详解】（1）解：证明：，，
，
，，
，
，
，
．
（2）如图，，
，
又，
，
，
，，
，
，
即当时，．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质．掌握相似三角形的判定和性质是关键．
20．(1)距离不符合最佳要求
(2)作业本移动的距离
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用——仰角俯角问题，勾股定理，熟练掌握仰俯角的概念是解题关键．
（1）根据三角函数的定义列式计算即可；
（2）根据勾股定理求出的长，再利用三角函数求出移动后的俯角，再求出的长，即可求出最后结果．
【详解】（1）解：如图，在中，
，，
，
，
，
，
，
距离不符合最佳要求；
（2）在中，，，
，
为了符合最佳要求，，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
21．(1)时，的面积为
(2)或时，以，，为顶点的三角形与相似
【分析】（1）由题意知，，，再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可得答案；
（2）由，则当或时，以，，为顶点的三角形与相似，代入计算即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
的面积为，
，解得或8，
，
时，的面积为；
（2），
当或时，以，，为顶点的三角形与相似，
或，
即或，
解得或，
或时，以，，为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法、一元一次方程的解法等知识，数形结合，根据题中条件，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
22．（1）见详解；（2）见详解；（3）ON＝2OM，理由见详解
【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝AD，由“ASA”可证△ABM≌△ADN，可得AM＝AN；
（2）由题意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可证△AMC∽△AEN，即可证AM2＝AE AC；
（3）先求出AM，进而求出MF＝NF＝BF＝，再判断出△ABM∽△AFO，进而求出FO，即可得出结论．
【详解】证明（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B，
∴∠BAM+∠MAD＝90°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，
∴△ABM≌△ADN（ASA）
∴AM＝AN；
（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°
∴∠MNA＝45°，
∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，
∴∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，
∴△AMC∽△AEN，
∴，
∴AM AN＝AC AE，
∵AN＝AM，
∴AM2＝AC AE；
（3）ON＝2OM，理由：如图，
在Rt△ABM中，AM＝1，AB＝3，
根据勾股定理得，BM＝＝，
过点B作BF⊥MN于F，
∴∠OFB＝∠A＝90°，
由（1）知，AM＝AN，
∵∠MBN＝90°，
∴FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABC＝45°＝∠MBF，
∴∠ABM＝∠FBO，
∴△ABM∽△FBO，
∴，
∴，
∴FO＝，
∴OM＝MF﹣FO＝，ON＝NF+FO＝，
∴ON＝2OM．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ABM∽△FBO是解本题的关键．
23．(1)
(2)
(3)点为定点，为定值2
【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）中结果确定点，，设上方轴上点满足，即，然后求解得出与原点重合．再确定直线解析式为：，得出点在直线上时，，再联立求解即可；
（3）根据题意联立两个函数得出，再由题意确定直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，过原点，可得，
；解得；
即解析式为：．
（2）由（1）得：，得．
令，解得：．得：．
设上方轴上点满足，即，
解得：，即与原点重合．
设直线解析式为：，则有：
：解得：；
直线解析式为：．
与直线平行，且过的直线为：．
点在直线上时，，满足题意．
；解得：或；
故：．
（3）为与抛物线的交点，
；
解得：或；
，
与关于直线对称，得：，
设直线的解析式为：，
；
解得：；
图（2）
即直线的解析式为：，
当时，．
点为定点，为定值2．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及线段定值问题，理解诶题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
