第四章：几何图形初步 题型训练
角的比较与运算
题型一:方位角问题
1．（雅礼）如图，下列说法错误的是（ ）
A．OA的方向是北偏西60° B．OB的方向是西南方向
C．OC的方向是南偏东60° D．OD的方向是北偏东30°
2．（广益）如图，下列说法错误的是（ ）
A．OA的方向是北偏西60° B．OB的方向是西南方向
C．OC的方向是南偏东60° D．OD的方向是北偏东30°
3．（一中双语）某货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东65°方向上，同时在它的北偏东40°方向发现了一座海岛B，则∠AOB的度数是 ．
4．（明德）如图，OA表示北偏东15°方向的一条射线，OB表示南偏西55°方向的一条射线，则∠AOB的度数是（ ）
A．160° B．150° C．140° D．130°
5．（雅礼）如图，甲从A点出发沿北偏东65°方向行进至点B，乙从A点出发沿南偏西20°方向行进至点C，则∠BAC等于（ ）
A．125° B．135° C．160° D．165°
题型二:角度单位换算
6．（雅礼）比较大小：38°15′ 38.15°（选填“＞”“＜”“＝”）．
7.（青竹湖）计算：
8.（长郡）用度、分、秒表示为( )
A. B. C. D.
9.（中雅）计算
(1) (2)
题型二:余角、补角问题
10．（长郡）如果∠A＝36°28'，那么∠A的余角为 ．
11．（雅礼）已知一个锐角为30°51'，则它的余角的度数为 ．
12．（广益）已知∠α＝36°25′，则∠α的补角为 ．
13．（北雅）若∠α的补角为76°28′，则∠α＝ ．
14．（一中）若∠α的补角为76°28′，则∠α＝ ．
15．（北雅）如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余
C．∠AOE与∠1互余 D．∠AOE与∠COD互余
16．（一中）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
17．（长郡）如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余
C．∠AOD与∠1互补 D．∠AOE与∠COD互余
18．（长郡）若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：
①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
题型四：重叠与折叠图形中的角度计算
19．已知一副直角三角板按如图的位置放置，其中∠COD=45°，∠AOB=60°，经测量∠BOC=90°，则∠AOD度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
20．（2022·湖南）如图，是一副三角板的摆放图，将一个三角板60°的角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小是（ ）．
A．60° B．50° C．40° D．30°
21．（广益）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若∠DOB＝65°，则∠AOC+∠DOB＝ ．
22．（广益）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若∠1＝70°，求∠2的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
23.（广益）如图1拿一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕，如果，则______.
24.（中雅）如图所示，将长方体ABCD的一角沿AE折叠，若，那么__________.
题型五： 算术方法求角度
25．（雅礼）补全推导过程：
如图，已知∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．
解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝ °．
∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠ ＝ °．
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠ ＝ °．
∴∠DOE＝∠ ﹣∠ ＝ °．
26．（明德）如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∠BOD＝3∠DOE，求∠DOE的度数．
27．（一中）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．
28．（明德）如图，O是直线AB上一点，∠DOB＝90°，∠EOC＝90°．
（1）如果∠DOE＝50°，求∠BOC的度数；
（2）若OE平分∠AOD，求∠BOE．
29．（长郡）如图，O为直线AB上一点，∠DOE＝90°，OD是∠AOC的角平分线，若∠AOC＝70°．
（1）求∠BOD的度数．
（2）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
30．（雅礼）如图，∠AOB＝40°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）若∠DOE＝10°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOD与∠BOD互补，求∠COE的度数．
题型六：方程方法求角度
31.（中雅）如图所示，已知，∠AOC的余角比∠BOC小30°.
(1)求∠AOB的度数；
(2)过点O作射线OD，使得，请你求出∠COD的度数.
32.（长郡）角度计算题：如图，已知O为AD上一点，与互补，ON平分，OM平分，若是，求与的度数.
33.(长郡)已知：如图，被分成，平分，平分，且，求的度数.
34．（广益）已知，如图，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝16°．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求∠AOC的度数．
35．（长郡）如图，点O在直线AB上，∠AOC与∠COD互补，OE平分∠AOC．
（1）若∠BOC＝40°，则∠DOE的度数为 ；
（2）若∠DOE＝15°，求∠BOD的度数．
第四章：几何图形初步 题型训练
角的比较与运算
题型一:方位角问题
1．（雅礼）如图，下列说法错误的是（ ）
A．OA的方向是北偏西60° B．OB的方向是西南方向
C．OC的方向是南偏东60° D．OD的方向是北偏东30°
【解答】解：A、OA的方向是北偏西30°，故原选项错误，符合题意；B、OB的方向是西南方向，正确，不合题意；C、OC的方向是南偏东60°，正确，不合题意；D、OD的方向是北偏东30°，正确，不合题意．故选：A．
2．（广益）如图，下列说法错误的是（ ）
A．OA的方向是北偏西60° B．OB的方向是西南方向
C．OC的方向是南偏东60° D．OD的方向是北偏东30°
【解答】解：A、OA的方向是北偏西30°，故原选项错误，符合题意；B、OB的方向是西南方向，正确，不合题意；C、OC的方向是南偏东60°，正确，不合题意；D、OD的方向是北偏东30°，正确，不合题意．故选：A．
3．（一中双语）某货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东65°方向上，同时在它的北偏东40°方向发现了一座海岛B，则∠AOB的度数是 ．
【解答】解：如图：
∠AOB＝180°﹣40°﹣65°＝75°．故答案是：75°．
4．（明德）如图，OA表示北偏东15°方向的一条射线，OB表示南偏西55°方向的一条射线，则∠AOB的度数是（ ）
A．160° B．150° C．140° D．130°
【解答】由题意得：∠AOD＝15°，∠BOC＝55°，∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝125°，∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝140°，故选：C．
5．（雅礼）如图，甲从A点出发沿北偏东65°方向行进至点B，乙从A点出发沿南偏西20°方向行进至点C，则∠BAC等于（ ）
A．125° B．135° C．160° D．165°
【解答】解：如图，根据题意得∠1＝65°，∠2＝20°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BAC＝25°+90°+20°＝135°．故选：B．
题型二:角度单位换算
6．（雅礼）比较大小：38°15′ 38.15°（选填“＞”“＜”“＝”）．
【解答】解：∵0.15°＝0.15×60′＝9′，∴38.15°＝38°9′，∴38°15′＞38°9′，即38°15′＞38.15°，
故答案为：＞．
7.（青竹湖）计算：
【解答】解：答案为：27.24°．
8.（长郡）用度、分、秒表示为( )
A. B. C. D.
【解答】解：21.24°＝21°+0.24×60′＝21°+14′+0.4×60″＝21°14′24″，
故选：A．
9.（中雅）计算
(1) (2)
【解答】解：(1)答案为：;(2))答案为：．
题型二:余角、补角问题
10．（长郡）如果∠A＝36°28'，那么∠A的余角为 ．
【解答】解：∠A的余角＝90°﹣∠A＝90°﹣36°28′＝89°60′﹣36°28′＝53°32′；
故答案为：53°32′．
11．（雅礼）已知一个锐角为30°51'，则它的余角的度数为 ．
【解答】解：∵一个锐角为30°51'，∴它的余角的度数为：9°﹣30°51'＝59°9'．故答案为：59°9'．
12．（广益）已知∠α＝36°25′，则∠α的补角为 ．
【解答】解：∵∠α＝36°25′，∴∠α＝180°﹣36°25′＝143°35′．故答案为：143°35′．
13．（北雅）若∠α的补角为76°28′，则∠α＝ ．
【解答】解：∵∠α的补角为76°28′，∴∠α＝180°﹣76°28′＝103°32′，故答案为：103°32′．
14．（一中）若∠α的补角为76°28′，则∠α＝ ．
【解答】解：∵∠α的补角为76°28′，∴∠α＝180°﹣76°28′＝103°32′，故答案为：103°32′．
15．（北雅）如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余
C．∠AOE与∠1互余 D．∠AOE与∠COD互余
【解答】解：∵∠COB＝∠EOD＝90°，∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD＝90°，∴∠1＝∠2，故A选项正确；
∵∠AOE+∠1＝90°，∴∠AOE+∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故B选项正确；∵∠AOE+∠1＝90°，
∴∠AOE与∠1互余，故C选项正确；∵∠AOE+∠1＝90°，∠COD+∠2＝90°，∠1＝∠2，∴∠∠AOE＝∠COD，故D选项错误．故选：D．
16．（一中）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【解答】解：图①，∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余；图②，根据同角的余角相等，∠α＝∠β；
图③，根据等角的补角相等∠α＝∠β；图④，∠α+∠β＝180°，互补．故选：A．
17．（长郡）如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余
C．∠AOD与∠1互补 D．∠AOE与∠COD互余
【解答】解：∵∠COB＝∠EOD＝90°，∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD＝90°，∴∠1＝∠2，故A选项正确；
∵∠AOE+∠1＝90°，∴∠AOE+∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故B选项正确；∵∠COB＝90°，
∵∠AOD+∠2＝180°，∵∠1＝∠2，∴∠AOD+∠1＝180°，即∠AOD与∠1互补，故C选项正确；
无法判断∠AOE与∠COD是否互余，D选项错误；故选：D．
18．（长郡）若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：
①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【解答】解：根据题意得：（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，∴（2）﹣（1）得，∠3﹣∠2＝90°，∴①正确；（1）+（2）得，∠1+∠2+∠1+∠3＝270°，∴∠3+∠2＝270°﹣2∠1，∴②正确；
（2）﹣（1）×2得，∠3﹣∠1＝2∠2，∴③正确；∵（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，
∴2（∠1+∠2）＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝2（∠1+∠2）﹣∠1＝∠1+2∠2，∴∠3＞∠1+∠2，
∴④错误；故选：C．
题型四：重叠与折叠图形中的角度计算
19．已知一副直角三角板按如图的位置放置，其中∠COD=45°，∠AOB=60°，经测量∠BOC=90°，则∠AOD度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
【详解】解：∵∠COD=45°，∠BOC=90°，∴∠DOB=∠BOC-∠COD=45°．∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=15°．
故选：A．
20．（2022·湖南）如图，是一副三角板的摆放图，将一个三角板60°的角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小是（ ）．
A．60° B．50° C．40° D．30°
【详解】解：由题意得：∠DAE=90°，∠BAC=60°，∵∠BAE=20°，∴∠CAE=∠BAC ∠BAE=60°-20°=40°，
∵∠CAE+∠CAD=∠DAE=90°，∴∠CAD=90° ∠CAE=90°-40°=50°，故选：B．
21．（广益）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若∠DOB＝65°，则∠AOC+∠DOB＝ ．
【解答】解：如右图所示，∵∠AOD+∠BOD＝90°，∴∠AOD＝90°﹣∠BOD，
∴∠AOC+∠DOB＝∠AOD+90°+∠DOB＝90°﹣∠BOD+90°+∠DOB＝180°．故答案是180°．
22．（广益）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若∠1＝70°，求∠2的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【解答】解：根据折叠的性质得：∠2＝∠BOG，∵∠1＝70°，∴∠B′OG+∠BOG＝110°，
∴∠2＝×110°＝55°，故选：D．
23.（广益）如图1拿一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕，如果，则______.
【解答】解:答案为：110°．
24.（中雅）如图所示，将长方体ABCD的一角沿AE折叠，若，那么__________.
【解答】解:答案为：29°．
题型五： 算术方法求角度
25．（雅礼）补全推导过程：
如图，已知∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．
解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝ °．
∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠ ＝ °．
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠ ＝ °．
∴∠DOE＝∠ ﹣∠ ＝ °．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°．∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝75°．∵OE平分∠AOC，∴∠EOC＝∠AOC＝30°．∴∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC＝45°．故答案为：150；BOC；75；AOC；30；DOC；EOC；45．
26．（明德）如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∠BOD＝3∠DOE，求∠DOE的度数．
【解答】解：∵OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝60°，∵∠BOD＝3∠DOE，∴∠DOE＝60°＝20°．
27．（一中）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；
（2）∵∠AOD＝∠AOB，∴∠AOD＝60°，当OD在∠AOB内时，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．故∠COD的度数为20°或100°．
28．（明德）如图，O是直线AB上一点，∠DOB＝90°，∠EOC＝90°．
（1）如果∠DOE＝50°，求∠BOC的度数；
（2）若OE平分∠AOD，求∠BOE．
【解答】解：（1）∵∠EOC＝90°，∠DOE＝50°，∴∠DOC＝40°，∵∠DOB＝90°，∴∠BOC＝50°；
（2）∵∠DOB＝90°，∴∠DOA＝90°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝45°，∴∠BOE＝135°．
29．（长郡）如图，O为直线AB上一点，∠DOE＝90°，OD是∠AOC的角平分线，若∠AOC＝70°．
（1）求∠BOD的度数．
（2）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
【解答】解：（1）∵OD是∠AOC的角平分线（已知），∠AOC＝70°∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝×70°＝35°（角平分线定义），∵∠AOD+∠BOD＝180°∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣35°＝145°；
（2）答：OE平分∠BOC．理由∵∠COE+∠COD＝∠DOE，∠DOE＝90°，∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝90°﹣35°＝55°．∵∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°∴∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣35°﹣90°＝55°，∴∠COE＝∠BOE＝55°，∴OE平分∠BOC．
30．（雅礼）如图，∠AOB＝40°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）若∠DOE＝10°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOD与∠BOD互补，求∠COE的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝40°，OB是∠AOC的平分线，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，∵OD是∠COE的平分线，∠DOE＝10°，∴∠COD＝∠DOE＝10°，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+10°＝50°；
（2）∵∠AOB＝40°，OB是∠AOC的平分线，∴∠AOC＝2∠AOB＝80°，∠BOC＝∠AOB＝40°，
∵∠AOD与∠BOD互补，∴∠AOD+∠BOD＝180°，∴80°+∠COD+40°+∠COD＝180°，解得∠COD＝30°，∵OD是∠COE的平分线，∴∠COE＝2∠COD＝60°．
题型六：方程方法求角度
31.（中雅）如图所示，已知，∠AOC的余角比∠BOC小30°.
(1)求∠AOB的度数；
(2)过点O作射线OD，使得，请你求出∠COD的度数.
【解答】解：（1）设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，依题意列方程90°﹣2x＝x﹣30°，
解得：x＝40°，即∠AOB＝40°．
（2）由（1）得，∠AOC＝80°，①当射线OD在∠AOC内部时，∠AOD＝20°，
则∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝60°；
②当射线OD在∠AOC外部时，∠AOD＝20°，则∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
32.（长郡）角度计算题：如图，已知O为AD上一点，与互补，ON平分，OM平分，若是，求与的度数.
【解答】解：设∠AOB＝x°，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC＝180°﹣x°．
由题意，得﹣＝42．∴180﹣x﹣x＝84，∴﹣2x＝﹣96，解得x＝48，
故∠AOB＝48°，∠AOC＝132°．
33.(长郡)已知：如图，被分成，平分，平分，且，求的度数.
【解答】解：设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，
则∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，
∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，又∵∠MON＝90°，∴6x＝90°，∴x＝15°，
∴∠AOB＝135°．
34．（广益）已知，如图，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝16°．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求∠AOC的度数．
【解答】解：（1）设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x．则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x．
∵OE是∠AOC的平分线，∴∠AOE＝∠AOC＝x，∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝3x x＝x，
∵∠BOE＝16°，∴x＝16°，解得，x＝32°，∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠BOC＝x＝32°，∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝32°+16°＝48°．
（2）∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x＝160°
35．（长郡）如图，点O在直线AB上，∠AOC与∠COD互补，OE平分∠AOC．
（1）若∠BOC＝40°，则∠DOE的度数为 ；
（2）若∠DOE＝15°，求∠BOD的度数．
【解答】解：（1）因为点O在直线AB上，∠BOC＝40°，所以∠AOC＝140°，又∠AOC与∠COD互补，故∠COD＝40°，因为OE平分∠AOC，所以∠EOC＝70°，∴∠DOE＝30°．故答案为：30°．
（2）因为点O在直线AB上，所以∠AOC与∠BOC互补，又∠AOC与∠COD互补，所以∠BOC＝∠COD，因为OE平分∠AOC，则∠AOE＝∠EOC，设∠BOC为x，可得：2（15°+x）+x＝180°，解得：x＝50°，所以∠BOD＝2∠BOC＝100°．
